В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Поэтому из (22.1), взяв след от обеих сторон равенства, найдем (22.9) След произведения четырех матриц Тлрир Лр ир Ли рр + Лр ри (22.10) Эту формулу можно получить, например, «протаскиваяа в Яр(ул уР уи уР) МНОжИтЕЛЬ ул НаПраВО С ПОМОЩЬЮ ПерЕСтаНОВОЧ- ного соотношения (22.1); пекле каждой перестановки возникает один из фигурирующих в (22.10) членов: ТЛРид 2 ЛРТ Р ТРЛиР 2 ЛР ид ТРЛиР и т, д, После всех перестановок справа остается ТР'Рл = — ТЛРиР, которое переносим налево. Этим же способом вычисление следа произведения шести у сводится к следам произведений четырех множителей и т. д, Так, Тлрират ЛрТират ЛиТррат + ЛрТриат Рт + ЛтТ Ра (22 11) Отметим, что все следы ТЛР "' вещественны и что они отличны от нуля, лишь если каждая из матрип у, у, ...
встречается о ') След матрицы инвариантен относительно преобразований з = ГЗП Поэтому (22.8) очевидно и из конкретных выражений матриц (21.3). 106 Фьгмионы Легко видеть, что -у'~ +7 а=О, (у')'=1, (22. 15) т. е. матрица ув антикоммутативна со всеми у'". По отношению же к матрицам с~ и ф имеют место правила с~.ув — у~гх = О, руз+ у'",3 = 0 (22.16) (коммутативность с сг следует из того,что е = у 7 есть произведение двух матриц уи). Матрица у эрмитова; действителыю, 5-~- а-~- 2-г 1т О-~- 3 2 1 0 и поскольку последовательность 3210 сводится к последовательности 0123 четным числом перестановок, то 'у + = 'у . (22.17) Укажем также вид этой матрицы в двух конкретных пред- ставлениях: у — 1 01 спинорное у = ( О 1); ь /0 — 1~ стандартное у = ( 1 О ) .
(22.18) След матрицы у~ равен нулю: Яр уэ = 0 (22.19) (это видно и прямо из (22.18)). Равны нулю также и следы произведений у' у" у~. Для произведений же у~ на четыре множителя у" имеем 1,~48р'у 'у у'"у'у" =уе "'~. (22.20) в произведении четное число раз; то и другое очевидно из полу- ченных формул. Отсюда, в свою очередь, легко сделать вывод, что след не меняется при изменении порядка всех множителей на обратный: ало-» 1- р" ил (22.12) Как уже упоминалось, множители 7 фигурируют обычно в виде скалярных произведений с различными 4-векторами. В та- ких случаях, например, формулы (22.9) и (22.10) означают, что 1,~~Яр(ау)(бу) = аб, >У4 Бр(ау)(бу)(су)(ду) = (аб)(са) — (ас)(Ы) + (аа)(бс).
(22.13) Особую роль играет произведение уе у" у~ уз. Для него приня- то специальное обозначение: 'у = ''у'у'у'у. (22.14) 1ОУ 1 23 плоскив волны Отметим еще формулу: 7туУ = "17э(7п)(7Ь)(7с), тур = е '" ирЬрср, (22.21) справедливую для взаимно перпендикулярных 4-векторов а, Ь, с; аЬ=ас=Ьс=О. В некоторых случаях (в задачах, в которых фигурируют нерелятивистские частицы) может возникну.ть необходимость в вычислении следов произведений, в которые входят раздельно 7е и трехмерный «векторуу 7. Отличны от нуля лишь следы произведений с четным числом множителей 7е и у. При этом все множители 7" сводятся к 1, а следы произведешлй с двумя и четырьмя множителями 7 даются формулами т,У«Яр(а7)(Ь у) = — аЪ, т/4 Яр(ау)(Ь у)(с у)(«$ у) = (аЬ)(сд) — (ас)(Ь«1)+(а«1)(Ьс).
й 23. Плоские волны Состояние свободной частицы с определенными значениями импульса и энергии описывается плоской волной, которую представим в виде фр = — и, е 'р". Ууубб (23.1) Индекс р указывает значение 4-импульса; амплитуда волны ир определенным образом нормированный биспинор. При дальнейшем проведении вторичного квантования пам понадобятся, наряду с волновыми функциями (23.1), также и функпии с «отрицательной частотой», возникающие в релятивистской теории, как было объяснено в 3 111 в связи с двузна т«р бур Р .К б11у букч .шч У =б рРб, "х Р" цательная частотауу есть — е; изменив также знак р, мы получим функцию, которую естественно обозначить как ур ф р — — и рс'РК.
(23.2) Ле Смысл этих функций выяснится в 2 26. Ниже мы будем параллельно выписывать формулы для урр и ур р. Компонеяты биспинорных амплитуд ир и и „удовлетворяют системам алгебраических уравнений (ур — ш)ир — — О, (ур+ т)и р — — О, (23.3) получающимся подстановкой (23.1), (23.2) в уравнение Дирака 108 Фвгмионы гл. ш (что сводится к замене в последнем оператора р на жр) ') . Соотношение р = т яв.ляется при этом условием совместности каждой из этих систем.
Мы будем всегда нормировать биспинорные амплитуды инвариантными условиями ирир — — 2т, и ри р — — — 2т (23.4) (черта над буквой обозначает, как везде, дираковское сопряжение: Б = и* уе). Умножив уравнения (23.3) слева на Бтр, получим (Бтруигр)р = 2тз = 2рз, откуда видно, что Буир=и руи р — — 2р (23.5) Отметим, что переход от формул для ир к формулам для и р производится путем изменения знака т.
4-вектор плотности тока; у = астр'уф~р = — й«р уитр — — —, р (23.6) т. е. уц = (1, тт), где и = рУе - скорость частицы. Отсюда видно, что функции ф„нормированы «на одну частицу в объеме И = 1а. В силу уравнений (23.3) компоненты амплитуды волны связа- ны друг с другом некоторыми соотношениями, конкретный вид которых зависит, конечно, от выбора представления 1р. Найдем их для стандартного представления. Из уравнений (21.19) имеем для плоской волны (е — т)р — роз~ = 0, (е+ т)у, — рсг~р = О.
(23.7) Из этих равенств находим соотношение между 9т и т в двух эк- вивалентных видах: (23.8) (эквивалентпость этих формул очевидна: умножая первую из них слева на роу(е+ т) и учитывая, что (ро) = р и е — те = рз, получаем вторую). Общий же множитель в ~р и;г выбираем таким образом, чтобы удовлетворить условию нормировки (23.4). В результате получим для ир (и аналогично для и р) следующие выражения: ( 23 9) тук — т(по)ю ( ' " ~, тук+ т ш ) Отметим также аиалогичиые системы, получающиеся из уравнения Дирака (21.9) лля комплексио-гопряжеииой функции, Б„(ур — гл) = О, о, г(тр-р ел) = О. (23.3а) 100 1 23 плоскин волны (вторая формула получается из первой изменением знака перед тп и переобозначением ю — ~ (пег)иг').
Здесь п - орт вектора р, а ю произвольная двухкомпонентная величина, удовлетворяющая лишь условию нормировки ю'ю = 1. (23.10) 1нсг) юРΠ— ЛюРО 2 Явный вид этих спипоров: (23.13) /е — иРУ2 со д Х /,— гтУ2 0Х еп'72 в1п й ) ~ е'"У2 сов й ) 2 2 1 ) В спинорном жс представлении имеем С = — Н вместо соотнопгения С = и, справедливого в системе покоя для регпений с «положительнымн частотами». Для й = и' уо ( уо из (21.20)) имеем ир — — 1~/е + т ю*, — т/а — гп ю*1пст) ), (23.11) и р — — (тlа: т юм(нег), — хуе + т юм) и перемножением убеждаемся, что действительно и ьри ь = ~2гп. В системе покоя, т.
е. при е = т, имеем 2 (~ ),,= '2 („, ), (23.1с т. е, ю представляет собой тот З-спинор, к которому сводятся в нерелятивистском пределе амплитуды каждой из волн. Отметим, что в биспиноре и „обращаются в нуль в системе покоя первые, а не вторые две компоненты. Это свойство решений уравнения Дирака с «отрицательными частотами» очевидно: положив в (23.7) р = 0 и заменив е на — т, получим р = 0 ') .
Амплитуда плоской волны содержит одну произвольную двух- компонентную величину. Другими словами, при заданном импульсе существует два различных независимых состояния в соответствии с двумя возможными значенияхпл проекции спина. При этом, однако, проекция спина на произвольную ось я не может иметь определенного значения. Это видно из того, что гамильтониан частицы с определенным р (т.
е. матрица Н = сер+ рт) не коммутативен с матрицей Е, = — гстястю В соответствии со сделанными в 2 1б общими утверждениями сохраняется, однако, спиральность Л вЂ” проекция спина на направление р: гамильтониан коммутативен с матрицей пЕ. Спиральным состояниям отвечают плоские волны, в которых трехмерный спинор ю = ю~л)(п) собственная функция оператора пег: 11О гл. ш Фнгмионы ~ — 172) (1) ~ =-172) ( 0 ) 12315 В качестве же двух линейно независимых решений с еотрица- тельной частотойь мы выберем плоские волны, в которых трех- мерные спиноры изс ) = — сгию~ ) = 2сггизс ) 123.16) (смысл такого выбора выяснится в 3 26). Можно найти такое представление плоской волны, в котором в любой системе отсчета 1а не только в системе покоя) она имеет всего две компоненты, отвечающие определенным значениям той же физической характеристики .- проекции спина в системе покоя 1Ь. РоИу, Я.
А. И'оиПиузеи, 1950). Отправляясь от амплитуды ир в стандартном представлении 123.9), ищем унитарное преобразование к такому представлению в виде и„=бги, 5г=е р1 где И' вегцественная величина; поскольку у'" = — у, при этом автоматически Ь' ~= г1 1. Разлагая в ряд и учитывая, что ( уп)2 = = — 1, представим бг в виде 77 = сов Иг+ упв)пИг асср. переход от 118.13) к 118.14)).
Из условия, чтобы в преобразованной амплитуде ир вторые две компоненты обратились в нуль, найдем 18 И' = т-ье так что т+ е+ (~п)~р~ его+ ) В новом представлении 123. 17) ) Решение уравнений 123.13) допускает умножение на произвольный фазовый иножнтелгь что связано с возможностью произвольного поворота вокруг направления п. где и и сз - полярный угол и азимут направления и относительно фиксированных осей туз ') .
Другой возможный выбор двух независимых состояний свободной частицы с заданным р (более простой, хотя и менее наглядный) отвечает двум значениям з-проекции спина в системс покоя; обозначим ее и. Соответствующие спиноры: 112 Фнгмионы (33.10) (см. 1П): ЕЕ„~ = ~ —.7~т1Е2(рг). /2~гр (24.4) Они нормированы условием (24.5) (Ь+р )~~=0, формально совпадающий с нерелятивистским уравнением Шррдингера для свободной частицы. Возвращаясь к релятивистскому случаю, напомним прежде всего, что для движущейся частицы не существует разде.льных законов сохранения спина и орбитального момента; операторы в и 1 каждый в отдельности не коммутируют с гамильтонианом.
По-прежнему, однако, сохраняется (для свободной частицы) четность состояния. Поэтому квантовое число 1 теряет смысл указания на определенное знатение орбитального момента, по им определяется (см, ниже) четность состояния. Условимся рассматривать искомую волновую функцию (биспинор) в стандартном представлении: ф = (" ). По отношению к х ' вращениям р и х ведут себя как 3-спиноры. Поэтому их угловая зависимость дается теми же шаровыми спинорами йуь„.
Пусть ~р сх от, .где 1 одно (определенное) из двух значений; у + 1/з или у' — 1|2. При инверсии ~р(г) — + ир( — г) (см. (21.18)), и поскольку ЙЕ!т( — и) = ( — 1)~йй (и), то ~р(г) -~ г( — 1) ~р(г). Составляющие же х ведут себя при инверсии согласно х(г) -+ — ~ — гх( — г). Для того чтобы состояние обладало определенной четностью (т. е. чтобы при инверсии все компоненты умножались на один и тот же множитель), необходимо, следовательно, чтобы увловая зависимость х давалась шаровым спинором й г с друтим (из двух возможных) значением В поскольку эти значения различаются па 1, то ( — 1) = — ( — 1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
