В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Действительно, в таком случае Й ~ е(ар ар + б~> Ьр + 1) ° Р Собственные значения произведений а'" ар и Ь~~Ьр равны положительным целым числам Хр и Агр -- числам частиц и античастиц. Бесконечную же аддитивную постоянную ~, е («энергия вакуумар) можно снова просто опустить: Е = ~~) е(Агр + Агр) и (ср. формулу (3.1) и примечание к ней). Это выражение существенно положительно и соответствует представлению о двух родах реально существующих частиц.
Аналогичным образом для полного импульса системы частиц получим Р = ~ Р(Агр + Хр). (11.6) Если бы мы приняли вместо (11А) перестановочные соотношения Ферми (антикоммутаторы вместо коммутаторов), то получили бы Н = ~~ е(а'ар — Ь~~Ьр+ 1) и вместо формулы (11.5) физически бессмысленное выражение ~,е(Хр — Хр). Это выражение не является положительно члстицы и литичлстицы определенным и поэтому не может представлять собой энергию системы свободных частиц.
Таким образом, частицы со спином 0 являются бозонами. Далее, рассмотрим интеграл Я (10.19). Заменив в ую функций ц' и ф' операторами ф и ф+ и произведя интегрирование, получим Я = Я(а«ар — брб ) = Я(а«ар — Рбр — 1). (11.7) Собственные значения этого оператора (за вычетом несущественной аддитивной постоянной ~;1): ~=~(л,-й,), (11.8) и т.
е. равны разностям полных чисел частиц и античастиц. До тех пор, пока мы рассматриваем свободные частицы, отвлекаясь от всякого взаимодействия между ними, смьнл закона сохранения величины Я (как, впрочем, и законов сохранения полных энергии и импульса (11.5, 11.6)) остается, разумеется, в значительной степени условным: сохраняется в действительности не только эта сумма., но и каждое из чисел Хр, Хр в отдельности. Будет ли сохраняться величина Я в результате взаимодействия, зависит от характера взаимодействия.
Если Я сохраняется (т. е. если оператор Я коммутирует с гамильтонианом взаимодействия), то выражение (11.8) показывает, какое этот закон вносит ограничение на возможные изменения числа частиц: могут возникать и исчезать л1ппь пары «частица+античастица». Если частица электрически заряжена, то ее античастица должна иметь заряд противоположного знака: если бы та и другая имели одинаковые заряды, то возникновение или уничтожение их пары противоречило бы строгому закону природы-- сохранению полного электрического заряда. Мы увидим ниже Я 32), каким образом эта противоположность зарядов (при взаимодействии частиц с электромагнитным полем) возникает в теории автоматически.
Величину Я иногда называют зарядом поля данных частиц. Для электрически заряженных частиц 1~ определяет, в частности, полный электрический заряд системы (в единицах элементарного заряда е). Подчеркнем, однако, что частицы и античастицы могут быть электрически нейтральны. Таким обраюм, мы видим, как характер релятивистской зависимости энергии от импульса (двузначность корня уравнения ез = рв + «пэ) совместно с требованиями релятивистской инвариантности приводит в квантовой теории к появлению нового классификационного принципа для частиц -возможности существования пар различных частиц («частица + античастица»), 60 возоны гл. и находящихся в описанном вьппе соответствии друг с другом. Это замечательное предсказание было впервые сделано (для частиц со спином 1,62) Дираком в 1930 г., еще до фактического открытия первой античастицы позитрона ') .
3 12. Истинно нейтральные частицы При проведении вторичного квантования ф-функции (11.1) коэффициенты ар и ар рассматривались как операторы, от- М ( †) носящиеся к различным частицам. Это, однако, не обязательно; как частный случай входящие в у1 операторы уничтожения и рождения могут относиться к одним и тем же частицам (как это было для фотонов — ср. (2.17)). Обозначив в этом случае указанные операторы как ср и с+, напишем у-оператор в виде — (с е "''+ с е"' ).
~-' ъ'2е (12.1) (12.3) так что оператор плотности энергии ') Па бозоны понятие античастиц было распространено Вайскопфом и Паули (К Игемэвор~, Иг. Раи1г', 1934). ~) Подобно лишнему множителю 1/2 в операторе (2.10) плотности энергии электромагнитного поля (выраженного чероз эрмитовы операторы К и Й), по сравнению с плотностью энергии фотона (3.2). выраженной через его комплексную волновую функцию; ср. примеч. иа с. 2б. Описываемое таким оператором поле соответствует системе одинаковых частиц, о которых можно сказать, что они «совпадают со своими античастицамиэ, Оператор (12.1) эрмитов (фт = 1о); в этом смысле такое поле имеет вдвое меныпе «степеней свободы», чом комплексное поле, для которого операторы уз и уэ+ не совпадают.
