В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Подставив в (43.6), найдем матричный элемент для испускания такого фотона в виде 1'11 = .Л вЂ” ЕД,(1 ), — И (43. 10) где 2у;(1г) -ток перехода в импульсном представлении., т. е. ком- поненты Фурье 2у,;(1г) = уу,;(г)е ' 'гг х. (43.11) Аналогичная формула для поглощения фотона: $у, = еъ'4к сну~,( — 1с). лг'2лг (43.12) Уравнение сохранения тока в импульсном представлении записывается в виде условия 4-поперечности токов перехода: ~"и~уг гпр1г(1г) — 191'г(1с) = О. (43.13) Написанные в этом параграфе формулы, в которых не предопределен вид оператора тока, имеют общий характер и справедливы для электромагнитных процессов с участием любых заряженных частиц.
Существующая теория дает возможность установить вид оператора тока (и тем самым в принципе вычислить его матричные элементы) лишь для электронов. При применении же к системам сильновзаилюдействующих частиц (в том чишге к ядрам) мы ограничимся изложением полуфеномепологической теории, в которой токи перехода выступают как заимствуемые из опыта величины, удовлетворяющие лишь общим требованиям пространственно-врелленпой симметрии и уравнепиго непрерывности.
190 гл у ИЗ>ГУ ГЕНИЕ 9 44. Испускание и поглощение Г1>н = 2Н~ЪгГ>~~б(Е, — Еу — О>)а>Г>, (44.1) где и условно обозначает совокупность величин, характеризующих состояние фотона и пробегающих непрерывный ряд значений (при этом волновая функция фотона предполагается нормированной на б-фу>Гкцию епо шкале иа). Если испускается фотон с определе>шым значением момента, то единственной непрерывной величиной является частота и>.
Интегрирование формулы (44.1) по д>> = Нго устраняет б-функцию (замеггяя о> определенным значением ш = Е, — Ег), и тогда вероятность перехода и> = 2л(Ъ'у,)з. (44.2) Если же рассматривается непускание фотона с заданным импульсом )с, то ГЬ = Гтзк»(2>г)з = о>йдмдо/(2я)з. При этом предполагается, что волновая функция фотона (плоская волна) нормирована на один фотон в объеме Ъ' = 1, как это принято везде в этой книге; >1>> есть число состояний, приходящихся на фазовый объем Ъ а>зй.
Таким образом, вероятность испускания фотона с зада>и!ым импульсом запиГГ>ется В Виде> гйи = 2я)Ъу,(зб(Еà — Е1 — ш) —, (2>г)з (44.3) или после интегрирования по дсо: а>и> = — ~Ъу,~ щ г1о. 4кв (44.4) Сюда должен быть Гюдставлен матричный элел>ент Ъг, из (43.10). В следующих параграфах мы воспользуемся этими формулами для вычисления вероятности излучения в различных конкретных случаях. Здесь мы рассмотрим некоторые общие соотношения между различными видами радиационных процессов. ) Тем самым, во всяком случае, подразумевается пренебрежение отдачей: излучатель как целое остается неподвижным.
Вероятность перехода под влиянием возмущения Ъг в первом приближении дается известными формулами теории возмугцений (П1, 9 42). Пусть начальное и конечное состояния излучающей системы относятся к дискретному спектру ') . Тогда вероятность (в единицу времени) перехода à — Г 1 с испусканием фотона есть 191 1 44 испускании и псглощнния Если в пачапьном состоянии поля уже имелось отличное от нуля число Х данных фотонов, то матричный элемент перехода умножается еще на (й"-+1~сйХ-) = РАУХ-+ 11, (44.5) т. е. вероятность перехода умножается на Лг + 1.
Единица в этом множителе отвечает спонтанному испусканию, происходящему и при 11'о = О. Член же Хо обусловливает вынуозсденное (или индуцированное) испускание; мы видим, что наличие фотонов в начальном состоянии поля стимулирует дополнительное испусканис таких же фотонов. Х!атричный элемент 1гу перехода с обратным изменением состояния системы (1 — з з) отличается от элемента Ъу; заменой (44.5) на (Մ— 1~С„~ХП) = з/Х„ и заменой остальных величин их комплексно-сопряженными). тот обратный переход представляет собой поглощение фотона системой, переходящей с уровня Ьу на уровень Езз Поэтому между вероятностями испускания и поглощения фотона (для заданной пары состояний з, Д имеет место важное соотношение ') (44.6) м( "" 1 1'1' (оно было впервые указано А.
Эйнштейном в 1916 г.). Свяжем число фотонов с интенсивностью падающего извне на систему излучения. Пусть 4, доздо (44.7) есть энергия излучения, падающего в единицу времени на единицу площади и имеющего поляризацию е, частоту в интервале Йо и направление волнового вектора в элементе телесного угла до. Указанным интервалам отвечают 1сзс1Ыо/(2я)а осцилляторов поля, па каждый из которых приходится по Хк, фотонов заданной поляризации. Поэтому ту же энергию (44.7) мы получим, составив произведение с Лгк,6оз = Яи,доздо. 1зздЬ до з (2я)з яязсз Отсюда находим искомое соотношение: (44.8) Пусть ош есть вероятность спонтанного излучения фотона (с!й с поляризацией е в телесный угол йо; индексами (инд) и (посл) ') Ниже в агом параграфе пользуемся обычными единицами.
