В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Определив его законом преобразования од (оНд о д (19.9) мы получим величины, преобразую|циеся при инверсии согласно (19.10) При этом 4-вектор а", которому эквивалентен такой спинор, преобразуется (в соответствии с формулами (18.1)) согласно (а~,а) э (ао, — а), т. е. является истинным 4-вектором (а трехмерный вектор а -полярным вектором). Можно, однако, определить ~од также и согласно С НР—:-от)' Иа (19.11) Тогда ') (19.12) Такому спинору соответствует 4-вектор, для которого инверсия означает преобразование (а, а) — 1 ( — а, а), т. е.
4-псевдовектор (трехмерный же вектор а аксиален). Симметричные спиноры второго ранга с индексами одинакового типа определяются законами преобразования: (19.13) При инверсии они переходят один в другой; (19.14) ') Подчеркнем, что законы преобразований (19.10) и (19.12), различающиеся знаком в правой стороне, отнюдь не эквивалентны, поскольку в обеих их сторонах стоят компоненты одного и того же спинора (ср. примеч. на с. 92). ФЕРМИОНЫ гл ш О ии Рх Ря р« Ра Рг Π— а, (р' а) а О Р« О (19.15) ૠ— И Д ((р, а) краткое обозначение, которое мы будем применять для перечисления компонент такого тензора).
При этом а"~=( — р, а), а из двух величин а — р = — ав~а"', 2 г ! 2 1 иы ра ар = — еиир«п а 8 первая является скаляром, а вторая псевдоскаляром; по отношению к собственной группе Лоренца тот и другой одинаково инвариантны. Вместе с ними инвариантны также и квадраты трехмерных векторов Г = р + га.
Это значит, что всякий поворот в 4-пространстве для векторов Г+ эквивалентен «повороту» в трехмерном пространстве, вообще говоря, на комплексные углы (шести углам поворота в 4-пространстве соответствуют три комплексных «угла поворота» трехмерной систомы). Операция же пространственной инверсии, меняя знак р (но не а), переводит векторы Г+ и — Г друг в друга. Компоненты этих векторов и составляют искомые две группы величин, образованных из компонент тензора ае . Тем самым становится очевидным также и соответствие между компонентами 4-тензора аи и спиноров св~, и . Поскольку в группу Лоренца входят в качестве подгруппы пространственные вращения, соотношения между компонентами спинора и компонентами трехмерного вектора должны быть такими же, как для Пара (~~8,«1 з) образует биспинор второго ранга.
Число его независимых компонент равно 3+3 = 6. Столько жс независимых компонент имеет аптисимметричный 4-тензор второго ранга а,"'. Поэтому между тем и другим должно существовать определенное соответствие (оба реализуют эквивалентные неприводимыс представления расширенной группы Лоренца). Поскольку по отношению к собственной группе Лоренца спиноры (~З и й. преобразуются независимо, то и из компонент 4-тензора а"и могут быть составлены две группы величин, преобразующихся только друг через друга при всех поворотах 4-системы координат. Это разбиение осушествляется следующим образом. Введем трехмерный полярный вектор р и трехмерный аксиальный вектор а, связанные с компонентами 4-тензора а,"' согласно 95 2 20 ИНВЕРСИЯ СПИНОРОВ трехмерных спиноров: у-Р 1 (~22 ~11) у-Р 1 ((22 [ ~11) 1 1 я = [г)22 %1): 2 и — (г)22 + 'г)П) 1 уг-Р ~12, = г)12.
[19.16) ) Спиноры же нечетного ранга осуществляют двузначные представления группы: пространственный поворот на 360' меняет знак спиноров, так что каждому элементу группы отвечают две матрицы про гивоположного знака. Задача Установить общее соответствие между спинорами четного ранга и 4-тензорами. Р е ш е н и е. Все спиноры с четными й + 1 реализуют однозначные не- приводимые представления расширенной группы Лоренца и поэтому эквивалентны 4-тензорам, реализующим такие же представления ') . Спинор ранга [й, й) преобразуется при инверсии согласно — Г й~.з...,э....
