В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 17
Текст из файла (страница 17)
') Выбор фазовых множителей фиксируется требованием, чтобы вычисленные с помощью собственных функций (16.21) матричные элементы операторов спина отвечали общим определениям в т. 1П, 1 27, 107. 82 Гл. и нозоны Сравнивая с определением шаровых векторов (7.4), .мы видим, что зти функции тождественны 1с точностью до фазовых множителей) соответственно с Ъ .', Ъ,п, Ъ „,. Определив фазовые (э) (и) рэ) множители (скажем, путем сравнения значений при 0 = 0), получим следующие равенства: -(э) )-1 21+) ( В) О) (-1) О) зт э )~ (и 1т+е — 1т/ 8я Ъ'йэ) = гз ' ° 1 (ерц Ы~) +е~ ') В~~) ) )'16.23) 8к .(и) ., 1 21+) ~о) О) зэп 1~ 4 От (у .-целое число!); е~ ) = ~пе~ )] .- циркулярные орты в осях Щ~ повернутых относительно Щ на 90' вокруг оси ~.
Последняя из формул (16.23) эквивалентна выражению (58.23) (см. Ш) для д~~~о (0). Из первой же (или второй) формулы можно получить простое выражение для функций драч . Имеем В) г В~, — — 'У е = е - ~711 6-1 21+) В) (э) (Ы)э Г ОЫ)* '~/ 8к т зт 1+ ц Скалярное произведение в правой стороне равенства раскрываем в системе Сэ)~, причем Вспомнив определение (7.2) функции У. и определение (16.5), получим в результате 1,") (О) = (-1)-+' "- " (+ — '+ )Р-(сов д), руо ц( ), т, > О. (16.24) ГЛАВА П1 ФЕРМИОНЫ й 17. т1етырехмерные сниноры В нерелятивистской теории частица с произвольным спином в описывается (2в+1)-компонентной величиной - - симметричным спинором ранга 2ж С математической точки зрения это величины, реализующие неприводимые представления группы пространственных вращений.
В релятивистской теории эта группа выступает лишь как подгруппа более широкой группы четырехмерных вращений группы Лоренца. В связи с этим возникает необходимость в построении теории четырехмерных спиноров (4-спиноров) — величин, осуществляюгцих неприводимые представления группы Лоренца; ее изложению посвящены ~ 17 — 19. При этом в ~ 17, 18 рассматривается лишь собственная группа Лоренца, не содержащая пространственной инверсии; последняя будет рассмотрена в ~ 19. Теория 4-спиноров строится аналогично теории трехмерных спиноров (В. Л. пап з4ег Игиегйеп, 1929; 6.
Е. ~3Ыепбес1, О. 7ирог1е, 1931). Спинор (" есть двухкомпонентная величина (а = 1, 2); как компоненты волновой функции частицы со свином з,~~ ( и г, отвечают собственным значениям в-проекции спина, равным соответственно + з~5г и — з,~г. При всяком преобразовании (собственной) группы Лоренца две величины (~, (г преобразуются друг через друга; ,~з + 1~г ~г' „,~з + б~г (17.1) Коэффициенты о, з1, 'у, б-- определенные функции углов поворота 4-системы координат, подчиненные условию об — 137 = 1, (17. 2) т. е.
определитель бинарного преобразования (17.1) равен 1, как и определители преобразований координат в группе Лоренца. В силу условий (17.2) билинейная форма сзБг — ~гВз (где (" и  — два спинора) инвариантна относительно преобразования (17.1) (она отвечает частице со спином 0, «составлешюй» из двух частиц со спипом з/~). для естественной записи таких инвариантных выражений наряду с «контравариантными» компонентами Фетмионы ГЛ. 2П спинора ~о вводятся также и ековариантные» компоненты („.
