В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Как и в нерелятивистской теории, состояния непрерывного спектра соответствуют инфинитному движению, при котором частица может находиться на бесконечности, где ее можно рассматривать как свободную. Поскольку собственные биб б * ир ~бр'~+, ясно, что непрерывный спектр собственных значений энергии лежит при к > т и при к < — пи Если же — пб < к < т, то частица ве может находиться на бесконечности, так что движение фипитно и состояние принадлежит дискретному спектру. Как и для свободных частиц, волновые функции с «положительной частотой» (е > О) и с «отрицательной частотой» (к < 0)б определенным образом входят в схему вторичного квантования.
Для частиц во внешнем поле эта схема естественно обобщается путем замены плоских волн в формулах (25.1) соответственно нормированными собственными функциями уравнения Дирака б1би и 1пи, относЯЩимисЯ к положительным (ки ) и отРиЦа- М М тельным ( — ки ) частотам: 1 ЗЗ УРььвненив ДНРлкл Для элвктРОььА ВО Внешнем пОле 147 положительных сделаться отрицатььльныиььл (или, для потенциа; ла другого знака, из отрицательных положительными). Тем не менее из соображений непрерывности надо продолжать считать эти уровни электронными (а пе позитронными).
Другими словами, к электронным следует относить все состояния, которые при бесконечно медленном выключении ьюля примыкают к положительной границе непрерывного спектра (с = т). Хотя уравнение Дирака для электрона во внешнем поле и дает возможность, как уже было сказано, решать широкий круг задач квантовой электродинамики, необходимо в то же время подчеркнуть, что применимость понятия внешнего поля в рамках одночастичной задачи в релятивистской теории все же ограничена. Эта ограниченность связана с самопроизвольным рождением электрон-позитронных пар, возникающим в достаточно сильных полях (см.
ниже, 3 35, 36). Мы нс будем рассматриваь ь в этой книге вопрос о введении внешнего поля в волновые уравнения частиц с отличным от 1/2 олином, поскольку он не имеет прямого физического смысла- реальные частиь1ы с такими спинами являются адронами и их электромагнитные взаимодействия не могут быть описаны волновыми уравнениями. В этой связи следует отметить, что эти уравнения могут приводить и к физически противоречивым результатам. Так, волновое уравнение для частиц со спином О имеет комплексные (с мнимыми частями обоих знаков) уровни энергии в поле достаточно глубокой потенциальной ямы. Волновое уравнение для частиц со спином 3,~2 приводит к нарушению причинности, проявляющемуся в появлении решений, распространяющихся со сверхсветовой скоростью. Задача Определить уровни энергии электрона в постоянном магнитном поле.
Р е ш е н и е. Векторный ььотеьщиа,с А, = А. = О, .4„= Н, Ьььоле Н направлено по оси 2). Сохраняются 1ььаряду с энергией) компоненты р„, р, обобщенного импульса. Воспользуемся уравнением второго порядка для вспомогательной функции ьз Ьсм. Ь32.8)) и примем, что З2 есть собственная функция оператора Еь (ьь собственным значением а = шЦ, а также операторов рь, р,. Уравнение для у2 имеет вид (' -)= 2 2 2 2 — — З- (еНт — р ) — еНа уь = Ье — т — р,)уь. ,1Л2 Это уравнение по форме совпадает г. уравнением Шредингера щья линейного осциллятора.
Собственные значения е определяются формулой е — ьп — р, =~е~Н(2п-РЦ вЂ” еНа, и=о, 1, 2, ... Ьср. 111, 3' 112). Отметим, что волновая функция ьь2, которую гзьедует определить из Ь2 по формуле Ь32.8), не является собственной функцией оператора Е„. - в СоОтветствии с тем, чтО для движущвйея частицы спин не является сохраняющейся величиной.
