В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В рассматриваемом же поле при гп — + 0 имеется бесконечное множество таких «аномальных» уровней с е < — гп. Поэтому поля с потенциалом Ф(г), возрастающим при г » 0 быстрее, чем 1(г, в теории Днрака вообще нельзя рассматривать. Подчеркнем, что это относится к потенциалам обоего знака. «Падение» происходит, конечно, лишь в случае притяжения, но поскольку знак Г = еФ зависит также и от знака заряда, то в одном случае аномально ведут себя электронные, а в другом- познтронпые уровни; во втором случае поле рождает свободные электроны. Рассмотрим далее поведение волновых функций на болыпих расстояниях.
Если поле У(г) достаточно быстро убывает при г — + оо, то при определении асимптотического вида волновых 157 движение В цкнтелльно-симмьтеичном полк к1 Р+ шЛ1„, в1 (рг — — + 6 ) ц' - - —, 21 т, (357) — тУс — тй р ьш ~рг — — + б ) или, с учетом определения (35.1): ъГ2 с~)в вш ( к1 ) 1Рг — — + б К т е сов 2 (35.8) где р = вУе2 — тпт. Общий коэффициент здесь отвечает нормировке радиальных функций согласно (24.5). Волновые же функции дискретного спектра (е ( т) при г — у оо экспонепциально затухают по закону — = — ехр( — г т — е ), Гв+ А.
2 2 ги — е 1 (35 9) где Ао — постоянная. Как и в нерелятивистской теории, фазовыс сдвиги б (точнее, величины е ' " — 1) определяют амплитуду рассеяния в данном поле (об этом будет подробнее идти речь в 3 37). Мы не станем исследовать здесь аналитические свойства этих величин (ср. 111, 3 128). Отметим лишь, что е2'~" как функция энергий по-прежнему имеет полюсы в точках, соответствующих уровням связанных состояний частицы. Вычет функции ет'~ в таком полюсе определенным образом связан с коэффициентом в асимптотическом выражении соответствующей волновой функции дискретного спектра. Найдем эту связь, обобщающую нерелятивистскую формулу (128.17) (сгь 1Н).
Необходимые вычисления вполне аналогичны произведенным в т. 1П, 3 128. ') Ср. 1П, 3 33. Как и в верелвтивистской теории, Ь'(г) должно убывать быстрее, чем 1/г. Случай 11 Цг будет рассмотрен особо в 3 36. функций на, болыпих расстояниях можно полностью пренебречь полем в уравнениях. Лри е ) ш, т, с, в области непрерывного спектра, мы возвращаемся тогда к уравнению свободного движения, так что асимптотическая форма волновых функций (сферических волн) отличается от таковой для свободной частицы лишь появлением дополнительных вфазовых сдвигов», значения которых определяются видом поля на близких расстояниях ') . Эти сдвиги зависят от значений у и 1, или, что то же, от введенного выше числа тс (а также, разумеется, и от энергии е). Обозначив их посредством д и используя выражение свободной сферической волны (24.7), мы можем сразу написать искомую асимптотическую формулу 158 частица во внвшнвм полк Гл и Продифференцируем уравнения 135.5) по энергии: ( )' а.у~' д.у дел — ) + — — — 1с+ ьп — У) — = гн, ае ) а.
а ()'- дтй'1 и де~," ) — — + 1е — ьп — Г) = — г). дпт де с де де 2 ( дт уды)~ 2у2+ 2) равенство по т: '1а — „~ — ~ — ",) = 1 ц' + ха)сг ~ . и д дт Интегрируем это после чего переходим к пределу и — + оо. В силу условия нормировки интеграл в правой стороне равенства обращается в единицу.
В левой же стороне учтем, что в асимптотической области функции 1 и и связаны равенством (су)' я + 7п получающимся из 135.5) при пренебрежении членами с Г и с 1/г. В результате получим од~ ~(д7)~ Эта формула лишь коэффициентом 1е+т вместо 2гп) отличается от аналогичной нерелятивистской формулы 1для функции т). Поэтому нет необходиьюсти повторять все дальнейшие вычисления, и мы сразу приведем окончательную формулу, справедливую вблизи точки е = со 1со — уровень энергии); 216 ~ 1)1 2Ае т — ее 135.11) - — ео ~ т -Ь ео где Ап " коэффициент в асимптотическом выражении 135.9). Задача Найти предельный вид волновой функции при малых с в поле 11 с ь < 1.
Р е ш е н и е. длн свободной частицы имеем при малых т: 1 с, и с~, так что при / < 15 1 >> л, а при 1 > 15 1 << и. Делаем предположение Умножим эти два уравнения соответственно ца гн и па, — г1, а два уравнения 135.5) соответственно на — гн и на гу, после чего все четыре уравнения сложим почленно. После всех сокращений получим 159 6 36 ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ (оправдывающееся розулыатом), что такое соотношение сохраняется и в рассматриваемом поле. При 1 < 1' (т.
