В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 32
Текст из файла (страница 32)
П1, 9 140). Поэтому непосредственно переносятся сюда полученные там формулы, выражающие оператор через фазовые сдвиги волновых функций в рассеивающем поле. Надо лишь произвести переобозначение этих фаз, выразив введенные в П1, 9 140 сдвиги д14 и д через фазовый сдвиг д, фигурирующий в релятивистской формуле (35.7). Напомним, что фазы дет и д, относились к состояниям с орбитальным моментом 1 и полным моментом 1 = 1+ ~/2 и у = 1 — 1,12.
Согласно определению (35.3) 55 = — 1 — 1 при О = 1 + 112 и 55 = 1 при 1 = I — 152. Поэтому мы должны переобозначить 168 члстицл во внешнем полк гл 1к Для кулонова поля фазы б даются формулой (36.18), которую представим в виде (37.6) С вЂ” Г( 1 1п) 1т( ~~ т) Г (7 -'г 1 -'г 1и) (замечаем, что е' л = е' при зг ) 0 и е' л = — е' ' при яг ( О). С помощью введенных таким образом величин ряды (37А), (37.5) могут быть представлены в виде А(0) = -С(0) — г ' Г(0), р р В(0) = 18 С(0)+'" с,К Г(0), р 2 р2 2 (37.7) где С(В) = — ~1~С1(Р~+Р~ 1), Г(0) = — ~1С1(Р~ — Р~ 1). (37.8) При преобразовании ряда В(0) использованы следующие рекур- рентные соотношения между полиномами Лежандра: 15 + Р1 1 — с18 ' 1(Р1 Р~ г) в 2 Р~ — Р1 — 1 = 18 — 1(Р~+ Р~ — 1).
в 2 (37.9) (37.10) С другой стороны, в силу тождества (1+совВ) (Р~(совд) — Р~ 1(совд)) = 4сов й = 1(Р~(сов О) + Р~ 1(сов 0)] (37.11) функции Г(0) и С(0) связаны друг с другом соотношением С = (1 — сов д) = — с18 — —. НЕ й НХ' дсоео 2 Ю (37.12) Тем самым А(0) и В(0) оказываются выраженными через одну функцию Г(д) ') . ') Функция г (О) не выражается в замкнутом виде через элементарные функции.
Однако ее можно записать в виде определенного двойного интеграла — см. указанную вьппе статью. 7 38 РАССЕЯНИЕ В УЛЬГРЛРЬЛЯТ'ИВИСТСКОМ СЛУЧАЕ й 38. Рассеяние в ультрарелятивистском случае Особо рассмотрим рассеяние в ультрарелятивистском случае (е >) т). В первом приближении полностью пренебрегаем в волновом уравнении массой ви При этом удобно пользоваться для у7 спииориым представлением ф =, так как уравнения для 71 /' ~ и 77 при п7 = О разделяются: — гГГ7УТ, = (Š— 5Г)(, (приобретая «пейтриииый» вид, см.
З 30). Спиральному состоянию электрона, поляризованного в направлении р, отвечает волновая функция у7 = ~ О ), а поля- 7 ~ 7' О '7 ризовапиому против р: у7 = ~ ). В силу независимости урав- ~9) пений для ~ и 71 ясно, что это свойство при рассеянии не меняется. Другими словами, при рассеянии ультрарелятивистских электронов сохраняется спиральность. Из соображений симметрии (продоль77ая поляризация) очевидно, что при рассеянии спиральных частиц отсутствует азимутальная асимметрия. Можно также утверждать, что сечение рассеяния спиральных электронов ие зависит от знака спиральиости; это следует из того,что центральное поле инвариантно по отношению к инверсии, а знак спиральности при инверсии меняется иа обратный. В ультрарелятивистском случае формулы (37.3) .(37.5) могут быть существенно упрощены 1Р.
Л. 1'сппГЕ, Р. С. Лагепйа11, Л. Х И'ГЬсп, 1954). Пусть падающий электрон поляризован, скажем, вдоль направления движения п. Для плоской волны с опроделеипым значением пГГ спииор ((= (у + 1„)/Ту2) пропорционален тому же 3-спииору ю, который фигурирова77 в сгандартиом представлении волны. Поэтому связь между спииориыми амплитудами падающей и рассеянной волн в новом представлении по-прежнему осуществляется тем же оператором ~. В результате рассеяния вектор поляризации поворачивается вместе с импульсом, приобретая направление и'. Воздействие оператора 1' иа спиновую волновую функцию электрона сводится поэтому к повороту спина иа угол 0 (угол между и и и') вокруг оси Гу. В свою очередь такой поворот эквивалентен повороту системы координат вокруг той же оси в обратном направлении, т.