148 частица во внешнем полк гл га 8 33. Разложение по степеням 1/с ') 1й — й = (осе (р — — А) + (Зтс + еФ) 1а. (33.1) В релятивистской энергии частицы содержится также и ее энергия покоя тс . Для перехода к нерелятивистскому приближению .2 она должна быть исключена, для чего вместо гр вводим функцию ф' согласно — сшс~Г/6 Тогда (16 — + тс ) ф' = (осе (р — — А) + ртсс + еФ[ гр'. Представив дт в виде ф' = ~, ), получим систему уравнений: (1гг — — сФ) ~р' = ест (р — — "А) Х', (33.2) ( ' . '1 ' = (- И еФ+ 2т~с1 Х~ со.
[р А) у~ (33 3) дг l ь с (ниже будем опускать штрихи у уа и Х, что не вызовет недоразумений, так как в этом параграфе мы пользуемся только преобразованной функцией гд'). В первом приближении в левой стороне уравнения (33.3) оставляем лишь член 2тс2Х и получаем о. (р — -еА) еа (33.4) (отметим, что Х ~р/с). Подстановка этого выражения в (33.2) дает (гб — — еФ) ео = — (сг (р — — А)) го. Для матриц Паули справедливо соотношение (сга) (о Ь) = аЬ + ит [аЬ), (33.5) ') В атом параграфе пользуемсв обычной системой единиц. Мы видели (см. 8' 21), что в нерелятивисгском пределе (е — г — у 0) две компоненты (Х) биспинора ф = ( г ) обращаются в (Х) нуль.
Поэтому при малых скоростях электрона Х (( ео. Это дает возможность получить приближенное уравнение, содержащее только двухкомпонентную величину со, путем формального разложения волновой функции по степеням 1/с. Исходим из уравнения Дирака для электрона во внешнем поле в виде 1зз РАзло5квние ПО сткпен51л1 17' где а, Ь произвольные векторы (см. (20.9)). В данном случае а = Ь = р — -',А, но векторное произведение (аЬ) не обращается в пуль в силу некоммутативности р и А: ~(р — — А) (р — — А)1 )р = 1 — ""1(АА) + (37А)))р = 1 — 'го1А )р.
Таким образом, (сг (р — -еА)) = (р — -еА) — — 'сгН (33.6) (где Н = го1А магнитное поле), и для )р получается уравнение и 7 =ЙФ= ~ — (Ф вЂ” 1А) Ф Ф вЂ” ' и~ 7. )33.7) д1 (2т с 2тс Это — так называемое уравнение Паули. Оно отличается от нерслятивистского уравнения Шредингера наличием в гамильтопиане последнего члена, который имеет вид потенциальной энергии магнитного диполя во внешнем поле (ср. П1, 8 111). Таким образом, в первом (по 1))с) приближении электрон ведет себя как частица, обладающая наряду с зарядом также и магнитным моментом: е )и = — 6я.
тс (33.3) 3 = сф'аф = с()р'о21 + зс'о)р). Согласно (33.4) подставляем сюда, сг ( — 16737 — — А) )р, т* = (1657 — — А) )р"а, а произведения, содержащие по два множите,пя о', преобразуют- ся с помощью формулы (33.5), представленной в виде (о.а)о = а+1(сга), о(оа) = а+1(ао). (33.9) ) Этот замечательный результат был получен Дираком в 1928 г. Двух- компонентная волновая функция, удовлетворяющая уравнению (33.7), была введена 77аули (1927) еще до открытия Дираком его уравнения. При этом гиромагнитное отношение (е/571с) двое больше, чем это было бы для магнитного момента, связанного с орбита.льным движением '), Плотносгь р = у7*у7 = )р*)р+ у*зс. В первом приближении второй член должен быть отброшен, так что р = ))р)27 как и должно быть для шредингеровского уравнения.
Плотность же тока: Гл г~ 150 чвстицл во внешнем полк В результате получается 3 = †''(~рT~р* — р*'7~р) — †' А~р*~р + — го1(р*сгф, (33.10) 2т тс 2т в согласии с выражением (115.4) (см. Ш) из нерслятивистской теории. Найдем теперь второе приближение, продолжив разложение до членов 1/с2 ') . Будем предполагать при этом, что имеется только электрическое внешнее поле (А = О). 2 Прежде всего замечаем, что с учетом членов 1/с плотность Р= 14'+ !Х~' = ~Ф'+, '...~ '~'Ф'.