е. 1 = У вЂ” 11ж и = — 1 — Ц в первом из уравнений (35.4) член с я можно опустить, так что по-прежнему 2 Из второго же уравнения имеем тогда я г111, т. е. я т ~ ' = г Аналогичным образом рассматривается случай 1 > 1'. В результате находим ! е —. при1<1: 1 г, е т при1>1:1 г ", я т й 36. Движение в кулоновом поле Изучение свойств движения в наиболее важном случае куло- нова поля начнем с исследования поведения волновых функций на малых расстояниях. Будем говорить для определенности о поле притяжения: 11 = — юст,Ут ') . При малых т в уравнениях (35.5) можно опустить члены с е ж гп: тогда (1'г)' + — 1"г — — 'дт = О, г т ъ (дт) — — ят+ — 1'г = О.
т Функции ут и ят входят в каждое из этих уравнений равноправ- ным образом. Поэтому обе ищем в виде одинаковых степеней г: ут = атз, иг = бгт. Подстановка в уравнения дает а( у + зс) — 5ЯО = О, ПЪз + 5('у — зс) = О, откуда 2 2 (у )2 (36.1) Пусть (Уст) < зс~. Тогда у вещественно, причем из двух зна- чений должно быть выбрано положительное: соответствующее решение либо не расходится при т = О, либо расходится менее быстро, чем другое.
Такой выбор можно обосновать путем рас- смотрения потенциала, обрезанного (как было об"ьяснено в пре- дыдущем параграфе) на некотором малом то, с дальнейшим пе- реходом к пределу то -Э 0 (ср. аналогичные рассуждения в т. П1, 3 35). Таким образом, го ь+„ д = сопе1 т (36.2) Е-ХМ = Е - 1Е'-Хтгг Хотя волновая функция и может обратиться при г = 0 в бес- конечность (если у < 1), интеграл от ~ф~ остается, разумеется, ) В обычных единицах П = — Хе~ус. При переходе к релятивистским единицам ее заменяется безразмерным а. 160 гл. ге частицл во внешнем полк сходящимся.
Если (югу) > вг-, то оба значения 7 из (36.2) - мнимые. Соответствующие решения при т — » О осциллируют (как т 1 соз(Ц 1п т)), что снова отвечает, как уже было объяснено выше, недопустимой в релятивистской теории ситуации «падения» на центр. Так как м > 1, это значит, что чисто кулоново поле можно рассматривать в теории Дирака лишь при Уст < 1, т. е. Я < 137. Остановимся на качественном описании ситуации, возникающей при Я > 137. Снова, чтобы избежать неопределенности в граничном условии при т = О, следу.ет рассматривать потенциал, обрезанный на некотором расстоянии то (И.
Я. Померанчук, Я. А. Смородинский, 1945). Это имеет не только формальный, но и прямой физический смысл. Заряд Я > 137 фактически может быть сосредоточен только в некотором «сверхтяжелом» ядре конечного радиуса. Рассмотрим поэтому, как меняется расположение уровней с увеличением Я при заданном то. В «необрезанном» кулоновом поле энергия е1 нижнего уровня обращается при Уст = 1 в нуль и кривая зависимости е1(ю) обрывается -. при Ясг > 1 уровень е1 становится мнимым (сьь (36.10)). В «обрезанном» же поле, при заданном то ф О, уровень е1 проходит через нуль лишь при некотором Яо > 1.
По значение е1 = О никак не выделено физически, а при то ~ О опо ничем не выделено и формально -. кривая зависимости е1(ю) здесь не обрывается. При дальнейшем увеличении Я уровни продолжают понижаться, и при некотором «критическом» значении Я = Х,1то) энергия е1 достигает границы ( — т) нижнего континуума уровней. Как было обьяснено в предыдущем параграфе, это означает обращение в нуль энергии, требуемой для рождения свободного позитрона. Поэтому критическое значение Яс это максимальный заряд, которым может обладать «голое» ядро при заданном то.
При Л > Яс уровень е~ < — т и становится энергетически выгодным рождение двух электрон-позитронных пар. Позитроны уходят на бесконечность, унося кинетическую энергию 2(~е1~— — тп), а два электрона заполняют уровень е1. В результате образуется «ион» с заполненной К-оболочкой и зарядом Язф = Я вЂ” 2 (С. С. Герштейн,Я. Б. Зельдович, 1969). Эта система устойчива при Я > Яс, вплоть до значений Я, когда границы — т достигнет следующий уровень ') . 1 ) Так,если заряд ядра равномерно распределена сфере радиуса го = = 1,2 10 '» см, критическое значение Я„= 170, а следующий уровень достигает границы — га при Я = 185 (В. С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