е. на угол — О. Отсюда следует, что оператор 1 должен совпадать (с точностью до коэффициента) с оператором, осуществляющим преобразование волновой функции при указанном изменении системы координат, т. е. с оператором (18.17) с заменой 0 -+ — О. 170 чхатнцл во внкшнкм полк ГЛ. 1~ Сравнив (37.3) с (18.17), найдем, что должно быть в . в — = — 1Ц вЂ”. Л 2 (38.2) $8 (рг — — + бн) = — с18 (ри — — ' + д ) ., б, = б „вЂ” (/' — 1) — + (и + — ) я, откуда е2м е2м (38.4) Используя зто соотношение (и заменяя в первом члене суммы в (37.4) индекс суммирования 1 на 1 — 1), получаем А(0) = 1 ~~ 1(е2ы~ — 1)(Р~(сокО) + Р~,(сов0)]. (38.5) 2гр 1=1 Из (38.2) следует, что Ве(АВ*) = О.
Это значит, что в рассматриваемом приближении сечение не зависит от начальной поляризации частиц, а неполяризованпый пучок остается неполяризованным и после рассеяния (см. формулы 1П, (140.8) — (140.10)). Отметим также, что при 0 — ~ я выражение А(0) (38.5) стремится к нулю как (я — О) (напомним, что Р~( — 1) = ( — 1)~).
Вместе с ним стремится к нулю также и сечение 4в ~А к+ ~В~к ~А(В)~к (38.6) ЙО = :..'(в/2) Перечисленные свойства исчезают, разумеется, в следующих приближениях по малой величине п~/к. В частности, анализ показывает, что при О -+ 7г сечение стремится к пределу, пропорциональному (т/к), Таким образом, в ультрарелятивистском пределе / = А(0) ~1 — 118 — . к о ~ . (38.3) Выражение для А(О) (37.4) тоже можно упростить, если воспользоваться возникающим в том же пределе соотношением между фазами бн и б .
Для его вывода замечаем, что уравнения (35.4) для функций / и д после вычеркивания членов с ит становятся инвариантными относительно замены эг — у — х, не затрагивающей параметров самой частицы или поля. Поэтому должно быть / /8 = — 8 //, и после подстановки асимптотических выражений находим ВОлнОВые Функции для РАссеяния В кулОнОВОм пОле 171 1 39 Для кулонова поля в ультрарелятивистском случае фазы д не зависят от энергии, как это видно из (36.9) ') . Поэтому в чисто кулоновом поле сечение рассеяния при е » пз имеет вид (38.7) где т --.
функция только от угла. й 39. Система волновых функций непрерывного спектра для рассеяния в кулоновом поле В дальнейшем (см. 8 95, 96) будут рассмотрены различные неупругие процессы, происходящие при рассеянии ультрарелятивистских электронов в поле тяжелого (к ст 1) ядра. Для Вычисления соответствующих матричных элементов пам понадобятся волновые функции, асимптотическая (при г -+ оо) форма которых складыВается из плоской и сферической Волн. В1ы увидим, что в ультрарелятивистском случае (энергия электрона е » гп) основну.ю роль в рассеянии играют передачи импульса (от электрона ядру) д = ~р' — р~ т. Этим значениям д отвечают «прицельные расстоянияя р 1/д 1/гп, причем электрон отклоняется на углы -) 0-8-™. (39.1) р е В терминах координат г (рассгояние от центра) и В = г сов 0 это означает область р = гвш0 1/т, р(г — з) = рг(1 — со90) 1.
(39.2) При этом г е)тз, т. с. мы имеем дело с областью больших расстояний. Напишем уравнение Дирака в виде (е — à — т1з + ив~у)ч) = О, 17 = — Ест/г. (39.3) Преобразуем его в уравнение второго порядка, для чего применим к (39.3) стератор (е — бг+гп,0 — зсеу): (Ь + р~ — 2ебг)у) = ( — гсе у à — П~)ф. Поскольку н рассматриваемой области г » Ест/е, то 17 « е.