Это выражение отличается от шредингсровского. Имея в виду найти (во втором приближении) волновое уравнение, аналогичное уравнению Шредингера, мы должны ввести вместо 92 другую (двухкомпонентную) функцию гргр, для которой сохраняющийся во вромени интеграл имел бы вид 1 ~92 р~ д' т, как это должно 2 З быть для уравнения Шредингера. Для нахождения требуемого преобразования пишем условие З 52 е',е.,г': =/(е"е-г,",„(ее" И се)) г' и производим интегрирование по частям: ('~ г )( Зг )13 г( Зг)( г7) ~З, гА ~З (или то же с псреставленными ег и ~р*). Таким образом, г ".„., "=/(е" — ": де"ее ееч) '*.
откуда видно, что (1+ Р ),, (1 Р ), (33 11) Для упрощения записи будем считать, что состояние стационарно, т. е. заменим оператор гргд/дс энергией е (с вычтенной энергией покоя). В шседующем (после (33.4)) приближении имеем из (33.3); Х вЂ” ( г)( Р)гс Это выражение надо подставить в (33.2), после чего заменить 92 на 92 р, согласно (33.11), опуская все время члены более высокого порядка, чеы 1/с . После простого вычисления получим ') Ниже следуем методу Б. Б. Берестецхого и Л.
Д. Ландар (1949). 1 34 РАзлолквние по сткпенялл 1/ УРавнение ДлЯ ьз р в виДе вР р — — Й~Р р, гДе гами.льтониан 2 4 Й Р + ьФ Р + г ~( )Ф( -) 1( 2Ф+Ф-2)~ 2т 8гввс' 4лпэсз 2 Выражение в фигурных скобках преобразуется с помощью формул (ор)Ф(ар) = Фр2+ (сгрФ)(ор) = Фр2+ й(сгЕ)(ор), р2Ф вЂ” Фр = — 62ЬФ + 246Ер, Й = — + еФ вЂ” — ' о [Ер) — с))уЕ. (33.12) 2т 8лпэс' 4лпвс' 8гпэсе Последние три члена искомые поправки порядка 1/с~.
Первый из них--следствие релятивистской зависимости кинетичег--(г - -г»--., е';- 'Р- — плс2). Второй член, который может быть назван энергией спипорбипшльного взаиллодействил, энергия взаимодейлствлля движущегося магнитного момента с электрическим полем ') . Последний же член отличен от нуля только в тех точках, где находятся заряды, создающие внешнее поле; так, для кулонова поля точечного заряда Уе: ЬФ = — 4яЯел)(г) (С. С.
Вагюлп, 1928). Если электрическое поле центрально-симметрично, то Е= — — —, г ог и оператор спин-орбитального взаимодействия можно предста- вить в виде ей, —,лгг й 4бл 1- о ~гр1 — = — 1в. 4тэс'г гЛг 2т'с'г 4г (33.13) Здесь 1 оператор орбитального момента, и = 1/2сг оператор спина электрона, Г = еФ потенциальная энергия электрона в поле. ') Введя магнитный момент (33.8) и скорость т = р)пи получим зту энергию в виде — —.',, Лз)Ег).
На первый взгляд:этот результат ьюжет показаться неестественным, так как при переходе в систему отсчета., движущуюся вместе с частицей, возникает магнитное поле Н = -)Еч], в котором магнитный ! момент должен был бы иметь энергия) — 44Н. В действительности появление множителя 1/~ (лтомасовская половинка», Ь. Топтав, 1926) связано с общими требованиями релятивистской инвариантности в сочетании со специфическими свойстваллн электрона как «спинорнойь час гицы с присущим ей значением гиромагнитного отношения (сьл.
8 41). где Е = — Л7Ф электрическое поле. Окончательное выражение для гамильтониана: 152 члатицл во внкшикм полк ГЛ. 1~ 3 34. Тонкая структура уровней атома водорода Определим релятивистские поправки к уровням энергии атома водорода..электрона в кулоновом поле неподвижного ядра ') . Скорость электрона в атоме водорода н/с сг « 1. Поэтому искомые поправки можно вычислить путем применения теории возмущений — как среднее по невозмущенному состоянию (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
