В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Для нахождения тензора энергии импульса формула (10.11) в данном случае не вполне удобна, так как она привела бы к несимметричному тензору, который нуждался бы еще в дополнительной симметризации. Вместо этого можно воспользоваться формулой ~1.Г,У вЂ” 1 д -аб+ 1Г:аб (140) О. б"„' а 1 ) Если бы мы производили варьирование только по ф„(предполагая заранее ф,„выраженными через ья согласно (14.1)), то уравнение (14.3) должно было бы вводиться как дополнительное условие,не связанное с вариапионным принципом, 72 возоны гл.
и в которой предполагается, что Ь выражено в виде, .относящемся к произвольным криволинейным координатам (см. П, З 94). Коли Л содержит только компоненты самого метрического гензора е„ (но не их производные по координатам), то формула упрощается: 2 д~/-ц Ь дА т — 6'рит ,-~ ах" ак" (напомним, что д 1пй = — дрифР ). Поскольку дифференцирование в формуле (14.6) производится не по величинам фр, фри, при ее применении необязательно считать эти величины независимыми; можно сразу воспользоваться связью (14.1) и переписать лагранжиан (14.5) в виде 1 = ( — 1/2) фр,ф~ 9Р~9иг + та~>р~,*рР~.
(14.7) Тогда Три = ФрлФи * 'ФрлФи + гп (ФрФи + КФр) + +ври ((1/2) дахр~ ' — гй ~~лф ) . (14.8) В частности, плотность энергии дается существенно положительным выражением Тоо = (1/2) 41ь~Д, +'фечфе, + гп~ (фо4о+ фг4;*) (14 9) Сохраняющийся 4-вектор плотности тока дается выражением , р (~ри*~ 4 пи)и) (14.10) Его можно найти сопласно формуле (12.12) дифференцированиелл лагранжиана (14.5) по производным дрфи. В частности, о; (,~оь*,р,.(оь,р.1 и не является существенно положительной величиной. Плоская волна, нормированная на одну частицу в объеме Г=1; (14.
12) р д-р где нр --единичный 4-вектор поляризации, удовлетворяющий (в силу (14.3)) условию четырехмерной поперечности пррр = О. (14.13) Действительно, подставив функцию (14.12) в (14.9) и (14.11), получим Тес = — 2е ррах'* = е, у = 1. В противоположность фотону векторная частица с ненулевой массой имеет три независимых направления поляризации. Соответствующие им амплитуды см. (16.21). 1 14 ВОлнОВОе уРАВнение для чАстицы ОО спинОМ г 73 Поляриза,ционная матрица плотности для частично поляри- зованных векторных частиц определяется таким образом, чтобы в чистоъг состоянии она сводилась к произведению рри — — иии, (аналогично выражению (8.7) для фотонов).
Согласно (14.12), (14.13) она удовлетворяет условиям р"рри = О, р„= — 1. Для неполяризованных частиц матрица р, должна иметь вид адри + 5РИРи. ОпРеделив коэффициенты а и 6 из (14.14) г найдем в результате (14. 15) Квантование поля векторных частиц производится аналогично скалярноълу случаю, и нет необходимости повторять заново все рассуждения, уг-операторы векторного поля имеют вид ~ Уг2В ' (14.1б) 1 /"-~- (а)' грх + 5 (а),— грх 1 1гО р / У2Е РО где индекс ст нумерует три независимые поляризации. Положительная определенность выражения (14.9) для 7ВВ и неопределенность 4' (14.1Ц приводят, как и в скалярном случае, к необходимости квантования по Бозе.
Существует тесная связь между свойствами истинно нейтрального векторного и электромагнитного полей. Нейтральное векторное поле описывается эрмитовым у1-оператором: гр = ~ — 1 с иг ге '"х + с " иг г*е'Р ) . (14.17) ~-~ у'2е гг рю Лагранжиан этого поля 1, г)г г)гРи ~~>РРЯ г)ги 47игг ) + гп г)г ФР. (14.18) Электромагнитному полю отвечает случай т = О. При этом 4-вектор уг" становится 4-потенциалом А"', а 4-тепзор гр'"' - . тепзором поля Г"~, связанным с потенциалом определением (14.1).
Уравнение (14.2) превращается в диугр, = О, что соответствует второй паре уравнений Максвелла. Из него уже не следует условие (14.3), которое, таким образом., перестает быть обязательным. Ввиду отсутствия дополнительного усгговия нет необходимости РассматРивать в лагРанжиане гдр и г)г и как независимые гл. и возоны «координаты», и лагранжиан (14.18) сводится к Х = — 11,14)ф„~ф" (14.19) в согласии с известным классическим выражением лагранжиана электромагнитного поля.