192 ИЗНОСУ !ЕНИЕ гл у отметим ана,логичные вероятности для индуцированного испускания и поглощения. Согласно (44.6) и (44.8) эти вероятности связаны между собой следующими соотношениями: Сингл) „(инд) „(сп) Эпгсг игСсе игСсе гл1се ие. (44.9) Если падающее излучение изотропно и не поляризовано (1к, не зависит от направлений 1с и е), то интегрирование (44.9) по сСо и суммирование по е дают аналогичные соотношения между полными вероятностялли радиационных переходов (ллежду заданнылси состояниями г и 1 системы) гсг (погл) (инд) (сп) и с 1 144.10) лг г где 1 = 2 4л1сс полная спектральная интенсивность падающего излучения. Если состояния г и з" излучающей сили поглощасощей) системы вырождены, то полная вероятность излучения (или поглощения) данных фотонов получается суммированием по всем взаимно вырожденным конечным состояниям и усреднением по всем возможным начальным состояниям.
Обозначим кратности вырождения 1статистические веса) состояний г и 1 посредством 8с и 81. Для процессов спонтанного и индуцированного испу.скания начальными являются состояния г, а для поглощения— состоЯниЯ 1. ПРедположив в каждом слУчае все лс или Я1 начальных состояний равповероятными, получим, очевидно, вместо (44.10), следующие соотношения: г (поги) (инд) , (сп)7Г С с44.11) л 3 В литературе часто используются так называемые коэффициентам Эйнгаглейна, определяемые как А, = ~"*~, в;1 = 0'нд~-', в1, = ~"'"0-' <44.12) 1 1 (величина 1(с есть пространственная спектральная плотность энергии излучения).
Они связаны друг с другом соотношениями „гсг 81в1, = 8,В,1 = л,А,1 —;. (44.13) 9 45. Дипольное излучение Применим полученные формулы к испусканию фотона релятивистским электроном в заданном внешнем поле. Ток перехода в этом случае есть матричный элемент оператора 7= Ф-Ф, 193 дипольнов излмчвнив (45 1) где дзе и 4Т вЂ” -волновые функции начального и конечного состояний электрона. Выберем волновую функцию фотона в трехмерно поперечной калибровке (4-всктор поляризации е = (О,е)). Тогда в (43.10) произведение уу,е* = — 3у,е*.
Подставив Ъу; в (44.4), получим следующую формулу для вероятности излучения (в 1 с) в элемент телесного угла с1о фотона с поляризацией е: гйиеп = е — ]е*зу,(1с)] Йо, 2к (45.2) где Зу;(1с) = д1усед1,е ' "с1 х. (45.3) Суммирование по поляризациям фотона осуществляется путем усреднения по направлениям е (в плоскости, перпендикулярной заданному направлению п = 1с/оз), после чего результат умножается на 2 соответственно двум независимым возможностям поперечной поляризации фотона ') . Таким образом, получается формула с1п~„= е — ](п31,(1с)]] с1о. (45.4) Очень важен случай, когда длина волны фотона Л велика по сравнению с размерами излучающей системы а.
Такая ситуация связана обычно с малостью скоростей частиц по сравнению со скоростью света. В первом приближении по а/Л (соответствующем дипольпому излучению —. ср. П, 3 67) в токе перехода (45.3) можно заменить единицей множитель е ' ", мало меняющийся в ) Для усреднения используется формула — 1 е, е1 — — - (бы — и, ее ) 2 (45.4а) или (ае)(Ье") = -(аЬ вЂ” (ап)(Ьп)) = -(ап)(Ьп), 1 1 2 2 (45,4б) где а, Ь вЂ” постоянные векторы. 7 Л. Д. Ландау я Е.М, Лифшиц, том 1У в котором ф-операторы предполагаются разложенными по системс волновых функций стационарных состояний электрона в данном поле (см. 2 32).
Переходу электрона из состояния 4 в состояние у' отвечает матричный элемент (0,11]у]1;Оу). Такое изменение чисел заполнения осугцествляется оператором а~~а„и для тока перехода получаем 194 гл м излу !ение области, где с)с или фу заметно отличны от нуля. Такая замена, означает, другими словами, пренебрежение импульсом фотона по сравнению с импульсами частиц в системе. В том же приближении интеграл 17,(0) может быть заменен его нерелятивистскнм выражением, т. е. просто матричным элементом ч7, скорости электрона по отношению к шредингеровским волновым функциям.
В свою очередь этот элемент чу; = = — сиг7м а егУ, = с17с где с1 дипольный момент электРона (в его орбитальном движении). Таким образом, находим следуюшую формулу для вероятности дипольного излучения: дю,„= — ~е*с17,~ до 2к [45.5) [направление и фигурирует здесь в неявном виде: вектор е долж- ен бьггь перпендикулярен п). Просуммировав по иисшри.зацням, получим Йл„= — ~[пс17,)~ с1о. 2х (45.6) ш = — (с17;(2., 3 (45.7) или в обычных единицах: [45.7а) Интенсивность 1 излучения получается умножением вероятности на скэ: [45.8) Эта формула обнаруживает непосредственную аналогию с классической формулой (сы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
