Главная » Просмотр файлов » В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика

В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 31

Файл №1120566 В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика) 31 страницаВ.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566) страница 312019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Попов, 1970). Подробное изложение количественной теории см. обзорную статью Я. Б. Зельдовича н В. С. Полова (УФН.— 1971. — Т. 105. — С. 403). 162 члатнцл во внкшнкм полк Гл. 1~ где г" (хх, )х, к) —. вырожденная гипергеометрнческая функция. По- ложив в каком-либо из уравнений (36.5) р = О, найдем связь между постоянными А и В: В = — ~ ~~7 А. (36.7) х — Ясин/Л Обе гипергеометрические функции в (36.6) должны сводиться к полиномам (в противном случае они будут возрастать при р — х оо как ек, а с ними будет возрастать как е")в н вся волновая функция).

Функция г'(сх,)з', к) сводится к полиному, если параметр сх равен целому отрицательному числу нли нулю. Обо- значим у — Ясхк/Л = — п,. (36.8) Если и„= 1, 2,..., то обе гнпсргсомстрнчсскис функции сводятся к полиномам. Если же и„= О, то сводится к полипому лишь одна из них.

Но равенство и„= 0 означает, что у = Ягхк/Л, и тогда, как легко проверить, Ехххп/Л = ~хг~. Если хг < О, то коэффициент В (36.7) обращается в нуль, так что Яз = О, и требуемое условие не нарушается. Если же хг > О, то В = — А, и Яз остается при и„= 0 расходящейся функцией. Таким образом, допустимы следующие значения квантового числа и,: )' 0,1,2, ... при хх<0; ) 1,2,3, ... при >О. (36.9) Из определения (36.8) находим теперь следующее выражение для дискретных уровней энергии: — ях — 1 + ( ) . (36.10) и/Р=-~г.к ° . ) ч В частности, энергия основного уровня 1в1)х (~хг~ = 1,п„ = 0); „=-,т:-~- При Ухх « 1 первые члены разложения формулы (36.10) дают к (7а)~ ) (Зо)к ~ 1 3 пх 2()х4 з- п,„)х ( )х4 ч- п, ~)х4 4Дхх) -~- и„) Обозначив п,,+)хг) = п (= 1, 2,...

) и заметив, что (хг( = х+ '6, мы вернемся к формуле (34.4), полученной нами ранее с помощью теории возмущений. Как уже было указано в конце 3 34, далып',йшие члены этого разложения не имеют смысла, поскольку они заведомо перекрываются радиационными поправками.

Формула (36.10), однако, имеет смысл в своем точном виде при Яхх 1. Гбз 1 36 ДВИЖЕНИЕ В КУЛОПОВОМ ПОЛЕ Отметим, что обнаруживаемое приближешгой формулой (34.4) двукратное вырождение уровней сохраняется и в точной формуле: поскольку в пее входит лишь )зг), уровни с разными 1 при одном и том же у по-прежяему совпадают. В волновой функции нам осталось еще определить общий нормировочный коэффициент А. Как всегда, волновая функция дискретного спектра должна быть нормирована утловием ) ф~2 с(ая = 1: для функций 1" и д это означает условие 2 (1 +я' )т Йт=1. о Коэффициент А проще всего найти по асимптотическому виду функций при т — у ОО.

С помопЛью асимптотической формулы Г( — п„2 у+1,р) — ( — р) ' Г(2ч+ Ц и,. Г(и, -'г 2 у -Ь Ц (см. 111, (с(. 14)) находим У ( 1)и, А /тп+ е ( 7+ ) е — Лг(2Лт)у+и,— ! Г(п, "; 2 1+ Ц Сравнив эту формулу с выражением (36.22), которое будет найдено ниже, определим А. Собрав затем полученные формулы, выпишем окончательные выражения для нормированных волювых функций: ~ (2Л)'' ~ (зи Ь е)Г(2З+ и,.

+ Ц ~ (2Лт)т — 1Š— Лг Х Ь' ) Г(2З' -'г Ц '14ги (еоги/Л) (Хат(Л вЂ” и) и„(~ х (( — "' — зг) г"( — п„2 у+ 1,2Лт) ~ п„г (1 — п„,2 у+ 1,2Лт)) (36.11) (верхние знаки относятся к (, нижние к я). Непрерывный спектр (е ) пт).

