В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 29
Текст из файла (страница 29)
е. по нерелятивистской волновой функции) от релятивистских членов в приближенном гамильтопиапе (33.12). Для несколько болыпей об1цности положим заряд ядра равным Яе, предполагая при этом, однако, что и Уо « 1. Нэтгряженностытоля ядра Е = к ег/гз, а его потенциал удовлетворяет уравнению схф = — 4як еб(г). Подставив это в (33.12) (последние три члена), с учетом отрицательности заряда электрона получим оператор возмущения (34.1) Поскольку согласно нерелятивистскому уравнению Шредингера р~лУ = 2т (ке + — ) у2 (ко = — тУ2сг2/2и2 невозмущенный уровень, п главное квантовое число), среднее значение р = 4т (ко+ ™) Эта величина, как и среднее значение второго члена в (34.1), вычисляется с помощью формул (см.
1П, 5 36) г — 1 ~~~~ — 2 Оп~к) .— 3 Опал) 134 2) пз а О "г 1!2) пз)11 1" 1/2Н1 -1. 1) (последняя относится к 1 ч'= О), :собственное значение 1 [) О + 1) 111 + 1) з( ] 1 О, 1= О. Наконец, усреднение третьего члена производится с помощью форму.л (34.3) ) Влияние движения ядра на значения этих поправок представляет собой эффект более высокого порядка малости, которым мы здесь не интересуемся. 153 1 34 ТОИКАЯ СТРУКТУРА УРОВНВИ АТОМА ВОДОРОДА Результат простого вычисления с использованием написанных формул может быть представлен во всех случаях (при всех )и1) ввиде т(ЯО)4 ( 1 3 з) з 1+ ')з 4В) (34.4) Формула (34.4) и дает искомую релятивистскую поправку к энергии водородных уровней энергию тонкой структуры ') .
Напомним, что в нерелятивистской теории имеет место как вырождение по направлениям спина, так и кулоново вырождение по 1. Тонкая структура (спин-орбитальное взаимодействие) снимает это вырождение, но не полностью, — остаются двукратно взаимно вырожденными уровни с одинаковыми п, у, но разными 1 = у' ш 11з (невырожденными оказываются при этом лишь уровни с наибольшим возможньлм при заданном и значениеъз у— = 1 ах+ 1,6 = И вЂ” ®.
ТаКИМ ОбраЗОМ, ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ водородных уровней с учетом тонкой структуры такова; 1В зй, 2В зй, 2р з з, 2рз з ЗВМ„ЗрО„Зреем Зс)з,~„ Зс1од ' ) Эта формула (как и более точная формула (Зб.10)) была получена Зом,мерфельдом (А. Ботти~еЫ) из старой теории Ьора ете до создания квантовой механики. Уровень с главным квантовым числом и расщепляется па и компонент тонкой структуры. Напомним,что в нерелятивистской механике еслучайноеа вырождение уровней энергии в кулоновом поле связано с существованиеи специфического для этого поля закона сохранения; сохраняется величззпа А, оператор которой А = — + ЦГр1 — ~р1)1 (см.
Н1, (36.30)). Со специфическим законом сохранения связано и остающееся в релятивистском случае двукратное вырождение: гамильтониан уравнения Дирака Й = скр 4- )Ззп — е~/г коммутативеп с оператором 1 = — Е + — ',з(Х1+ 1) ув (Й вЂ” т14) е то (М. О. УОЬпзоп, В. А. Бзрртапп, 1950). В нерелятивистском пределе этот оператор 1 — з ЕА. 154 члатицл во внкшнкм полк ГЛ. 1~ Мы увидим в дальнейшем Я 123), что это оставшееся вырождение снимается так называемыми радиационными поправками (лэмбоескьи1 сдвиг), не учитываемыми уравнением Дирака одноэлектронной задачи. Забегая вперед, укажем уже здесь, что по порядку величины эти поправки тЕ~ск~ 1п(1/кк).
Поправка же второго порядка по спин-орбитальному взаимодействию была бы т(Яо)е, так что ее отношение к радиационным поправкам Я и/1п(1/кк). Для водорода (Я = 1) это отношение заведомо мапо, и потому зада ка о точном решении уравнения Дирака в этом случае не имеет смысла. Эта задача, однако, может иметь смысл для уровней энергии электрона в поле ядра с болыпим к (см. ~ 36). й 35.
