В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Фактически истинно нейтральные частицы со олином 1,62 неизвестны, и в настоящее время нельзя сказать, имеет ли указанное различие в двух определениях инверсии реальный физический смысл ') . Задача Найти зарядовую четность позитрония (водородоподобная система из электрона и позитрона). Р е ш е н и е. Волновая функция двух фермионов должна быть анти- симметрична относительно одновременной перестановки координат, спиноз и зарядовых переменных частиц (ср.
задачу к 8 13). Перестановка порвых умножает функцию на ( — Ц', вторых — па ( — Ц 'т~ (где о = 0 или 1 — полный спин системы), третьих — на искомое С. Из условия ( — Ц'( — Ц'Т~С = — 1 находим С=( — Цьь ' Поскольку внутренние четности электрона и позитрона противоположны, пространственная четность системы Р = ( — Ц т .
Комбинированная чет!Р1 постах СР = ( — ЦЯ+Ц ') Неполная эквивалентность двух определений инверсии была отмечена Рака (С. Васой, 1937). 126 Фнемноны гл. ш 9 28. Билинейные формы 1'Р = ФуРФ, где ри 1( р е ы р) ( Б) (28.2) 2 (перечисление компонент в (28.2) по (19.15)) ') . Все написанные выражения вещественны.
Скапярность и псевдоскалярность величин Я и Р очевидна из их спинорного представления: Я = ~*у) + г)*(, Р = г(~'г) — г)*(), что как раз соответствует выражениям (19.7) и (19.8). Векторный характер величин 1"Р очевиден после этого из уравнения ДиРака: Умножив Равенство Рр7РУУ = пнР слева на ф, полУчим Ярр уруу) = тфф; поскольку справа стоит скаляр, скаляром должно быть и выражение в левой части.
Правило составления величин (28.1) очевидно: они составляются так, как если бы матрицы уР образовывали 4-вектор, уа ) При унитарном преобразовании й (изменении представления) имеем й — ьПФ, Э вЂ” ~ПОУУ ', Š— ~~Я~ и инвариантность билинейных форм при таких преобразованиях очевидна.
Рассмотрим трансформационные свойства различных билинейных форм, которые можно составить из компонент функций у) н у)*. Такие формы вообще имеют большое значение в квантовой механике; к их *плслу относится и 4-вектор плотности тока (21.11) . Поскольку уу и уу* имеют по четыре компоненты, из них можно составить 4. 4 = 16 независимых билинейных комбинаций. Классификация этих величин по их трансформационным свойствам очевидна из перечисленных в з 19 способов перемножения двух произвольных биспиноров (которыми в данном случае являются у) и у)*).
Именно, можно составить скаляр (обозначим его через Я), псевдоскаляр (Р), смешанный спинор второго ранга, эквивалентный истинному 4-вектору Р Р (четыре независимых величины), смешанный спинор второго ранга, эквивалентный 4-псевдо- вектору АР (4 величины), и биспинор 2-го ранга, эквивалентный аптисимметричпому 4-тензору УР" (шесть величин). В симметричном виде (для любого представления ф) эти комбинации записываются следующим образом; Я = ф~ Р = 14'у'4~ АР = ф ун у'ф, УР = и~он Ф, (28.1) 127 1 28 БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ было псевдоскаляром, а стоящие с обеих сторон ф и 1)) образовывали вместе скаляр ') . Отсутствие билинейных форы, которые имели бы характер симметричного 4-тензора, очевидное из спинорного представления, ясно и из этого правила: поскольку симметричная комбинация матриц Г" 71' + ГР Г" = 28"~, то такая форма свелась бы к скаляру.
Вторично-квантованные билинейные формы получаются заменой в (28.1)»Г1-функций «))-операторами. Для большей общности будем считать, что два у)-оператора относятся к полям различных частиц; будем различать их индексами в и 6. Выясним, как преобразуются такие операторные формы при зарядовом сопряжении. Замечая, что а) ~с 1~с~ ~с бр~ (28.3) имеем, используя (26.3) и (26.21): — с-с 1»еа «гвь = Фа11сс.с«)16 = «111аГГС 11с»)зь = 1)1а«»еь1 'Фи Г 'Фь = Фа61с 7 11с«)16 = «»еаГ1с 7 1-1сФь = 1)за Г '«)16. При перестановке операторов к исходному порядку («)1 слева от »)1) в силу правил коммутации Ферми (25.4) изменится знак произведения (и, кроме того, появятся члены, не зависящие от состояния поля, которые опускаем, как и при аналогичных выводах в 8 13).
Таким образом, получим — С-С вЂ” — С Р-С вЂ” Р'Ф «рЬ = «)16»й»: 1)з ГР1рЬ = «)16'у 'Ф . Преобразовав аналогичным образом также и остальные формы, найдем, что при зарядовом сопряжении о) ~аЬ Р 86а 1»аЬ Р 1»Ьа 1 аЬ Р 16ао ') «Псевдоскалярность» зо сама соответствует этим правилам, поскольку ) Для получения второго равенства из первого пишем — с Г ° о* 1 о -о ° о, чо + о -о о 1-7 Ф' ' = ~ГГВИ'~ *)) т = 7 сс»7 ез = — 1' сс 7 Ф = 6 7 "ГГс'~ = с. 67 1использованы Г26.3), (26.21) и эрмитовость 16). з) Обратил« внимание на то, что для билинейных форм, составлевных из ы-функций (а пе Ез-операторов), преобразования (28.4) имели бы обратный знак, поскольку возвращение к исходному порядку множителей Е и 1Р не сопровождалось бы изменением знака. 128 Фвгмионы Гл.