Переход от одних к другим совершается с помощью еметрического спинораа я д '): со = а' дс~ (17.3) где (0 1) (17.4) так что 6 =Ь", Ь2 = — Ь' (17.5) Тогда инвариант (~БЯ вЂ” (~Б» записывается в виде скалярного произведения б В . При этом ~пВ = — ~оБ . До сих пор перечисленные свойства формально совладали со свойствами трехмерных спнпоров. Разница, однако, возникает при рассмотрении комплексно-сопряженных спиноров. В нерелятивистской теории сумма ~ 2~Ы + ~2~2* (17.6) (17.7) ') Спинорные индексы будем обозначать первыми буквами греческого алфавита: а, д, 7, ...
определяющая плотность вероятности локализации частиц в пространстве, должна была быть скаляром, .а для этого компоненты фо* должны были преобразовываться как ковариантные компоненты спинора; друтими словами, преобразование (17.1) должно было быть унитарным (сг = Б', 22 = — у*). В релятивистской же теории плотность частиц не является скаляром; она представляет собой временную комшоненту 4-вектора. В связи с этим указанное требование отпадает и на коэффициенты преобразования не накладывается теперь никаких дополнительных (помимо (17.2)) условий. Четыре комплексные величины о, 18, у, б при одном лишь условии (17.2) эквивалентны 8 — 2 = 6 вещественным параметрам- в соответствии с числом углов, определяющих вращение 4-системы координат (повороты в шести координатных плоскостях).
Таким образом, комплексно-сопряженные бинарные преобразования оказываются существенно различными, так что в релятивистской теории существует два типа спиноров. Чтобы различить этн типы, приняты специальные обозначения; индексы спиноров, преобразующихся по формулам, комплексно-сопряженным формулам (17.1), записываются в виде цифр с точками над ними (прнктирнь2е индексы).
Таким образом, по определению, 85 17 ЧЕТЫРВХЫНРНЫВ СПИНОРЫ где знак означает «преобразуется как». Другими словами, формулы преобразования ч пунктирного» си и нора; 17~ = сг*г7~ + ~3 "71~„71~ = 7'77~ + б*г7 . (17.8) Операции опускания и поднимания пунктирных индексов производятся так же, как и для непунктирных индексов: 2 91 =17 1 174= 17. (17.9) СД ~п3 ~М цаНВ Тем самым указание одного лишь полного ранга спинора недостаточно для однозначного определения этого понятия; мы будем поэтому при необходимости указывать ранг в виде пары чисел (Й, 1) числа непунктирных и числа пунктирных индексов. Поскольку преобраювания (17.1) и (17.8) алгебраически независимы, пет необходимости фиксировать последовательность пунктиряых и непунктирных индексов (в этом смьпле, например, спиноры 1,'"' и ~Д" -- одяо и то же).
Для того чтобы иметь инвариантный характер, всякое спинорное равенство должно содержать с обеих сторон одинаковое число непунктирных и пунктирных индексов; в противном случае оно заведомо нарушится при переходе от одной системы отсчета к другой. При этом надо помнить, что комплексное сопряжение подразумевает замену пунктирных индексов непунктирпыми и наоборот. Поэтому имеет инвариантньпл характер соотношение 17~" = ((~В) между двумя спинорами. Свертывание спиноров или их произведений может производиться лишь по парам индексов одинакового рода двум пунктирным ипи двум непупктирным.
Суммирование же по паре индексов различного рода не инвариантная операция. Поэтому из спипора Ччггпг ...п»Ргдг ...А (17.10) По отношению к пространственным вращениям поведение 4-спнноров совпадает с поведением 3-спиноров. У последних, как мы знаем, г)г* 17г". В силу определения (17.7) 4-спинор 71п ведет себя, следовательно, при вращениях как контравариантный 3-спинор гг .
Собственным значениям проекции спина '~я и — 16 соответствуют поэтому ковариантные компоненты Тй и Тк. Спиноры высших рангов определяются как совокупности величин, преобразующихся как произведения компонент нескольких спиноров первого ранга. При этом среди индексов спинора высшего ранга могут быть как пунктирные, так и непунктирные. Например, существует три типа спиноров второго ранга; 86 ГЛ. 1П Фегмионы симметричного по всем Й непупктирньпл и по всем 1 пунктирным индексам, нельзя образовать спинор более низкого ранга (напомним, что упро1цение по паре индексов, относительно которых спинор симметричен, дает в результате нуль).