Движение в центрально-симметричном ноле Рассмотрим движение электрона в центрально-симметричном электрическом поле. Поскольку при движении в центральном поле сохраняются момент и четность (относительно центра поля, выбранного в качестве начала координат), к угловой зависимости волновых функций такого движения относится все сказанное в ~ 24 по поводу сферических волн свободных частиц. Меняются лишь радиальные функции. Соответственно этому будем искать волновую функцию стационарных состояний (в стандартном представлении) в виде (35.1) где 1 = у' ш Щ, 1' = 21 — 1, а степень — 1 введена для упрощения последующих формул.
Уравнение Дирака в стандартном продставлении дает следующую систему уравнений для ~р и т: (к — т — Г)у = агтрк, (к+ ьч — Г)т = ордер, (35.2) где П(г) = еФ(г) — потенциальная энергия электрона в поле. Вычисление результата подстановки сюда выражений (35.1) сводится к вычислению правых сторон этих уравнений.
Выражая шаровой спинор й г через 11 ~ согласно пг/ Г1 П;г, = г' ~о'-1 П ~ г (см. (24.8)), пишем: (р)х (рн ) г 155 двилкение В центРАльнО-Оиммь'ГРичнОм ИОле Преобразовав теперь произведение (ор)(7тг) с помощью форму- лы (33.5), найдем после раскрытия векторных операций (ор)~ = — л(рг+ ло<рг]1ий ! = ( — 71177 г — (г лГ) — о <гг]'1 — Й7нн = Т (ь' + К + ОГ1) П17т7 Т Г 21в = 3з — 1з — в~ = у (у + 1) — 1(1 + 1) — — = Д ля единообразия записи формул в обоих случаях (1 = у'~ 777Е) удобно ввести обозначение — (у+ 7Ь) = -(1+1),,~ =1+ '/з, (35.3) +(7' + Ю = 17,'7' = 1 /2.
Число 7т пробегает все целые значения, исключая значение 0 (причем положительные числа отвечают случаю у = 1 — л77з7 а отрицательные--случаю у' = 1+ 777з). Тогда 1ОГ = — (1 + 77), так что (ор)Х = (К + К) Пу!т При подстановке этого выражения в первое из уравнений (35.2) шаровой спинор П ! в обеих сторонах уравнения сокра7цается. Поступив аналогичным образом и со вторым уравнением, получим в результате следующую систему для радиальных функций: ,7" + ~ — (е+ Тп — 57)я = О, 7' д + 77'+ (е — т — 17')1 = О, (35 4) или (у7)'+ — Цт) — (е+ т — П)у7' = О, (35. 5) (дт)' — — (нт) + (е — т — 57)1т = О.
Т Исследуем поведение ~ и я на малых расстояниях, предположив, что поле 57(т) возрастает при т — ~ 0 быстрее, чем 177т. Тогда в области малых т уравнения (35.4) принимают вид У'+ 11К = О, К' — иУ = О. где 1= <гр] оператор орбитального момента; штрих означает дифференцирование по т. Собственные значения произведения о1= 21в равны 156 Гл. н« члстицл во внкшнкм полк Они имеют вещественные решения вида )'= сопк1 вш Г й + Б, к = сопи~ сов Уг1»'+ д, (35.6) где б — — произвольная постоянная. Эти функции осциллируют при г » О, не стремясь ни к какому пределу.
Легко видеть, что такая ситуация соответствует в нерелятивистской теории «падению» частицы на центр. Прежде всего отметим, что область малых расстояний не накладывает в этом случае ограничений на выбор решения: условие при г = 0 для осциллирующей функции отсутствует и выбор постоянной д остается произвольным (правильного же поведения волновой функции в области больших г. можно добиться при любом к надлежащим выбором д). Можно устранить эту неопределенность, рассматривая сингулярный (при г = О) потенциал как предел при гв -+ 0 потенциала,.
«обрезацного» на некотором гп (т. е. равного Г(г) при г > го и У(гв) при г < го). При конечном гп псшучается, разумеется, определенная система уровней энергии. Однако энергия основного состояния стремится к — оо при гп -+ О. В перелятивистской теории это как рази означает «падение» на центр, поскольку частица на глубоком уровне локализована в малой области вокрут г = О. В релятивистской же теории такая ситуация вообще недопустима, так как означает неустойчивость системы относительно самопроизвольного рождения электронпозитронных пар.
Действительно, ешш в вакууме для рождения такой пары нужна энергия, превышающая 2т, то в поле достаточна уже меньшая энергия. При наличии связанного состояния электрона с энергией к < гп возможно рождение пары с затратой лишь энергии к + т < 2т, причем рождаются свободный позитрон и электрон в связанном состоянии. Если же энергия уровня связанного состояния к < — т,, то такое поле может рождать позитроны (с энергией — к > т) самопроизвольно, без затраты энергии от внешнего источника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
