В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 11
Текст из файла (страница 11)
возоны гл. и (10.14) д у" = О, (10.17) где 1„= тЯ*ф„+ ф„*ф) = Яф*д„ф — (д„ф*)юД, (10 18) производной по времени, ~дф/д1~Г, входил в Л со знаком плюс; в противном случае действие пе могло бы иметь минимума (ср. И, 3 27). Выбор же общего числового коэффициента в 1 условен (и отражается лишь на нормировочном коэффициенте в ф).
Тензор энергии-импульса вычисляется теперь по формуле Т'='у, 0' — Т,б" (10.11) дЯ,а (суммирование по всем д). Подставив (10.9), получим Т„,, = д,4' д 4+ д,~* д ф — Т.я„, (10.12) (эти величины, как и следовало, вещественны, что обеспечивает- ся вещественностью Ь). В частности, Тоо — 2 ~ — ~ — А — ~ ~'+~71* т'гФ+гп 4 Ф (10.13) д~ д~ д~ д~ Т З~О— — дй дх 'дя дй 4-импульс поля дается интегралом Рр: Т в д~т (10 ° 15) т. е. Тсо и Тш играют роль плотности энергии и импульса.
Отме- тим, что величина Теа существенно положительна. Формулой (10.13) можно воспользоваться для нормировки волновой функции. Плоская волна, нормированная на одну ча- стицу. в объеме Ъ' = 1, запишется в виде — грх (10.16) ~/2г Действительно, для этой функции Тсв = с,. так что полная энер- гия в объеме Г = 1 совпадает с энергией одной частицы.
Момент импульса, .сохранение которого связано с изотропи- ей пространства, тоже может быть выражен в виде простран- ственного интеграла; однако такое представление момента нам в дальнейшем не понадобится. Наконец, помимо законов сохранения, связанных непосред- ственно с пространственно-временной симметрией, уравнения (10.4) допускают еще один закон сохранения. Действительно, лег- ко убедиться., что в силу (10.4) (и таких жс уравнений для 4*) имеет место уравнение об ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ Отсюда виднор что уи играет роль 4-вектора плотности тока.
При этом (10.17) есть уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения величины (10. 19) Эо11' Ш, где (10.20) Обратим внимание на то, что уо не положительно определенная величина. Уже это обстоятельство показывает, что в общем случае ее заведомо нельзя интерпретировать как плотность вероятности пространственной локализации частицы. Смысл выражаемого уравнением (10.17) закона сохранения выяснится в следу ющем параграфе. й 11. Т4астицы и античастицы Следуя общим правилам проведения вторичного квантования, мы должны рассмотреть разложение произвольной волновой функции по собственным функциям полного набора возможных состояний свободной частицы, например по плоским волнам ррр..
4 = ~~ ар4р, ф* = ~ирФ'. После этого коэффициенты ар, ар надо было бы понимать как операторы ар, а р уничтожения и рождения частиц в соответствующих состояниях ') . При этом, однако, мы сразу сталкиваемся со следующим новым (по сравнению с нерелятивистской теорией) принципиальным обстоятельством. В плоской волне, являющейся решением уравнения (10.5), энергия е должна удовлетворять (при заданном импульсе р) лишь условию е = р + т, т. е, может иметь :ь„р « .ец: ...., ° ° . р. бодной частицы могут, однако, обладать лишь положительные значения е. Между тем просто опустить отрицательные значения недопустимо: общее решение волнового уравнения образует лишь суперпозиция всех его независимых частных решений.
Это обстоятельство указывает на необходимость некоторого из- ') Снабжаем й-функции индексом 4-импульса р, в дальнейшем функции с «отрицательррой частотой> будем обозначать через 11 р. Операторы же а, ат снабжаел«индексом трехмерного импульса р, полностью определяющего состояние реальной частицы. 56 возоны гл. и менения истолкования коэффициентов разложения р)р и р)р* при вторичном квантовании. Напишем это разложение в виде ) Ж р(рг — «й + ~ ~ ) ( — ) г1ргф«8) ъ'2« ~-' »Р2« где в первой сумме стоят нормированные согласно (10.16) плоские волны с положительными, а во второй".с отрицательными «частотами»; е везде обозначает положительную величину; =р,р'р '.пр р . «ффр ар в первой сумме заменяем обычным образом операторами (ф) ар уничтожения частиц. Во второй же сумме замечаем, что при дальнейшем образовании матричных элементов временная зависимость ее слагаемых буде.г соответствовать не уничтожению, а рождению частиц; множитель е"' = (е '"')* отвечает одной лишней частице с энергией е в конечном состоянии (ср.
