В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В таком (чистом) состоянии частица полностью поляризована (см. П1! 8 59). В нерелятивистской теории Задача Вывести формулы, аналогичные (28.12), для скалярных произведений двух билинейных форм Р, Р, А, Т. Р е ш е н и е. Обозначим: У = ГР"~Ю.Ф), У = ГММр'.<Ю), У! = (с)! т! сб ) (Х! уяй! ),,УА = (с)! гу~ у' ф ) Я ! у, чей! ), ,ут = '1еу ! "'~!~ НГссп.йг ) а теми же буквами со штрихом — такие же произведения с переставленными !г~ и сг~. Указшпсык! в тексте способом получим '1 Уз = Уз -!. У + Ут + УА + Ус, 4*У! = 41з — 2У! + 2,УА — 4,УР, 4У!' = 6.Уз + б,ур, 4,У,! = 4,Уз + 2Л вЂ” 2УА — 4УР, 4Ур —— ,Уз — .Ук + Лт —,Ул + Лг (первая строка — по формуле (28.12)).
1 29 ПОЛЯРИЗАЦИОИИАИ МАГРИЦА ПЛО'ГИОСТИ это Озна 1ает, что спин частицы имеет Определенное направление в пространстве (точнее, существует такое направление, вдоль которого проекция спина имеет определенное значение + 1Я. В релятивистской теории такая характеристика состояния в произвольной системе отсчета невозможна ввиду (отмеченного уже в 3 23) несохранения вектора спина. Чистота состояния означает лишь, что спин имеет опреде.ленное направление в системе покоя частицы. В состоянии частичной поляризации не существует определенной амплитуды, а лишь поля1лтац11оииая А1игнрицп плотно- СГПИ р11 (г, й = 1, 2, 3, 4 биспинорные индексы).
Определим эту матрицу таким образом, чтобы в чистом состоянии она сводилась к произведениям (29.1) р19 = ир1йры Соответственно этому матрица р нормируется ус юанем Врр = 2т (29.2) (ср. (23.4)). В чистом состоянии среднее значение спина определяется величиной (29.3) я = — ф*19ф ГГ х = — и'Хит — — — ир у 19ир. 21 4Г" 41 Соответствующее выражение для состояния частичной поляри- зации: я = — Вр (ру'Е) = — Бр (р"Р у) (29.4) 4Г 4Г Амплитуды ир, 11р удовлетворяют системам ш1гебраических уравнений (.ур — т)ПР— — О, 'иг( ур — ти) = О. Поэтому матрица (29.1) удовлетворяет уравнениям '1 ~р — т)р = О, р1 ~р — Гп) = О. (29.5) Таким же линейным уравнениям должна подчиняться матрица плотности и в общем случае смешанного (по спину) состояния (ср. аналогичный вывод в 111, 3 14).
Если рассматривать свободную частицу в ее системе покоя, то к ней применима нерелятивистская теория. Но в этой теории состояние частичной поляризации полностью определяется тремя параметрами . -компонентами вектора среднего значения спина я (см. П1, 3 59). Ясно поэтому, что те же параметры будут определять поляризациопное состояние и после любого преобразования Лоренца, т. е. для движущейся частицы.
132 гл. ш Фегмионы Обозначим удвоенное среднее значение вектора спина в системс покоя через 7, (в чистом состоянии ~~~ = 1, в смешанном )~! ( 1). Для четырехмерного описания поляризационного состояния удобно ввести 4-вектор а", совпадающий в системе покоя с трехмерным вектором 7,;поскольку 7, аксиальный вектор, то а" 4-псевдовектор. Этот 4-вектор ортогонален 4-импульсу в системе покоя (где аи = 10,7,)7 ри = 1т,О)), а потому и в произвольной системе отсчета а,"рд — — О. (29.6) В произвольной системе отсчета будет также и арал = — 7, .
(29.7) Компоненты 4-вектора а" в системе отсчета, в которой частица движется со скоростью зг = р/е, находятся путем преобразования Лоренца из системы покоя и равны а = — ~~, ат = ~~с, ао = — ~~р о Иэ~ (29.8) П1 т где индексы О и ) означают компоненты векторов 7, и а, парал- лельные и перпендикулярные направлению р ') .
Эти формулы можно записать в векторном виде: а = 7" + рСЬр) аО а рэ а2 = 7'2+ Срч) . 1299) тСе-Рт) е т то Рассмотрим сначала неполяризованное состояние (7, = 0). Матрица плотности в этом случае может содергкать в качестве параметров лишь 4-импульс р. Единственный вид такой матрицы, удовлетворяющей уравнениям (29.5), есть 1 Р = -1УР+ т) 2 (29.10) (И.
