В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 33
Текст из файла (страница 33)
174 члстицл во внвшнем полк гл. гк По поводу произведенных вычислений надо еще сделать следующее замечание. Поставленное нами асимптотическое условие само по себе отнюдь не достаточно для однозначного выбора регпения волнового уравнения 1это ясно хотя бы из того, что всегда можно добавить к эр, не нарушая этого условия, любую кулонову расходящуюся сферическую волну). Написав решение уравнения 139.5) в виде 139.6), мы тем самым молчаливо подрпйзумевали выбор решения, конечного при г = О. Такое требование было необходимым в П1, 3 135, 136, где рассматривались решения точного уравнения Шррвдингср, справедливые во всем пространстве ') . В данном же случае уравнение 139.5) относится лишь к большим расстояниям, и потому произведенный отбор решения нуждается в дополнительном обосновании. Оно дается тем фактом, что болыпнм «прицельным расстояниям» р = гейп0 соответствуют большие орбитальные могиенты 1 и малые углы рассеяния 0: при р 1,1т имеем 1 рр ре е)т>) 1, а угол 0 можно оценить квазиклассическим способом: 0- -~ — 11- - — «1.
1 1 сКГ Г'1р)р ги р/ йг р Это значит, что в разложении 15 по сферическим волнам будут фигурировать 1в рассматриваемой области г и О) в основном волны с указанными большими значениями 1. Но сферическая волна с большим 1 заведомо убывает до малых значений при приближении к началу координат на «классически недостижимые» (благодаря центробежному барьеру) расстояния г « 1/е. Поэтому, если производить «сшивание» решения уравэгеггия 139.5) с решением точного уравнения 139.4) на малых расстояниях при г гэ, где 1/е » г1 )) ~се/е, то граничное условие для решения уравнения 139.5) будет заключаться в требовании его малости, чем и оправдывается сделанный нами выбор.
Задача Для кулонова поля притяжения с Ео (( 1 найти поправку (относительного порядка Уа) к нерелятивистской волновой функции дискретного спектра. Р е ш е н и е. Скорость влектрона в связанном состоянии о Уа, так что при Ягэ « 1 в нулевом приближении волновая функция - нерелятивистская, т. е. уэ = иы„щ ') В изложенном в т. 111, 3 135 ходе решения:это условие было обеспечено выбором частного интеграла вида 1135.1) вместо общей суммы интегралов с различными значениями )бм Дз. 1 40 элвк грен в поль плоской электромагнитной волны 175 где й„р — удовлетворяющая церелятивистскому уравнсни|о Шредингера / ш функция, и.- биспинор вида и = ( 0 ), где ш " спинор, описывающий поляриэационное состояние электрона. В следующем приближении пишем: й = ий„р 4- 1)30 и, подставляя в (39.4), находим для ~О~ уравнение ( - ) = () го1 „, .Ъà — — ~с ~ 4- — ) й = 1 — (р' — ) (ссиК„р, 2т г ) 2т(х г) где С„-.
нерелятивистский дискретный уровень энергии. Здесь опущены члены относительного порядка (Яо) (следует учитывать, что в нерелятивистском случае основные расстояния — порядка боровского радиуса; г 1/тли). Решение этого уравнения: ф = — — „„сси ртыр, так что ео й = (1 — — сг"р) шР„р. 27п 2 40. Электрон в поле плоской электромагнитной волны Уравнение Дирака может быть решено точно для электрона, движущегося в поле плоской элоктромагнитной волны (Д. М. Волков, 1937).
Поле плоской волны с волновым 4-вектором й (кв = 0) зависит от 4-координат лишь в комбинации ээ = йх, так что 4-потенциал А" = Ар(92), (40.1) причем он удовлетворяет условию калибровки Лоренца д„А" = йрА"' = 0 (штрих означает дифференцирование по 9р). Поскольку гюстоянный член в А несуществен, в этом условии можно опустить штрих и записать его в виде ФА=О.