пл Аналогичным образом выясняется поведение тех же форм при обращении времени. При этом надо помнить (см. 13), что эта операция связана с изменением порядка расположения операторов, и поэтому, например, (ФаФЬ) = ФЬ льа Подставив сюда (28.5) = -~7Т4 получим (Фалтбь) = ФЬ777'777'лтба = лтьь77777Т'Фа = з)лбова: Рассмотрев таким же образом остальные формы, найдем лаь г лба~ т аь + Рьа~ (" ~ л )аь г (1 1 Юьа, (28.6) (А ~ А)аь + (.4 ~ А)ьа Т ь = (р: а)аь + (р., а)ьа (р, а--трехмерные векторы, эквивалентные компонентам Ти согласно (19.15) ). При пространственной же инверсии, в соответствии с тензор- пым характером величин '), Ваь ~ ~аь~ Раб ~ Раь (1 ~ ")аь ~ (1 1 ")аь~ (28.7) (А,А)аь — ь ( — А А),ь Т,"ь = (р,а),ь -+ ( — р,а)аь.
Наконец, совместное применение всех трех операций оставляет все Уаь, Раь, Т~', неизменными и меняет знак всех Г~,, А~ь, что как раз соответствует смьнлу этого преобразования как 4-инвер- сии: поскольку 4-инверсия эквивалентна повороту 4-системы ко- ординат, то по отношению к ней нет разницы между истинными и псевдотензорами любого ранга. Расслютрим попарные произведения билинейных форм, со- ставленных из четырех различных функций гра, грь, л)зс, гб~. Мы получим различные результаты в зависимости от того, какие па- ры этих функций перемножаются между собой. Оказывается, однако, возможным свести всякое такое произведение к произ- ведениям билинейных форм с: фиксированными парами множи- телей ( И'.
РаиЬ,, М. Гьегх, 1936). Выведем соотношение, лежащее в основе такого приведения. ') Во избожание недоразумений напомним, что преобразования Т и Р тробуют также изменения аргументов функции; правые стороны (преобразованные формы в (28.6), (28.7Ц вЂ” функции соответственно от х = (-йг), х = (й-г), если левые стороны — функпии от х = (Ь, г). 129 1 28 БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ Рассмотрим совокупность четырехрядных матриц 1, у', у", 1 у" у', ит"' (28.8) (1 единичная матрица). Перенумеровав эти 16 (= 1+ 1+ 4+ + 4+ 6) матриц в какой-либо определенной последовательности, обозначим их посредством уА (А = 1,...,16), а те же матрицы с опущенными 4-тензорными индексами (р,м) посредством уА. Они обладают следующими свойствами: 8р'у = 6 1'у т'- 1), у 'у = 1 Вр'у 'у = бй 128.Й) В силу последнего из этих свойств матрицы ул линейно независимы. Поскольку же их число равно чиш1у (4 4) элементов четырехрядной матрицы, матрицы у' составляют полну1о систему, по которой может быть разложена произвольная четырехрядная матрица Г: 1' = 2 сл-1, с,1 = — Яр-~ 41', (28.10) А или в раскрытом виде с матричными индексами (г, и = 1, 2, 3, 4): 11ь = 7 Г1т"~т1 1А1ь ° 'А Предположив, в частности, что матрица Г содержит всего один отличный от нуля элемент (Г1 ), получим искомое соотношение (вусловие полнотыа) Й11окт = — ~~ 'УАчк'Ут1.
(28.11) А Умножая это равенство с обеих сторон на узе фьузтф1, имеем — а 1,— с (Р АЫ А =-ЯЯ уААЫ ~~фФ) (2812) А Это одно из равенств указанного выше типа: оно сводит произведение двух скалярных билинейных форм к произведениям форм, составленных из других пар множителей ') .
Другие равенства этого типа можно получить из (28.12), заменяя ф" — у"ф", ф' - 'у'ч8' ') Напомним во избежание недоразумений, зто здесь имеются в виду формы, составленные из ф-функций. Для форм, составленных из антикоммутиру|овдих тноператоров, знак преобразования был бы обратным. 5 Л. Д. Ландау в Н.М. Лиф1яяц, том 1 1' 13О Фвгмионы ггь и! и пользуясь разложением (см. задачу) А и % ~ и 1 А и у у = т сну, св = — Яр'у у "ув.
н Укажем здесь для дальнейших ссылок также и аналогичное (28.11) соотношение для двухрядных матриц. Полную систему линейно независимых двухрядных матриц сс' (А = 1,...,4) составляют (28.13) Для них БрпА = 0 (сгА ~ 1), 1 А В 2 — 8рст сг = бАВ (28.14) Условие полноты: до.,блб = (1/2) ~ пдвпзч — — (1(2)сх Встз + (1(2)б Вбз.„(28.15) (ст, 13, = 1, 2) или иначе: о'ссбстз, = — (1сс2)сг„зстзд + (З,с)2б бзв. (28.16) — 2Ут 8 29. Поляризационная матрица плотности Координатная зависимость волновой функции сд, описывающей свободное движение с импульсом р (плоская волна), сводится к общему множителю е'"", а амплитуда и„играет роль спинозой волновой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
