В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Попов, 1970). Подробное изложение количественной теории см. обзорную статью Я. Б. Зельдовича н В. С. Полова (УФН.— 1971. — Т. 105. — С. 403). 162 члатнцл во внкшнкм полк Гл. 1~ где г" (хх, )х, к) —. вырожденная гипергеометрнческая функция. По- ложив в каком-либо из уравнений (36.5) р = О, найдем связь между постоянными А и В: В = — ~ ~~7 А. (36.7) х — Ясин/Л Обе гипергеометрические функции в (36.6) должны сводиться к полиномам (в противном случае они будут возрастать при р — х оо как ек, а с ними будет возрастать как е")в н вся волновая функция).
Функция г'(сх,)з', к) сводится к полиному, если параметр сх равен целому отрицательному числу нли нулю. Обо- значим у — Ясхк/Л = — п,. (36.8) Если и„= 1, 2,..., то обе гнпсргсомстрнчсскис функции сводятся к полиномам. Если же и„= О, то сводится к полипому лишь одна из них.
Но равенство и„= 0 означает, что у = Ягхк/Л, и тогда, как легко проверить, Ехххп/Л = ~хг~. Если хг < О, то коэффициент В (36.7) обращается в нуль, так что Яз = О, и требуемое условие не нарушается. Если же хг > О, то В = — А, и Яз остается при и„= 0 расходящейся функцией. Таким образом, допустимы следующие значения квантового числа и,: )' 0,1,2, ... при хх<0; ) 1,2,3, ... при >О. (36.9) Из определения (36.8) находим теперь следующее выражение для дискретных уровней энергии: — ях — 1 + ( ) . (36.10) и/Р=-~г.к ° . ) ч В частности, энергия основного уровня 1в1)х (~хг~ = 1,п„ = 0); „=-,т:-~- При Ухх « 1 первые члены разложения формулы (36.10) дают к (7а)~ ) (Зо)к ~ 1 3 пх 2()х4 з- п,„)х ( )х4 ч- п, ~)х4 4Дхх) -~- и„) Обозначив п,,+)хг) = п (= 1, 2,...
) и заметив, что (хг( = х+ '6, мы вернемся к формуле (34.4), полученной нами ранее с помощью теории возмущений. Как уже было указано в конце 3 34, далып',йшие члены этого разложения не имеют смысла, поскольку они заведомо перекрываются радиационными поправками.
Формула (36.10), однако, имеет смысл в своем точном виде при Яхх 1. Гбз 1 36 ДВИЖЕНИЕ В КУЛОПОВОМ ПОЛЕ Отметим, что обнаруживаемое приближешгой формулой (34.4) двукратное вырождение уровней сохраняется и в точной формуле: поскольку в пее входит лишь )зг), уровни с разными 1 при одном и том же у по-прежяему совпадают. В волновой функции нам осталось еще определить общий нормировочный коэффициент А. Как всегда, волновая функция дискретного спектра должна быть нормирована утловием ) ф~2 с(ая = 1: для функций 1" и д это означает условие 2 (1 +я' )т Йт=1. о Коэффициент А проще всего найти по асимптотическому виду функций при т — у ОО.
С помопЛью асимптотической формулы Г( — п„2 у+1,р) — ( — р) ' Г(2ч+ Ц и,. Г(и, -'г 2 у -Ь Ц (см. 111, (с(. 14)) находим У ( 1)и, А /тп+ е ( 7+ ) е — Лг(2Лт)у+и,— ! Г(п, "; 2 1+ Ц Сравнив эту формулу с выражением (36.22), которое будет найдено ниже, определим А. Собрав затем полученные формулы, выпишем окончательные выражения для нормированных волювых функций: ~ (2Л)'' ~ (зи Ь е)Г(2З+ и,.
+ Ц ~ (2Лт)т — 1Š— Лг Х Ь' ) Г(2З' -'г Ц '14ги (еоги/Л) (Хат(Л вЂ” и) и„(~ х (( — "' — зг) г"( — п„2 у+ 1,2Лт) ~ п„г (1 — п„,2 у+ 1,2Лт)) (36.11) (верхние знаки относятся к (, нижние к я). Непрерывный спектр (е ) пт).
Нет необходимости заново [>ешать волновое уравнение для состояний непрерывного спектра. Волновые функции этого слу гая получаются из функций дискретного спектра заменой ') ъ'тг — е — у — (~й — т, Л вЂ” у — (р, — г1„— + у — 1 — (36.12) .г Р (о выборе знака при аналитическом продолжении корня лги — е см, т, 1П, 2 128). Заново, однако, должна быть произведена нормировка функций. ') Ниже В агом параграфе и Обозвачает ~р~ =;Й~ — гиз. 164 частица во внвшнвм поль гл гк Проделав в (36.11) указазп!ук» замену, представим функции / и я в виде А'е'р" (2рг)т 1 х е ) 1~й — т) х (емР(» — Ы,2 у+ 1, — 21рт) ~ е 'сР(у+ 1 — 1р,2 у+ 1, — 2грт))., где А' — новая нормировочная постоянная и введены обозначения (36.13) р ' н — »пт/е (величина С вещественна, поскольку »2 + (Яое/р) = зс + ! (7стгп/р)2) Согласно известной формуле Р(оь»1, -) = е~Р(»з' — ст,,'з, — ") (см, П1, (с1.
10)) имеем Р(»+ 1 — ги,2»+ 1., — 21рг) = е 2'"'Р(у+ ги,2у+ 1,21рг) = = е 2'Р'Р'(у — 1п,2 у+ 1, — 21рг), поэтому = 2гА'ъ»е+ гп(2рт) ' 1 й ) ейг~ "~~Р(у — 1п,2»+ 1, — 2!рг)/. (36.14) Нормировочный коэффициент А' определяется сравнением асимптотического выражения для этой функции с общей формулой (35.7) для нормированной сферической волны. Выпишем сразу получающееся таким образом выражение для волновых функций непрерывного спектра (и затем проверим его) '): /) =2з»е '"~е -, ~Г(,~1~г,)~(2р К) ')I е Г(2у-~-1) х Н ) е ("" ьс)Р(» — 1и, 2» + 1, — 2грг) ~ . (36.15) Асимптотическое выражение для этой функции находится с помощью формулы П1, (с1, 14), в которой в данном случае существен только первый член (второй убывает с более высокой степенью 1/г): з»2 +с~ 7п в1п Г и! К г 1/ е сов 2 = — ~/ ', ( рг — — '' + д + м1и2рг — — '/, (36.16) я!1 2 ) Волновые функции в поле отталкивания получаются отсюда изменением знака перед Яо, т.
е.изменением знака и 165 1 36 дВижение В кулогговогг пОле где д = ( — аг8Г(у+ 1+ ги) — — У+ —, (36.17) 2 2 или (36.19) кое г ) /доел гйпк 1'у+ 1 — ) гг сов яп„— '1 ) (е — 66) = л) ")ел л) =( — 1)"" ',"' (~ — гв) (ео — уровень энергии). Таким образом ') г и„! Г(2 у+ 1+ и„) Хогпг е — ее ') Легко убедиться в толг, что эта формула остается справедливой и при В,=О. е 2г6 гг — гитУВ Г(т -'с 1 — и4 гя(1 — т) е. (36.18) у — ги у -~- 1 -с ги Отметим для будущих ссылок выражение фаз в ультрарелятивистском случае (е» пг, и — 2 ст) е 2гя.
ГГУ-Ь1 — '~*) 1 11-т) е у — гха Г(у -1- 1-~- г,ха) Выражение (36.16) отличается от (35.8) лишь логарифмическим членом в аргументе тригонометрической функции. Как и в случае уравнения Шредингера, медленность убывания кулонова потенциала приводит к искажению фазы волны, которая становится медленно меняющейся функцией г. При аналитическом продолжении в область е ( т выражение (36.18) принимает вид 2гб и — Яош/Л Г1 У + 1 — еоеггл) ~ггпу т) (36.20) у — г )л Г< у+1+ г )л) Оно имеет полюсы в точках, где У + 1 — ЯгтегУЛ = 1 — п„, и„= 1,2,...
(полюсьу Г-функции в числителе), а также в точке у — Яаеугл = — п„= 0 (если при этом гс ( О); как и следовало ожидать, эти точки совгтадают с дискретными уровнями энергии. Вблизи какого-либо из полюсов с п„ф 0 имеем п„Г(2 у+ 1+ и,) л ) Вид Г-функции вблизи ее полюса находится с помощью известной формулы Г(е)Г11 — е) = я/е)пяе: (-, Л / Г1п )эгик1'у-е 1 — еоеуЛ) 166 частица во внвшнвм поль ГЛ. 1~ В конце предыдущего параграфа была получена формула (35.11), связывающая вычет функции езм в ее полюсе с коэффициентом в асимптотическом выражении волновой функции соответствующего связанного состояния. В случае кулопова поля, однако, эта формула должна быть несколько видоизменена в связи с тем, что вместо постоянного фазового сдвига о (как это было в (35.7)) в (36.16) стоит сумма б + и1п(2рт).
В левой стороне (35.11) надо поэтому писать не езм, а ехр[216 + 2тм!п(2рт)1 — ь е~м" (2ьдт)~1""ез1. Используя (36.21) и определяя из (35.11) коэффициент Ао (который будет теперь степенной функцией т), находим асимптотический вид нормированной волновой функции дискретного спектра: 2 (в~ш/а — К~+ е) ' е- ' 12~т)п,ьз,36 22) ~ 2п,! Хотпаг(2Ч -Ь 1 -Ь и,.) Эта формула была уже использована д.ля определения коэффи- циента в (36.11).
8 37. Рассеяние в центрально-симметричном поле Напишем асимптотическое выражение для волновой функции частицы, рассеивающейся в поле неподвижного силового центра, в виде ') (37.1) чз = и,ре'"'+ и,р е'""!т. Здесь и,р --биспинорпая амплитуда падающей плоской волны. Биспинор же и',, является функцией направления рассеяния и', а при каждом заданном значении и' совпадает по форме (но, конечно, не по нормировке!) с биспинорной амплитудой плоской волны, распространякпцейся в направлении и .
Мы видели в 3 24,что биспинорная амплитуда плоской волны полностью определяется заданием двухкомпонентной величины 3-спинора ш, представляющего собой нерелятивистскую волновую функцию в системе покоя частицы. Через этот спинор выражается и плотность потока: она пропорциональна ю*ш (с коэффициентом пропорциональности, зависящим только от энергии е и., следовательно, одинаковым для падающих и рассеянных ') В 3 37, 38 р обозначает ~р~, а в качестве индексов у амплитуды пишем отдельно е н р. 167 1 37 РАССЬ55НИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧНОМ ПОЛК частиц). Поэтому сечение рассеяния ейт = (юми551'ю*5п)г1о или, если (как и в 9 24 нормировать падающую волну условием ю*ю = 1, ЙТ = ю*ю е1о.
Введем оператор рассеяния 1 согласно определению и5' = Хю. (37.2) д,+ -+ д 51 П, д, — ~де (и помнить, что индекс у д задает теперь значение числа 55!). Таким образом, получим следующие формулы: 1' = А+ Веео, (37.3) А = — ~ [(1+ 1)(е~м-'-5 — 1) +1(с~5~' — 1)1Р1(соеО), (37 4) 21р 1=О В = —',5 (е ' — ' — ' — е ' ')Ре (сов О).
2р (37 5) где ее единичный вектор в направлении [пп'). Поскольку ю-. спинорная волновая функция в системе покоя, то и поляризационные свойства рассеяния описываются с помощью 1' теми же формулами, что и в Ш, 9 140. В шеучае кулонова поля оказывается возможным выразить обе функции А(О) и В(О) через одну. Укажем вкратце ход соответствующих вычислений ') . ') О1аеееЕегп л.
Ь., 55п Б.Я.771. 51ВЕ15. Р15уе. — 1964. — УО1. 5. — Р. 1594. Ввиду двухкомпонентности величин ю, и> определенный таким образом оператор аналогичен операторной амплитуде рассеяния, фигурирующей в нерелятивистской теории рассеяния с учетом спина (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