(40.2) Исходим из уравнения второго порядка (32.6), в котором тензор поля (40.3) При раскрытии же квадрата (гд — еА)2 надо учесть, что в силу (40.2) дй(А" гр) = Аддр1р. В результате получим уравнение [ — д — 2ге(Ад) + 02А2 — т — ге(71с)(.~А'ф~ = 0 (40.4) (д2 = д„д"). Ищем решение этого уравнения в виде 10 = е 'Ркг'(9р), 176 чкатнцл во внкшнкм полк ГЛ. 1~ где р-- постояупуый 4-вектор. Прибавление к р любого вектора вида сопя~ й не меняет такого вида функции у) (требуется лишь соответствующее переобозначение функции Е(ее)). Поэтому можно без ограничения общности наложить на р одно дополнительное условие.
Пусть р =ну (40.6) Тогда при выключении поля квантовые числа р" переходят в компоненты 4-импульса свободной частицы. Смысл компонент 4-всктора р при наличии поля более нагляден в специальной си- стеме отсчета, выбранной так, чтобы было Ав = О. Пусть в этой системе вектор А направлен по оси хУ, а )с-- по оси ха (т. е. электрическое поле волны направлено по х, магнитное по х, 1 ...
2 а сама волна распространяется вдоль оси хз). Тогда (40.5) будет собственной функцией опервторов .О .а .уа д~ Ру =1 —, Ря = г' —, Ро -Рз = е ( — — — ) Дхш эхе' (,2х и зУ' с собственными значениЯми Ры Р2, Ро — Ра (сами же эти опеРато- ры, как легко видеть, коммутативны с гамильтонианом уравне- ния Дирака).
Таким образом, в данной системе отсчета рУ, р2-- компоненгы обобщенного импульса вдоль осей хУ, х2, а ре — ра разность между полной энергией и компонентой обобщенного импульса вдоль оси х . При подстановке (40.5) в (40.4) замечаем, что дРР = )еРР', д двр = К23в = О, и и находим дпя Р(~р) уравнеяие 21(Кр)Р' + ( — 2е(рА) + еаА — уе( у)е) ( 7А')~)Р = О. Формальное решение этого уравнения Г = ехр — 4 ( — (рА) — — А ~ йр + Г е е~ 21 е( уЬ)(тА) и / (йр) 2(йр) ~ 2(Уер) ту2ро о где иуУтУ2ре — произвольный постоянный биспинор (о форме его записи см. ниже). Все степени (ууе)( уА) выше первой равны нулю, поскольку ( ууе) (уА) (у)е) (уА) = = — (уй)(ууе)(уА)(уА)+2(йА)(уй)(уА) = — к~А = О. Поэтому можно заменить ехр (У )(У ) = 1+ (уИ)(уА), 2(йр) 2(йр) з 40 ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ПЛОСКОЙ ЭлвктРОМВГНИТ НОЙ ВОЛНЫ 177 так что »Р принимает вид 4>Р = 1 + — ('уй) ('уА)1 е4', 2(йр) ) ,/2ро (40.7) где ') Я = — рт — ( — ~(рА) — -А~~ ойр.
(40.8) / (йр) 2 (» Р = ри А2йд ро ~, 2(йр) (40.12) ) Выражение для Я совпадает с классическим действием для частицы движущейся в поле волны (ср. 11, 1 47, задача 2). 0 Для выяснения условий, налагаемых па постоянный биспииор и, следует считать, 4то волна бесконечно медленно «включается», начиная от 1 = — ОО. Тогда А -» 0 при йх -+ — ОО и »Р должно переходить в решение свободного уравнения Дирака.