Это значит, что из величин (17.10) нельзя составить меныпего числа каких-либо их линейных комбинаций, которые бы преобразовывались друг через друга при всех преобразованиях группы. Другими словами, симметричные 4-спиноры реализуют неприводимые представления собственной группы Лоренца. Каждое неприводимое представление задается парой чисел (Й, 1). Поскольку каждый спинорный индекс пробегает два значения, имеется к+1 существенно различных наборов чисел о1а2 ...
ал в (17.10) (содержащих О. 1, 2,..., й единиц и й, 7' — 1, ..., 0 двоек) и 1+1 наборов чисел 121122 ... 181. Всего, следовательно, симметричный спинор ранга (й, 1) имеет 1л:+1)11+1) независимых компонент: это и есть разл1ерность осуществляемого им неприводимого представления. 8 18. Связь спипоров с 4-векторами Спинор 1',"Д с одним пунктирным и одним непунктирным индексами имеет 2.2 = 4 независимые компоненты "- как раз столько, сколько компонент имеет 4-вектор. Ясно поэтому, что тот и другой реализуют одно и то же неприводимое представление собственной группы Лоренца, и между их компонентами должно иметься определенное соответствие.
Для установления этого соответствия обратимся прежде всего к аналогичному соответствию в трехмерном случае, учитывая, что по отношению к чисто пространственным вращениям поведение 3- и 4-спиноров должно быть одинаковым. Для трехмерного спинора уу"~ имеют место формулы соответствия (см.
П1, 8 57), которые мы запишем здесь в виде а, = — 11Р— у1 ) = — 1у121 + 1д 2), а = — — (ф +1Д ) = — (ф~ — 1Р1). 2 2 1 (~12 + ),21) ( ),1,у2 ) где и, аю а, -компоненты некоторого трехмерного вектора а. Переходя к четырехмерному случаю, надо заменить компоненты 1Р а на 1', Р, а поД и, аеы и,, понимать контРаваРиантные компоненты а', а2, а11 4-вектора. Что же касается выражения для четвертой компоненты вектора,. а ., то его вид заранее ясен из 87 1 18 св5!Зь спиноРОВ с 4-Ввк'Гогами отмеченного в 2 17 обстоятельства: величина (17.6) должна преОбраЗОВЫВатЬСя КаК ао. ПОЭтОМу а 1,!' + 1,зз, КОЭффнцнсит пропорциональности определяется так! чтобы скаляр !,' 1,ол сове!3 падал со скалярам 2ара" = 2а . 2 Таким образом, мы приходим к следующим формулам соответствия: 1 1(~12 + .21) 2 3 1 (~11 ~22) 2 Обратные формулы: а, =-(1, — 1, ), 2 О 1 ( .11 + (.22) 2 (18.1) = 1,22 = а + и ! И 3 О 12 1 2 = — !',2, —— а — !а ., =а — а,, 22 О 3 (18.2) = — !',12=а +!и.
При этом ~о!3 2 2 о!3 (18.3) Отметим также, что 1,зл = б„'а . (18.4) ая (1 0) ав (3 0 ) ' а' 16 -1) ' (18'б) Ее!!и обозначить символически посредством !, матрицу величин 1,ой с верхними индексами (причем первый --пепунктирный)! то формулы (18.2) записываются в виде 1' = а!т + а (18.6) ') Для упрощения обозначений операторы (матрицы), действующие на спииовые переменные., будем обозначать буквамн без шлясюк. Последнее равенство следует из того, что спинор второго ранга ~„. 1,т антисимметРичеп по инДексам сну и потомУ пРо!юРциона- !3 лей метрическому спинору.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