Этот лагранжиан, вместе с тензором фр», инвариантен по отношению к произвольному калибровочному преобразованию «потенциалов» фр. Ясно видна связь этого обстоятельства с нулевой массой; лагранжиан (14.18) не обладает этим свойством благодаря члену гпз'фдад". 8 15. Волновое уравнение для частиц с высшими целыми спинами Поскольку волновые уравнения (14.3, 14.4) следуют непосредственно из задания массы и спина частицы, практическое использование лагранжиана сводится не столько к выводу этих уравнений, сколько к построению выражений для энергии, импульса и заряда поля. Для этой цели, как уже отмечалось, можно пользоваться вместо (14.5) выражением (14.7), а последнее можно преобразовать еще дальше.
Использовав (14.1), переписываем (14.7) в виде 7 (д ~~) (дР~») + (д ~~) (дР )и) + 2) )Р~ — (д„Ф;) (дРФ") + гп2Ф*ФР + д, Кдл~~') — Ф*дРд,Р'. В силу (14.3) последний член обращается в нуль, а предпоследний есть полная производная. Опустив ее, получим лагранжиан А' = — (д„~:) (дР~ ) + Р4'~Р. (15.1) Оп имеет ту же структуру, что и лагранжиан (10.9) частицы со спином О, отличаясь лишь заменой скаляра ф на 4-вектор ~~р и общим знаком. Последнее связано с тем, что фр --пространственноподобпый вектор,так что фри"* ( О,в то время как для скалярной частицы фф* ) О.
Если построить 4-тензор энергии-импульса и 4-вектор тока с помощью лагранжиана (15.1), то мы получим выражения того же вида, что и выражения (10.12) и (10.18) для скалярного поля: Т„„= — 0,Я~* д,~л — д,ф~' . драл — Л'йрк, (15 2) ур = '~ФлдрФ ЮЛА) 4 ~ . (1о.3) Их отличие от (14.8) и (14.10) тоже сводится к полным производным. Но,локальные значения этих величин не имеют (как 75 члстицы с высшими цвлыми спинлми уже подчеркивалось ранее) глубокого физического смысла. Существенны лишь объемные интегралы Ри (10.15) и Я (10.19), которые будут совпадать при обоих выборах Тд, и у„. Такой способ описания непосредственно обобщается на частицы с произвольным (целым) свином.
Волновая функция частицы со спином в есть неприводимый 4-тензор ранга и, т. е. тензор, симметричный по всем своим индексам и обращающийся в нуль при упрощении по любой паре индексов: = вУ „, ф „и = О. (15.4) Этот тензор должен удовлетворять дополнительному условию 4-поперечности: (Рй 5) р "4'... ° = О, а каждая из его компонент уравнению второго порядка: (3~ — гпз)ф = О. (15.6) В системе покоя усчовие (15.5) приводит к обращению в нуль всех компонент 4-тензора, среди индексов которых есть О. Другими словами, волновая функция в системе покоя (т. е. в нерелятивистском пределе) сводится, как и следовало, к неприводимому 3-тензору ранга в, число независимых компонент которого равно 2в + 1. Л1атрапжиа, тепзор энергии-импульса и вектор тока для поля частиц со свином и отличаются от (15.1) — (15.3) ли|пь заменой 'Фл на Юли....
Нормированная плоская волна: фн "' = — ини7'и ~Рх и~ 'ипи - — 1 (15 7) = — -,,*Р... причем амплитуда волны удовлетворяет условиям и'" '" "'ри —— О. (15.8) Имеется 2в + 1 независимых состояний поляризации. Квантование поля производится очевидным обобщением случаев спина 0 или 1. Изложенная схема вполне достаточна для поставленной цели описания поля свободных частиц.
Иное дело, .если ставить задачу об описании взаимодействия частиц с электромагнитным полем. Это взаимодействие должно было бы вводиться в лагранжиан, из которого все уравнения могли бы быть получены без необходимости постановки дополнительных условий. Однако фактически оказывается, что такое описание взаимодействия применимо только для электронов -- частиц со спипом 1/2 (см.
3 32). Поэтому для других спинов зта задача могла бы иметь лишь методи геский интерес. 76 Гл. и возоны Отметим, что для всех 1целых и полуцелых) спияов а ) 1 оказывается невозможным сформулировать вариационный принцип с помощью одной только функции (тензорпой нли спинорной), ранг которой соответствует данному спину. Для этой цели оказывается необходимым ввести в качестве вспомогательных также тензорные или спипорные величины более низкого ранга.
При этом лагранжиан подбирается таким образом, чтобы эти вспомогательные величины автоматически обращались в нуль в силу следующих из вариационного принципа уравнений поля свободных частиц ') . 9 16. Спиральные состояния частицы ') В релятивистской теории орбитальный момент 1 и спин в движущейся частицы не сохраняются каждый в отдельности. Сохраняется лишь полный момент 3 = 1+ в. Не сохраняется поэтому и проекция спина на какое-либо заданное направление (ось я), и поэтому эта величина не может служить для перечисления поляризационпых (синцовых) состояний движущейся частицы. Сохраняется, однако, проекция спина на направление импульса: поскольку 1 = [гр], то произведение вп совпадает с сохраншощимся произведением 3п (и = р/~р~). Эту величину называют снирпльногтьиз ') (мы уже рассматривали ее для фотона в 3 8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