Нет необходимости заново [>ешать волновое уравнение для состояний непрерывного спектра. Волновые функции этого слу гая получаются из функций дискретного спектра заменой ') ъ'тг — е — у — (~й — т, Л вЂ” у — (р, — г1„— + у — 1 — (36.12) .г Р (о выборе знака при аналитическом продолжении корня лги — е см, т, 1П, 2 128). Заново, однако, должна быть произведена нормировка функций. ') Ниже В агом параграфе и Обозвачает ~р~ =;Й~ — гиз. 164 частица во внвшнвм поль гл гк Проделав в (36.11) указазп!ук» замену, представим функции / и я в виде А'е'р" (2рг)т 1 х е ) 1~й — т) х (емР(» — Ы,2 у+ 1, — 21рт) ~ е 'сР(у+ 1 — 1р,2 у+ 1, — 2грт))., где А' — новая нормировочная постоянная и введены обозначения (36.13) р ' н — »пт/е (величина С вещественна, поскольку »2 + (Яое/р) = зс + ! (7стгп/р)2) Согласно известной формуле Р(оь»1, -) = е~Р(»з' — ст,,'з, — ") (см, П1, (с1.

10)) имеем Р(»+ 1 — ги,2»+ 1., — 21рг) = е 2'"'Р(у+ ги,2у+ 1,21рг) = = е 2'Р'Р'(у — 1п,2 у+ 1, — 21рг), поэтому = 2гА'ъ»е+ гп(2рт) ' 1 й ) ейг~ "~~Р(у — 1п,2»+ 1, — 2!рг)/. (36.14) Нормировочный коэффициент А' определяется сравнением асимптотического выражения для этой функции с общей формулой (35.7) для нормированной сферической волны. Выпишем сразу получающееся таким образом выражение для волновых функций непрерывного спектра (и затем проверим его) '): /) =2з»е '"~е -, ~Г(,~1~г,)~(2р К) ')I е Г(2у-~-1) х Н ) е ("" ьс)Р(» — 1и, 2» + 1, — 2грг) ~ . (36.15) Асимптотическое выражение для этой функции находится с помощью формулы П1, (с1, 14), в которой в данном случае существен только первый член (второй убывает с более высокой степенью 1/г): з»2 +с~ 7п в1п Г и! К г 1/ е сов 2 = — ~/ ', ( рг — — '' + д + м1и2рг — — '/, (36.16) я!1 2 ) Волновые функции в поле отталкивания получаются отсюда изменением знака перед Яо, т.

е.изменением знака и 165 1 36 дВижение В кулогговогг пОле где д = ( — аг8Г(у+ 1+ ги) — — У+ —, (36.17) 2 2 или (36.19) кое г ) /доел гйпк 1'у+ 1 — ) гг сов яп„— '1 ) (е — 66) = л) ")ел л) =( — 1)"" ',"' (~ — гв) (ео — уровень энергии). Таким образом ') г и„! Г(2 у+ 1+ и„) Хогпг е — ее ') Легко убедиться в толг, что эта формула остается справедливой и при В,=О. е 2г6 гг — гитУВ Г(т -'с 1 — и4 гя(1 — т) е. (36.18) у — ги у -~- 1 -с ги Отметим для будущих ссылок выражение фаз в ультрарелятивистском случае (е» пг, и — 2 ст) е 2гя.

ГГУ-Ь1 — '~*) 1 11-т) е у — гха Г(у -1- 1-~- г,ха) Выражение (36.16) отличается от (35.8) лишь логарифмическим членом в аргументе тригонометрической функции. Как и в случае уравнения Шредингера, медленность убывания кулонова потенциала приводит к искажению фазы волны, которая становится медленно меняющейся функцией г. При аналитическом продолжении в область е ( т выражение (36.18) принимает вид 2гб и — Яош/Л Г1 У + 1 — еоеггл) ~ггпу т) (36.20) у — г )л Г< у+1+ г )л) Оно имеет полюсы в точках, где У + 1 — ЯгтегУЛ = 1 — п„, и„= 1,2,...