В первом приближении можно пренебречь в (39.4) правой ) Это видно и непосредственно из уравнений (38. 1), поскольку для кулонова поля заменой г — г г'/е знерги1о е можно вообще устранить из уравнений. ) В атом параграфе р обозначает ~р~. 172 частица во внвшнвм полк Гл ги (39.5а) п,р,рг т/2« отвечающий одной частице в единичном объеме. Поскольку в ультрарелятивистском слу гае р — е, в (39.6) можно положить 'г 1р=го: ф, = С вЂ” ги е'Р"Р («Яо, 1, г(рг — рг)), (39.8) ~/2 ее С = е '~~7 Г(1 — «Уст).
Обратим внимание на то, что хотя мы рассматриваем расстояния настолько болыпие, что рг» 1, заменить в (39.8) гипергеометрическую функцию ее асимптотическим выражением нельзя: аргументом функции Р является пе рт, а величина рг11 — сов с)), не предполагающаяся нами большой ') . ') В т. 1П, б лзб мы интересовались сколь угодно болыпими г, и поэтому тикая замена была возможна для любых углов д. стороной.
Остающееся уравнение ( л + р2 + 2е™ ) ф — 1) (39.5) по форме совпадает с нерелятивистским уравнением Ш1рддингра в кулоновом поле ( л+ + )Ф отличаясь от него лишь очевидным изменением обозначения параметров 1в «потенциальной энсргииа лишний множитель е/т). Поэтому мы можем сразу написать его решение, имеющее требуемый асимптотический вид (сы. П1, 2 136). Так, волновая функция, содержащая асимптотически плоскую (сс е'"') и расходящуюся сферическую волны, имеет впд (39.6) С = "'"Д' ) Г 1 — ~ '1) .
р / где Г вырожденная гипергеометрическая функция, а и,р постоянная биспипорная амплитуда плоской волны, нормированная принятым нами условием (23.4) йериер — — 2т. (39.7) Волновая функция (39.6) нормирована таким образом, что плоская волна в ее асимптотическом выражении имеет обычный вид 1 39 ВОлнОВые Функции для РАссеяния В кулОнОВОЫ пОле 173 В применениях оказывается необходимым также следу|ошсе приближение в уУ, которое имеет спинорную структуру, отличную от структуры (39.8) (сводящейся к множителю и,р). Для его вычисления пишем уу в виде е'Р (и,рР+ У). ~/2В В правой стороне уравнения (39.4) сохраняем теперь член с первой степенью 17 и для функции у получаем уравнение (Ь+ 2»Р~7 — 2еЦУ = — ги,р(сгг717)Р.
(39.9) Кто решение можно найти, заметив, что функция Р удовлетворяет уравнению (Ь+ 2гр~7 — 2Ж)Р = 0 (в чем можно убедиться, подставив (39.6) в (39.5)). Применив к этому ураанепию опера, цито у', по.лучим (Л + 2гр~7 — 2еП)т7Р = 2еР'717. Сравнив с уравнением (39.9), найдем ~Р = — — (се'У')иерР. 2е Выпишем окончательное выражение для ф~" ~ и для такой же функции уу~ ~, содержащей в своем асимптотическом выражении сходящуюся сферическую волну: ф,р — — е"" (1 — — '~ ~7) Р(вайо, 1, г(рг — рг))и,р, ~/2е ' 2е ЦУ р — — — е'Р" (1 — — ' У) Р( — »Йа, 1, — г(РР + Рг))и,р, (39.10) С = е ~ 7~Г(1 — 12 а) (1Р; Н.
Ригту, 1934). Выпишем также аналоги п|ые функции (ф, р) с «отрицательной частотой», которые понадобятся при рассмотрении процессов с участием позитронов. Г1х можно получить из функций ф,р замоной р — + — р, е — + — е, причем р = = ~р~ не меняется (в силу последнего обстоятельства параметр г2 а гипергеометрической функции меняет знак, как это видно из первоначального выражения (39.6), в котором этот параметр фигурирует в виде гйое/р). Таким образом, получим ф~, = — е '"" (1+ — '~~7) Р( — вайа,1,г(рг+рг))и, р, У'2Е ~ 2Е = — е '"" (1+ ™ У) Р(1е о, 1, — г(Р~ — Рг))и, р, У"2е ~ 2е (39.11) С = е ~Я~72Г(1 + гйа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