Е. Уамм, 1930, Н. В. С. Саезтгг7 1933). Постоянный коэффициент выбран в соответствии с нормировочным условием (29.2). ) По своим трансформационным свойствам компоненты среднего вектора спина й Скак и всякого момента) являются в релятивистской механике пространственными компонентами антисимметричного тензора о~12 4-вектор и связан с этим тензором посредством соотношений 27П 7П Подчеркнем,что в произвольной системо отсчега пространственная часть а 4-вектора о~ отнкгдь не совпадает с вектором 2 й.
Легко видеть,что о е е 277 = — (о~~с — а (р!) = ~~п 2вт = — ат = — С 7П 7П 7П 1 29 поляеизяционняя мятеиця плотности В общем случае частичной поляризации (с, ф О) ищем матрицу плотности в виде р = — (ур+ т)р ( ур+ т), (29.11) 4гл автоматически удовлетворяющем уравнениям (29.5). При с," ф- 0 вспомогательная матрица р' должна обращаться в единичную; поскольку (ур+ т) = 2т( ур+ т), то (29.11) совпадет с выражением (29.10).
Далее, она должна содержать 4-вектор а линейным образом в качестве параметра, т. е. иметь вид р' = 1 — Ау (уа); (29.12) во втором члене фисурирует скалярное произведение пссвдовектора а и сматричного 4-псевдовектора» у у. Для определения коэффициента А напишем матрицу плотности в системе покоя: »н(1+ 0)(1+ 1 5 ~)(1+ О) ссс(1+ 0)(1+ 1 5 ~) и вычислим, согласно (29.4), среднее значение спина. Воспользовавшись перечисленными в 2 22 правилами, легко найдем, что единственный отличный от нуля член в искомом следе 2 я = — Вр (ру'у) = — — Вр И у1)у) = А1 2п» 4 Приравняв это выражение с„получим А = 1. Окончательное выражение для р найдем, подставив (29.12) в (29.11) и переставив множители р' и (ур+ т); в силу ортогональности а и р произведение .ур аптикоммутативпо с уа: ( уо)( ур) = 2ар — ( ур)( уа) = — ( ур)( уа), а потому коммутативно с у5( уа).
Таким обраюм, .матрица плотности частично поляризованного электрона дается выражением р = — ( ур + т) [1 — уз ( уа)) 2 (29.13) (Л. МгсЬе1, А. Я. Ьгуйгтап, 1955). Если матрица р известна, то характеризующий состояние 4-вектор а (а с ним и вектор с,) можно найти по формуле ап = — яр (ру у"). (29.14) 2т Формулы для матрицы плотности позитрона аналогичны формулам для электрона. Если бы мы описывали позитрон (с 134 Гл. гп Фнпмионы 4-импульсом р) позитронпой амплитудой ир ' и определенной (поз) в соответствии с такой амплитудой матрицей плотности Ргпоз), то никакого отличия от случая электрона вообще не было бы и матрица р~""~ давалась бы той же формулой (29.13).
Однако при фактических вычислениях сечений процессов рассеяния с участием позитронов приходится иметь дело (как мы увидим (ггоз) в дальнейшем) не с ир ., а с амплитудами «отрицательной частотыз и р. Соответственно этому и поляризационную матрицу плотности (обозначим ее р~ ~) следует опредезплть так, чтобы для чистого состояния она сводилась к и, р,.Б ры Согласно (26.1) позитронная амплитуда ир —— 1Усй р.
Об(поз) ратно: — огг+ (поз) (поз) оггг и „= огнир (ср. (28.3)). Если (поз) (поз) (позг Ргв и — Рг Б — РЬ г РгЬ ирг ирв то с помощью этих формул получим Р— гг Р 4П* (29.15) Подставляя сюда для р~"~'~ выражение (29.13) и производя (с помощью (26.3), (26.21)) простые преобразования, получаем рг ) = — (ур — т)[1 — уь(уа)).
(29.16) 2 В частности, для неполяризованпого состояния Р~ ) = 'г7Р и). 1 (29. 17) 2 В дальнейшем, говоря о позитрониых матрицах плотности, мы будем иметь в виду матрицы р~ ) и индекс ( — ) у них будем опускать (матрицами же Ргггоз) фактически не приходится пользоваться). В различных вычислениях нам часто придется усреднять по спиновым состояниям выражения вида БРи(: — й,Ргьиь), где Р.
некоторая (четырехрядпая) матрица, а и -- биспипорпая амплитуда состояния с определенным 4-импульсом р. Такое усреднение эквивалентно замене произведений илий, матрицей плотности ргь частично поляризованного состояния. В частности, полное усреднение по двум независимым спиновым состояниям эквивалентно переходу к неполяризованпому состоянию, при этом согласно (29.10) имеем ирРир — — — Яр (эр+ ~п)Р. 1 1 (29.18) 2 2 полпр 135 1 29 полягнзлцноннля мАтенця плотности Аналогично для волновых функций отрицательной частоты 7 и рРН р —— — ор( ур — 2п)Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