конец 2 2). Соответственно этомУ коэффициенты ар замснаем опеРаторами Ь~ рождения некоторых друтих частиц. Заменив также во второй сумме в (11.1) обозначение переменной суммирования р на — р (чтобы экспоненциальный множитель приобрел вид е цр" «~) получим «)р-операторы в виде «)р = ~~р (аре '" + Ьре" ), «)р = » 1аре'" + Ьре ""). р р (11.2) Таким образом, все операторы ар, Ьр оказываются умноженными на функции с «правильной» зависимостью от времени ( е "'), а операторы а~ф, Ь~ф на комплексно-сопряженные им функции. Это и дает возможность истолковать, в соответствии с общими правилами, операторы ар, Ьр как операторы уничтожения, а аь, Ь~~ -- как операторы рождения частиц с импульсами р и эне)зГЙямй е.
Мы приходим к представлению о частицах двух родов, высгупающих совместно и равноправно. О пих говорят как о частицах и античастицах (смысл такого названия выяснится ниже). Одним из них отвечают в аппарате вторичного квантования операторы ар, а',~, а другим Ьр, Ь«. Оба вида частиц, операторы которых входят в один и тот же «)у-оператор, тем самым имеют одинаковые массы. К этим результатам можно прийти и исходя из прямых требований релятивистской инвариантности. 57 члстицы и лнтичлстицы Преобразования Лоренца представляют собой в математическом смысле повороты четырехмерной системы координат, меняющие направление оси времени (вместе с чисто пространственными поворотами, не затрагивающими оси времени, они составляют группу преобразований, .которую называют группой Лоренца ') ).
Все эти преобразования обладают тем общим свойством, что они не выводят ось Ь за пределы соответствующей полости светового конуса, чем и выражается физический принцип существование предельной скорости распространения сигналов. Но в чисто математическом отношении поворотом является также и одновременное изменение знака всех четырех координат (чегпыреи мериал гтверсил): определитель этого преобразования равен +1, как и определители всякого другого поворотного преобразования. При этом ось времени переводится из одной полости светового конуса в другую.
Хотя это обстоятельство и означает физическую неосуществимость такого преобразования (как преобразования системы отсчета), но в математическом отношении отличие сводится лишь к тому, что (в силу псевдоевклидовости метрики) такой поворот не может быть произведен без того, чтобы не допустить попутно комплексное преобразование координат. Естественно полагать, что это отличие должно быть несущественно, когда речь идет о четырехмерной инвариантности. Тогда всякое выражение, инварглантное по отношению к преобразованиям Лоренца, должно быть инвариантно и по отношению к 4-инверсии.
Точная формулировка этого требования в применении к скалярному гр-оператору будет дана в ч 13. Но сразу же отметим, что оно во всяком случае приводит к необходимости одновременного присутствия в умоператорвх членов с обоими знаками перед е в показателях, поскольку замена 1 -э — 1 как раз меняет этот знак. Вернемся к выражениям (11.2) и установим перестановочпые соотношения между операторами ар, ар, (и Ьр., Ь~~).
В случае фотонов это было сделано (для операторов ср, срг) исходя из аналогии с осцилляторами, т. е. по существу из свойств электромагнитного поля в классическом пределе. Теперь такой аналогии нет. Для установления правил коммутации (Бозе ипи Ферми) между операторами мы можем руководствоваться лишь видом построенного из этих операторов гамильтониана. ) Отметим, что сОвокуппость всех трвхмервых (пространственных) поворотов составляет сама по себе группу, входящую в группу Лоренца в качестве подгруппы. Совокупность же преобразований Лоренца сама по себе не составляет группы: результат последовательных преобразований Лоренца может сводиться к чисто пространственному повороту.
58 возоны гл. и (11.5) ) В нерелятивистской теории при этом полагается писать сопряженный оператор ~Ут слева от т. Здесь же порядок безразличен, так как перестановка фт и ф привела бы лишь к перестановке равноправных операторов ор и Ьр. Необходимо, однако, выбрав тот или иной порядок, всегда придерживаться одного правила. Последний получается (см. Ш, 8 64) подстановкой гЬ и от вместо ф и ф* в интеграл ) Тее г1зш ') . Таким образом найдем Й = ~~) е(а+ар + ЬрЬ '). (11.3) и Легко видеть, что разумный результат для собственных значений этого гамильтониана получается, лишь если операторы удовлетворяют правилам коммутации Бозе: (ар., а е) = (Ьр, 5+1 (11.4) (все другие пары операторов коммутативны; в том числе комму~ативны все операторы частиц ар, а ~ со всеми операторами античастиц Ьр, Ь+).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