[1) Такой спинор эквивалентен симметричному непрнводимому 4-тензору ранга й — истинному или псевдотензору в зависимости от знака в [1). Спиноры рангов [й,1) и [1, й), составляющие биспинор, преобразуются при инверсии согласно е С ~ ' " ~ " ' -г [ — 1) ' Х ~ИЗ... Тд... [2) э ПРи 1 = й + 2 биспиноР эквивалентен непРиводимомУ 4-тензоРУ а1Р 1р ранга й+ 2, антисимметричному по индексам [ди) и симметричному по всем остальным индексам. Неприводимость этого тензора означает, что он дает нуль при упрощении по любой паре индексов и дает нуль при образовании дйального по любым трем индексам [т.
е. е~"" а1„1р — — О); последнее условие означает, что тевзор дает нуль при взятии циклической суммы по трем индексам . Ри и одному [любому) из остальных. При 1 = й + 4 биспинор эквивалентен неприводимому 4-тензору о~х„11,р1 ранга й + 4 со след1юшими свойствами: он антисимметричен по парам индексов [Лд] и [гр), симметричен по всем остальным, симметричен по отношению к перестановке пары [Лд) с парой [Рр), дает нуль при упрощении по любой паре индексов и дает нуль при образовании дуального по любой тройке индексов.
Вообще, при 1 = й+ 2п биспинор эквивалентен неприводимому 4-тензору ранга й+ 2п, антисиммстричпому по п парам индексов и симметричному по осчальным й индексам. 4-тензоры, антиснмметричиые по большему числу [тройкам, четверкам и т. д.) индексов, в этой классификации не появляются по очевидной причине: антисимметричпый тензор третьего ранга эквивалентен [дуален) псевдовектору, а антисимметричный тензор четвертого ранга сводится к скаляру [пропорционален единичному псевдотензору е " е); антисимметрия же гю еще болыпему числу индексов в 4-пространстве вообще невозможна. Фетыионы ГЛ. П1 3 20. 'Уравнение Дирака в спинорном представлении 22 Р =РВ =РΠ— Рг Р Р12 Рт + грю Р Р22 РО + Рг> 12 Р Р21 Рх 1РУ ~ (20. 1) Волновое уравнение представляет собой линейную дифференци- альную связь между компонентами спиноров, осуществляемую с помощью оператора Р„.
Требование релятивистской инвари- аптности фиксирует следующую систему уравнений: Ро г) = т~~, Р: ~о = пггу, (20.2) где гв —. размерная постоянная. Вводить в эти два уравнения различные постоянные т1 и т2 (или же изменить знак перед т) было бы бессмысленно, так как надлежащим переопределением ( или г) уравнения все равно могли бы быть приведены к прежнему виду. Исключим из уравнений (20.2) один из двух спиноров, подставив г) из второго уравнения в первое: Р ~г) = — Р~~Р..'г~ = гасо. гп Но согласно (18.4) Рогр = рзд", так что получаем 1р — т)гл=0, (20.3) откуда видно, что 1п .-. масса частицы.
Обратим внимание на то, что необходимость введения массы в волновое уравнение требует одновременного рассмотрения ') Трехмерный спинор первого ранга может «происходитьь также от 4-спиноров более высоких нечетных рмггов, которые в системе покоя становятся антисимметричными по одной или нескольким парам индексов. Такие варианты, однако, привели бы к уравнениям более высоких порядков (ср. примеч. на с.
52). Частица со спином 1,~~ описывается в своей системе покоя двухкомпонентной волновой функцией . 3-спинором. По своему ечетырехмерному происхождению» зто может быть как непунктирный, так и пунктирный 4-спинор. В описании частицы в произвольной системе отсчета участвуют оба таких 4-спинора, обозначим их посредством ~о и г) ') . Для свободной частицы единственным оператором, входящим в волновое уравнение, может быть (как уже указывалось в 2 10) лишь оператор 4-импульса Рд — — гдю В спинорных обозначениях етому 4-вектору соответствует операторный спинор Р, причем 1 20 УРАВНЕНИЕ ДИРАКА В ОПИНОРНОМ ПРЕДОТАВЛЕНИИ 97 двух спиноров (~~ и Л ): с помощью лишь одного из пих нельзя составить релятивистски инвариантное уравнение, которое содержало бы какой-либо размерный параметр.