Для этого и = и(р) должно удовлетворять уравнению ( ур — тп)и = О. (40.9) Этим условием отбрасываются «лишние» решения уравнения второго порядка. Так как и пе зависит от времени, это условие остается в силе и при конечных йт. Таким образом, .и(р) совпадает с биспииориой амплитудой свободной плоской волны; будем предполагать ее нормированной тем же условием (23.4): Б44 = = йт. Изложенные рассуждения позволяют также сразу выяснить нормировку волновых функций (40.7). Бескопечпо медленное вклю гение поля ие меняет нормировочного интеграла. Отсюда следует, что функции (40.7) удовлетворяют тому же условию 44ормировки в ф*,фрг)йх = ф, 7~4)4 с)~я = (2л.)зб(р' — р), (40.10) что и свободные плоские волны. Найдем плотность тока, отвечающую фуикциям (40.7).
Заметив, что — и ~1+ е ( А)(„)4) е»» т/2ра ( 2(4»р) прямым перемпожепием получим 4'" = ф 7"трр = — ~РР— еАР+ к" ( (Р ) — ~ . (40.11) Ро ',(.Р) 2(.р)', Если А" (оз) периодические функции и их среднее (по времени) значение обращается в нуль, то среднее значение плотности тока 178 чаатицл во вившнвм полк гл. гг Найдем также плотность кинетического импульса в состоянии у)Р. Оператор кинетического импульса есть разность Р— еА = = »д — еА.
Прямым вычислением найдем г)г*(Р»г — еАР)г)г Ь увар еАР)г)г еА»г = РР— еА" + а" ~Р' — у) г+ йр ' Р~, (гг*о и). 1 (ьр) 2(йр) ) 8(ьр)ро (40.13) Среднее по времени значение этого 4-вектора, которое обозначим через дрг есть и еА' (40.14) 2(ьр) Его квадрат; г 2 2 1 12, (40.15) пг» пг, играет роль «эффективной массы» электрона в поле.
Сравнив (40.14) и (40.12), мы видим, гго ,'и = ,:/Ро. (40. 16) Отметим также, что условие нормировки (40.10), выраженное с помощью вектора с1, имеет вид ,),. »), ~З г2 )З 2»б~ г (40.17) Ре (переход от (40.10) к (40.17) проще всего произвести в указанной выше специальной системе отсчета). 8 41. Движение спина во внешнем поле Переход к квазиклассическому приближению в уравнении Дирака производится так же, как и в нерелятивистской теории. В уравнение второго порядка (32.7а) подставляем»р в виде ') гзгга где о .скаляр, и .медленно меняющийся биспипор.
При этом предполагается выполненным обычное условие квазиклассичности: импульс частицы должен мало меняться па расстояниях порядка длины волны 6Др~. В нулевом приближении по 6 получается обычное классическое релятивистское уравнение Гамильтона Якоби для действия о'. При этом все члены, содержащие спин (и пропорщь ональные 6), выпадают нз уравнений движения.
Спин появился бы лишь в следующем приближении по 6. Другими словами, ') Пользуемся сначала обычными единицами. 179 1 41 движкник апина во внкшнкм полк Й = Й вЂ” 4«стн, (411) где в Й' включены все члены, не содержащие спина 1сы. Ш, 2 111); 44 магнитный момент частицы. Этот вид гамильтониана не связан с определенным сортом частиц. Для электронов 14 = = еЦ2тс (заряд электрона е = — ~е~!), а у нуклонов 44 содержит еще и «аномальную» часть ') р ел 11 = 14 — —. 2ьчс (41.2) Согласно общим правилам квантовой механики операторное уравнение движения спина получается из формулы я = — '(Йв — вй) = — '(Й вЂ” Й) л 2л (41 3) Подставив сюда (41.1), найдем л = — — НЬ(сглп1 сггсгл) — — е~ЫНЬп1, 4р и 2й л или 2р~ 6 (41 1) Усредним это операторное равенство по состоянинэ квази- классического волнового пакета, движущегося вдоль заданной траектории. Эта операция сводится к замене оператора спина его ) С учетом радиационных поправок очень малая «аномальная часть» содержится также н в магнитном моменте электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