(полюсьу Г-функции в числителе), а также в точке у — Яаеугл = — п„= 0 (если при этом гс ( О); как и следовало ожидать, эти точки совгтадают с дискретными уровнями энергии. Вблизи какого-либо из полюсов с п„ф 0 имеем п„Г(2 у+ 1+ и,) л ) Вид Г-функции вблизи ее полюса находится с помощью известной формулы Г(е)Г11 — е) = я/е)пяе: (-, Л / Г1п )эгик1'у-е 1 — еоеуЛ) 166 частица во внвшнвм поль ГЛ. 1~ В конце предыдущего параграфа была получена формула (35.11), связывающая вычет функции езм в ее полюсе с коэффициентом в асимптотическом выражении волновой функции соответствующего связанного состояния. В случае кулопова поля, однако, эта формула должна быть несколько видоизменена в связи с тем, что вместо постоянного фазового сдвига о (как это было в (35.7)) в (36.16) стоит сумма б + и1п(2рт).

В левой стороне (35.11) надо поэтому писать не езм, а ехр[216 + 2тм!п(2рт)1 — ь е~м" (2ьдт)~1""ез1. Используя (36.21) и определяя из (35.11) коэффициент Ао (который будет теперь степенной функцией т), находим асимптотический вид нормированной волновой функции дискретного спектра: 2 (в~ш/а — К~+ е) ' е- ' 12~т)п,ьз,36 22) ~ 2п,! Хотпаг(2Ч -Ь 1 -Ь и,.) Эта формула была уже использована д.ля определения коэффи- циента в (36.11).

8 37. Рассеяние в центрально-симметричном поле Напишем асимптотическое выражение для волновой функции частицы, рассеивающейся в поле неподвижного силового центра, в виде ') (37.1) чз = и,ре'"'+ и,р е'""!т. Здесь и,р --биспинорпая амплитуда падающей плоской волны. Биспинор же и',, является функцией направления рассеяния и', а при каждом заданном значении и' совпадает по форме (но, конечно, не по нормировке!) с биспинорной амплитудой плоской волны, распространякпцейся в направлении и .

Мы видели в 3 24,что биспинорная амплитуда плоской волны полностью определяется заданием двухкомпонентной величины 3-спинора ш, представляющего собой нерелятивистскую волновую функцию в системе покоя частицы. Через этот спинор выражается и плотность потока: она пропорциональна ю*ш (с коэффициентом пропорциональности, зависящим только от энергии е и., следовательно, одинаковым для падающих и рассеянных ') В 3 37, 38 р обозначает ~р~, а в качестве индексов у амплитуды пишем отдельно е н р. 167 1 37 РАССЬ55НИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧНОМ ПОЛК частиц). Поэтому сечение рассеяния ейт = (юми551'ю*5п)г1о или, если (как и в 9 24 нормировать падающую волну условием ю*ю = 1, ЙТ = ю*ю е1о.

Введем оператор рассеяния 1 согласно определению и5' = Хю. (37.2) д,+ -+ д 51 П, д, — ~де (и помнить, что индекс у д задает теперь значение числа 55!). Таким образом, получим следующие формулы: 1' = А+ Веео, (37.3) А = — ~ [(1+ 1)(е~м-'-5 — 1) +1(с~5~' — 1)1Р1(соеО), (37 4) 21р 1=О В = —',5 (е ' — ' — ' — е ' ')Ре (сов О).

2р (37 5) где ее единичный вектор в направлении [пп'). Поскольку ю-. спинорная волновая функция в системе покоя, то и поляризационные свойства рассеяния описываются с помощью 1' теми же формулами, что и в Ш, 9 140. В шеучае кулонова поля оказывается возможным выразить обе функции А(О) и В(О) через одну. Укажем вкратце ход соответствующих вычислений ') . ') О1аеееЕегп л.

Ь., 55п Б.Я.771. 51ВЕ15. Р15уе. — 1964. — УО1. 5. — Р. 1594. Ввиду двухкомпонентности величин ю, и> определенный таким образом оператор аналогичен операторной амплитуде рассеяния, фигурирующей в нерелятивистской теории рассеяния с учетом спина (см.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,42 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6358
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее