В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ее собственные значения будем обозначать буквой Л (Л = — я,..., +в), а состояния частицы с определенными значениями Л будем называть спиральными состояниями. Пусть г)рх .- волновая функция (плоская волна), описывающая состояние частицы с определенными р и Л, а и~ )(р) ее амплитуда; для краткости обозначоний мы не выписываем индексы компонент этой функции (для целого спина это 4-тензорные индексы). Мы видели в предыдущих параграфах, что при релятивистском описании частиц с отличным от нуля (целым) спином приходится вводить волновую функцию с числом компонент, превышающим 2я + 1. Однако число независимых компонент при этом остается равным 2а + 1; «лишние» компоненты устраняются наложением дополнительных условий, в силу которых эти ') См.
гтегг М.,Раи11 Иг.,','Ргос. Коу. Кос. — 1939. — 11 А 173. — Р. 211. В этой работе указанная программа проведена для частиц со спином Уэ и 2. е) Содержание этого параграфа относится к частицам с любым (целым или полуцелым) спином. э) В английской литературе — Ье!кпу. 77 16 СПИРАЛЬНЫК СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ компоненты обращаются в нуль в системе покоя (в следующей главе мы увидим это же для полуцелых л). Согласно формулам преобразования момента (см. П, 8 14) спиральность инвариантна относительно преобразований Лоренца, не меняющих направления р, на которое проецируется момент.
Поэтому число Л сохраняет при таких преобразованиях свой смысл квантового числа, и для изучения свойств симметрии спиральных состояний можно воспользоваться системой отсчета, в которой импульс ~р~ << т (в пределе системой покоя). Тогда фрл сведется к нерелятивистской (2з + 1)-компонентной волновой функции. Обозначим ее амплитуду через ю®(п), указав в качестве аргумента направление и = р/~р~, вдоль которого квантуется момент. Амплитуда ю1л) собственная функция оператора пв: паюла )(и) = Лю1 )(и) (16.1) В спинорном представлении ю1 ) контравариантный симметричный спинор ранга 2а; согласно формулам соответствия (67.2) (см. П1) его компоненты можно перечислять также по отвечающим им значениям проекции спина сг на фиксированную ось В импульсном представлении волновые функции рассматриваемых состояний совпадают в основном с амплитудами и( ) (р).
Именно; 16ил(1с) = и(~)(1с)б(~)(и — п) = и(~)(р)д(~)(и — и), (16.2) где импульс как независимая переменная обозначен )с, в отличие от его собственного значения р, а и = 1с/~1с~, в отличие от и = = р/(р) ') . В нерелятивистском пределе у)пл(и) = нз1Л)(ы)б(2)(и — и) = и>~~)(п)Р)(и — и). (16.3) ) Приведенные рассуждения (как и перечисление возможных значений Л) относятся к частицам с отличной от нуля массой.
Для частиц с нулевой массой системы покоя не существует, а спиральность может иметь лишь два значения Л = шв. Последнее связано с упомянутым уже в 8 8 обстоятельством: состояния такой частицы классифицируются по их поведению по отношению к группе аксиальной симметрии, допуска|ощей только двукратнее вырождение уровней (с точки зрения свойств волнового уравнения зто означает, что при переходе к пределу т -~ 0 система уравнений для частицы со спином в распадается на независимые уравнения, отвечающие безмассовым частицам со спинами сч в — 1, ...
). Так, для фотона Л = ш1, а роль соответствующих шм~ играют трехыерг1ые векторы ееы ~ (8.2). в) Здесь 6-функция 6СО определена таь, что ) 6СО(и — и) Но = 1. В (18.2) (и в аналогичном случае ниже, см. (18.4Д опущена 6-функция, обеспечивающая заданное значение энергии. 78 возоны Гл. и Более подробно это выражение надо было бы написать в виде ф„л(м,сг) = и~~ )(и)Ы ~(м — п), где явно указана также и дискретная независимая переменная о.
Оператор спиральности ви коммутативен с операторами ~, и Я. Действительно, оператор момента связан с бесконечно малым поворотом системы координат, а скалярное произведение двух векторов инвариантно по отношению к любому повороту. Поэтому существуют стационарные состояния, в которых частица обладает одновременно определенными значениями момента у, его проекции у, = т и спиральносги Л. Будем называть такие состояния сферическими спирллъными состояниями. Определим волновые функции этих состояний в импульсном представлении. Это можно сделать непосредственно по аналогии с полученными в т. 1П, 8 103 формулами для волновых функций симметричного волчка. Они были получены там на основании формул для преобразования волновых функций при конечных вращениях (см.
П1, 8 58). Последние, в свою очередь, основаны только на свойствах симметрии по отношению к вращениям; поэтому они применимы к функциям в импульсном представлении в той же мере, как и к координатным функциям. Наряду с фиксированной в пространстве системой координат туг (по отношению к которой записывшотся функции ф л), введем также «подвижную» систему Щ с оськ> ~ вдоль направления и.
Не повторяя заново соответствующих рассуждений (ср. вывод формулы (103.8) (см. П1), напишем ф,. (й) = ф(~'Р('.1,( ) где ф „--волновая функция в «подвижной» системе координат, (о> ,ол описывающая состояние частицы с определенным значением ~-проеквии момента; 1С = Л; в импульсном представлении эта функция совпадает, очевидно, с амплитудой и~~1. Нормированная (см. ниже) волновая функция 'ф тл(1с) = з Р" (и)и(~1(1с). (16.4) Здесь возникает, однако, вопрос о выборе фаз, связанный со следующей неоднозначностью.
Поворот системы координат ~у~ относительно хув определяется тремя углами Эйлера а, р, у; направление же и, от которого только и может зависеть волновая функция частицы, зависит лишь от двух сферических углов о = = ~р, (8 = О. Поэтому надо условиться о каком-либо выборе угла 7. Будем полагать у = О, т.
е. определим Р ~„(м) как Р~~~ (м) = Р~~~ (~р, В,О) = е' ~'до (О). (16.5) СНИРАЛЬНЫК ООО'ГОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ В силу (58.21) (съ<. РП) функции (16.5) удовлетворяют у<щовиям ортогональности и нормировки; ~~ Л С ~ ~ | ~ ~ > ~ ~ ~ ~ Л С 2 л > ~ 2 ~ ~ ~ о н ~ ~ ~ ~ | ~ | | ! ~ и и ~ ) о 7 и ~ ~ т 4Я 21 -<- 1 («О = >бп 0<10«<р). Ортогональность же функций фу Л по индексу Л обеспечивается множителем и(Л>. Таким образом, функции у> л ортогональны, как и д<>лжно быть, по всем индексам утпЛ, а при выбранном в (16.4) коэффициенте опи нормированы условием ~Ф л~ 6<о = 1. (16.7) При этом предполагается, что амплитуды и< 1 нормированы иа <Л> единицу: и< >и<"~>'" = 1. Рассмотрим поведение волновых функций сшлральных состояний по отношению к инверсии координат.
Произведение полярного вектора и на аксиальный вектор ) псевдоскаляр. Поэтому ясно, что в результате инверсии состояние со спиральностью Л перехо11ит в состояние с — Л; надо лишь определить фазовые множители в этих преобразованиях. При инверсии и — > — и. Вектор и определяется двумя углами <», О, и преобразование и — > — и осуществляется заменой <» — > — > <»+ я, 0 — »г — О. Тем самым фиксируется ось <„но остается неопределенным положение осей С и >1, зависящее также и от третьего угла Эйлера у; преобразование одних только О и <» не дает возможности различать в этом смысле инверсию системы координат от поворота оси <',.
В терминах всех трех углов Эйлера инверсия есть преобразование <> = <р — > <р+ т<, |> = Π— »< — О, у — »< — у. (16.8) Поэтому, если Р ~ (и) определено согласно (16.5) (т. е. с у = = О), а замена <> — > — и подразумевается как результат инверсии, то Рл-( ") = Рлб (<<>+ я >г 0 ><). (16.9) С помощью формул (58.9), (58.16), (58.18) (см. П1) находим поэтому РЯ ( ) <лп ~В) ( 0) ип<ИРЯ~ = ( — 1) е' ' Д~ Лп,(0) = ( — 1) Р~ л (<0,0,0)< Рл'~ ( — ) = (-1)-ЛРВАЛ,И(м) (16.10) (>' — Л целое <испо).
Аналогичную формулу для спинора и>( ) можно получить, заметив, что его компоненты юп совпадак>т, с точностью до 1Л) 80 гл. и возоны множителя, с функциями ш~~'(и) ст 1ЛЛ~'~ (и)*. (16.11) Действительно, применив формулу преобразования (58.7) (см. П1) к собственным функциям спина и положив, что его ~-проекция имеет определенное значение Л (т. е.
заменив в правой стороне (58.7) (см. 1П) зр на б л), мы найдем, что 12 (и) спиновые волновые функции,. отвечающие определенным значениям его в- и ~-проекций (гт и Л). Совокупность этих функций (о = — в, ..,, +э) составляет (по формулам соответствия (57.6) (см. П?)) ковариантный спинор ранга 2в. Компоненты же контравариантного спинора (которым по формулам (57.2) (см. РП) отвечают компоненты ь т ) преобразуются как комплексно(л> сопряженные от компонент ковариаптного спинора того же ранга.
Из (16.10),(16.11) имеем (л)( ) ( 1)а-л (-л>( ) (16.12) (в — Л вЂ”. целое число). Операция инверсии в применении к гн (л~ состоит однако не только в замене и — > — и, но и в умножении на общий фазовый множитель (ввнутренняя четность» частицы), который мы обозначим и: Рш(~)(и) = цнл®( — и) = и( — 1)в ~ш( ~~(и). (16.13) Для релятивистской же амплитуды и(л1(1с) это преобразование запишется в виде Рп(л)((с) т118п(л)( 1с) 0( 1)э — лп( — л)(1с) (16 14) где 13-- некоторая матрица, единичная по отношению к компонентам и(~~, остающимся в пределе )р! — э О.
Важно, что эта матрица не зависит от квантовых чисел состояния, и в этом смысле разница между (16.13) и (16.14) несущественна ') . Применив (16.14) к (16.2), получим закон преобразования волновых функций состояний ~пЛ): Рф„Л(и) = 0( — 1)' ЛЧл „Л(ы). (16 Р5) Для сферических спиральных состояний, воспользовавшись (16.10) и (16.12), получим закон преобразования: РФзэпл(ы) = 9( 1) Флп — л(м) (16 16) ') Так, для э = 1 амплитуды иеи — 4-векторы (1б.22); при этом б — полностью единичная матрица по 4-векторным индексам: бе, = б . Для в = 1/2 (как мы увидим в следующей главе) иго биспинор; при этом фазовый множитель и = г, а,З вЂ” матрица Дирака у~ (см. (21.10)). 81 1 16 СПИРАЛЬНЫК ОООТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ Состояния ф „,0 преобразуются, согласно (16.16), сами через себя, т. е. обладают определенной четностью.
Если же Л ф О, то определенной четностью обладают лишь суперпозиции состояний с противоположными спиральностями: ф,т~Л) = —,2 (Ф, Л Ф, -Л) Щ 1 (16.17) При инверсии они преобразуются сами через себя согласно ~л~(~) = ~0( 1)' '~ л~(~) (1618) Обратим внимание на то, что мы произвели в этом параграфе классификацию состояний свободной частицы с заданным моментом, оперируя только с сохраняющимися величинами и не прибегая к понятию орбитального момента (использованного, например, в 8 6, 7 для классификации состояний фотона). В качестве примера рассмотрим случай спина 1.
В системе покоя амплитуды и(А) (4-векторы) сводятся к трехмерным векторам е®, которые и играют здесь роль амплитуд игх) . действие оператора спина 1 на векторную функцию е дается формулой (Я,е)ь = — зееые1 (16.19) (см. П1, 8 57, задача 2).
Поэтому уравнение (16.1) принимает вид 1[пе~~)] = Ле(~). (16.20) Его решения (в системе координат Щ с осью ~ вдоль и) совпадают с циркулярными ортами (7.14) '): е~~) = г(0,0,1), е~+В = ~ — '(1, жг,0). (16.21) В системе отсчета, где частица имеет импульс р, амплитуды спиральных состояний — - 4-векторы п(0)р [р[ (О) п(~1)и (О е(~Ц) (16 22) пз тн Если е--полярный вектор, то ц = — 1. Тогда функции (16.17) (при в = 1 .трехмерные векторы) имеют следующие четности: В= ( — 1)' ~,' '„: Р=(-1)'"', ° = (-ц'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