В связи с этим лагранжиан поля, выраженный через эрмитов оператор 41, должен содержать лишний (по сравнению с (10.9)) множитель 1/2 в) Х = (1/2)(дрф ддф — пуф~). (12.2) Соответствующий тензор энергии-импульса 2ии — оиМ ' й Ф ~'Кум; 61 1 ьз ИСТИННО НЕЙТРАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ Подставив 112.1) в интеграл / 7овдзя, получим гамильтониан поля и: х~~ е(~ ср + сп~ ) 112.5) Отсюда снова видна необходимость квантования по Бозе: (ср, сп) = 1, 112.6) и собственные значения энергии (снова за вычетом аддитивной постоянной) Е = ~~~ ерХр. 112.7) 7'И = г~ф д,Я вЂ” (два~ «)ф) (12.8) для оператора сохраняющегося 4-вектора 1 при ф = ~~« обращается в нуль (вектор же фдиф сам по себе не сохраняется).
Это в свою очередь означает отсутствие какого-либо особого закона сохранения, который бы ограничивал возможные изменения чисца частиц. Очевидно, что такие частицы, во всяком случае, электрически нейтральны. Частицы такого рода называют исгпинно нейтрильнылги, в отличие от электрически нейтральных частиц, имеющих античастицу. В то время как последние могут аннигилировать 1превращаясь в фотоны) лишь парами, истинно нейтральные частицы могут аннигилировать поодиночке.
Структура»д-оператора (12.1) такая же,. как структура операторов 12.17) — 12.20) электромагнитного поля. В этом смысле можно сказать, что и сами фотоны — истинно нейтральные частицы. В случае электромагнитного поля эрмитовость операторов была связана с вещественностью напряженностей поля как измеримых 1в классическом пределе) физических величин. В случае же»д-операторов частиц такой связи не существует, поскольку им вообще не соответствуют какие-либо непосредственно измеримые величины. Отсутствие сохраняющегося 4-вектора тока есть общее свойство истинно нейтральных частиц и не связано с равным нулю спином (так, опо имеет место и для фотонов). Физически оно При квантовании же по Ферми мы получили бы бессмьпленный результат не зависящее от Х, значение Е. «Заряд» Я рассматриваемого поля равен нулю. Это ясно уже из того, что заряд ь ' должен меяять знак при замене частиц античастицами, а в данном случае те и другие совпадают.
В связи с этим не существует и 4-вектора плотности тока. Действительно, выражение 62 гл. и возоны выражает отсутствие соответствующих запретов для изменения числа частиц. С формальной же точки зрения существует прямая связь между отсутствием сохраняющегося тока и вещественностью поля эрмитовостью оператора лг.
Лагранжиап комплексного поля Ь = диФ Двф — лп л)л+л)л (12.9) инвариантен по отношению к умножению лд-оллератора на произвольный фазовый множитель, т. е. по отношению к преобразованиям лд — ~ ел 4, л~л+ -+ е ' лил (12.10) (их называют калибровочными). В частности, лагранжиан не меняется при бесконечно малом калибровочном преобразовании 4 — л 4+ лба ~, л)л' — л ф — лллсл. ф+. (12.11) При бесконечно малом изменении «обобщенных координатл д лаграпжиан испытывает изменение бай=1 ( — лл-'; )= ~(ес о ел)л ~ а (ыл) (суммирование по всем д).
Первый член обращается в нуль в силу «уравнений движения» (уравнений Лагранжа). Понимая под «координатами» д операторы ф и л) + и положллв Щ = лбо. ф, бф+ = — лбо. лд+, получим д л'- дХ вЂ , дХ 'л бТ = Ылт — ~ф= — ~л ) див ~ длт длтл- в) Отсюда видно, что условие неизменности лагранжиапа (бХ = О) эквивалентно уравнению непрерывности (длу"=О) для 4-вектора У вЂ” л ~ д4-, д4 Легко убедиться, что для лагранжиана (12.9) эта формула приводит к току (12.8). Таким образом, в математическом формализме теории существование сохраняющегося тока оказывается связанным с инвариантпостью лагранжиана по отношению к калибровочным преобразованиям (И'. Раи1л', 1941).
Лагранжиан же истинно нейтрального поля (12.2) этой симметрией не обладает. 63 багз пгеовРАЗОВАния с, Р, т 3 13. Преобразования С, Р, Т В противоположность 4-инверсии трехмерная (пространственная) инверсия не сводима к каким-либо поворотам 4-системы координат: определитель этого преобразования равен не + +1, а — 1. Свойства симметрии частиц по отношению к инверсии (Р-преобразование) не предопределяются поэтому. соображениями релятивистской инвариантности ') . В применении к скалярной волновой функции операция инверсии заключается в преобразовании (13.1) Рф(1,г) = ~ф(1, — г), где знак «+» или « — » в правой стороне отвечает соответственно истинному скаляру или псевдоскаляру.
Отсюда видно, что надо различать два аспекта поведения волновой функции при инверсии. Один из них связан с зависимостью волновой функции от координат. В нерелятивистской квантовой механике рассматривался только этот вопрос, он приводит к понятию четности состояния (которую мы будем называть теперь орбпгпальной четностйю), характеризующей свойства симметрии движения частицы. Если состояние обладает определенной орбитальной четностью (+1 или — 1), то это значит, что ~(1, — г) = ~ф(1,г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