Тем самым волновое уравнение автоматически оказывается инвариантным относительно пространственной инверсии, если определить преобразование волновой функции как Р:Г, — тгт10, т1 -+1~ . (20.4) Легко видеть, что при такой замене 1и одновременной замене р'"~ — т р ., очевидной из формул (20.1)) два уравнения (20.2) переходят друг в друга. Два спинора, переходящих друг в друга при инверсии, составляют четырехкомпонентную величину биспинор. Релятивистское волновое уравнение,изображаемое системой (20.2), называется дрависиисм Дирака (оно было установлено Дираком в 1928 г.).
Для дальнейшего исследования и применения этого уравнения рассмотрим различные формы, в которых опо может быть представлено. С помощью формулы (18.6) переписываем уравнения (20.2) в виде (рв + рот)т1 = ш(, (ро — рсг)~ = шт1. (20.5) Здесь символы ( и т1 обозначают двухкомпонентные величины. спиноры (первый — с верхними, а второй — с нижними индексами), а при умножении матриц О на любую двухкомпонентную величину 1" здесь и ниже всегда подразумевается умножение по обычному матричному правилу (сг7')о = Пои)Д.
(20.7) Запись 1 в виде веРтикального столбца 1Ат 21 отвечает томУ, что /1'1 '1 22 каждая строка в О перемножается со столбцом 2". Для удобства дальнейших ссылок выпишем здесь еще раз матрицы Паули О, = (1 0), ОУ вЂ” — (; 0 ), ст~ = (0 1) (20.8) и напомним их основные свойства; О,ОЬ + ОЬО,, = 21гв о,стЬ = ге,мп1 + 51Ь (20.9) (см. П1, 1 55).
4 Л. Д. Лаидау и В.М. Лиф1ииИ, том 1 1' Фкгмионы гл. 111 Напишем также волновое уравнение, которому удовлетворяет комплексно-сопряженная волновая функция, составленная из спипоров с' = (б'" «в*) 0" = М ~~) (20.10) Поскольку все операторы рр содержат множитель з, то р„* = — р„, При взятии комплексно-сопряженного от обеих сторон уравне- ний (20.5) надо также учесть, что в силу эрмитовости матриц сг(о.* = о.) (а1) = сг*д~~ —— Дево = (1*сг)о, и мы получаем уравнения в виде и'(ре + р<т) = — тс,'., С*(ре — рсг) = — гпг1*.
(20. 11) у' )-=уд Р (20. 12) Преобразование инверсии для ~*, г1* определяется как комплексно-сопряженное от преобразования (20.4): Р: Г -10.', 0. '— 1Г . (20.13) й 21. Симметричная форма уравнения Дирака Спинорная форма записи уравнения Дирака является наиболее естественной в том смысле, что она непосредственно выявляет его релятивистскую инвариантность.
Однако в применениях могут оказаться более удобными другие представления волнового уравнения, получающиеся путем другого выбора четырех независимых компонент волновой функции. Будем обозначать четырехкомпонентную волновую функцию символом ф (с компонентами гр;, г' = 1, 2, 3, 4). В спинорном представлении это есть биспинор: =© (21.1) Но с равным правом можно выбрать в качестве независимых компонент ф любые линейно независимые комбинации компонент спиноров б и 0 ') . Условимся при этом ограничивать до- ) Длв краткости будем говорить о четырехкомпонентной величине С как о биспиноре также и в неспинорных ее предсгавленивх. В этой форме записи условно подразумевается, что оператор рв действуют на функцию, стоящую слева от них.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
