В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(2б.за) Операция С, с помощью которой эта функция образуется из ф р ., называется зарядовым сопряжением волновой функции (Н. А. Кгатеге, 1937). Это понятие не ограничено, конечно, его применением к плоским волнам. Для всякой вообще функции ф существует «зарядово-сопряженпая» функция 120 гл. ш Фнгмионы фазового множителя. В дальнейшем мы выберем 0<; = 1, так что ~с=77 = — оу в о (26.5) В явном виде преобразование (26.6) для спинорного представле- ния С: ~ — + — йУ*, 0.— э — гб*,, (26.7а) или, что то же, С: б„— + -гц„', ца -+ -гб ".
(26.7б) Преобразование зарядового сопряжения для плоских волн ф~р легко произвести, воспользовавшись их явными выражениями (23.9) и матрицей Гс* в стандартном представлении; (26.8) Заметив, что о.во* = — оп.р, при определении ш~")' согласно (23.16) получим (26.9) Й1сй р —— ир, Ь'си р — — йр . Таким образом,. СФ „.=Ф„., (26.10) так что функции ф р фигурирующие в ф-операторах (25.1) вместе с операторами бри, действительно отвечают состояниям частицы с импульсом р и поляризацией о.
Мы видим также что электронные и позитронные состояния описываются одними и теми же функциями: Ф„'. =Ф„". =Ф~' 60 00 Это вполне естественно, так как функции фр несут в себе сведения лишь об импульсе и поляризации частицы. Аналоги шым образом можно рассмотреть операцию обращения времени. Изменение знака времени должно сопровождаться комплексным сопряжением волновой функции.
Для того чтобы получить в результате «обращенную по времени» волновую функцию (Ту') в том же представлении, что и исходная ф, надо Заметив также, что ф = ф*у~ = у~ф* = у~ф', можно записать действие оператора С в следующем виде; сю= '-Л= 'а* (26.6) 121 1 26 ЗАР5СДОВОЕ ООПРЯ5КЕНИЕ Гт=гу у у. (26.13) Таким образом, действие оператора Т дается формулой ТФ(1, ) = ' 3 1 ОФ( — 1, ) = 5 3 1Ф" ( — 1, ). (26.14) В явном виде это преобразование для спинорного представления г) — > гг) * Т: ~~ -+ — Ц'5 или Т: (о — «сг *, В стандартном представлении (26.15а) (26.15б) с5т = (Ое „) (26.16) ') Выбор фазового множителя в (26.13) связан с выбором в (26.6) соображениями, указанными ниже, в примеч.
на с. 124. егце произвести пад компонентами 5)5* (или 5)5) некоторое унитарное преобразование. Таким образом, аналогично (26.2) представим действие оператора Т на 5)5 в виде ТЯ15г) = Ют4( — 1,г), (26.11) где 1)т — унитарная матрица. Снова пишем уравнение Дирака, которому удовлетворяет 5)5: ( гу — + гауз — т) 1)5(1,г) = О, од дс и уравнение для уз: (гу — + 4 у'Чс + т) 5)5(1, г) = О.
Заменим в гсоследнсм уравнении 8 — + — 1 и умножим его слева на ( Г тат у — — 41)т утсес) 5)5( — 1, г) — т1)тс)5( — й г) = О. -о д дс Мы хотим, чтобы функция 1)тс)5( — 1,г) удовлетворяла тому же уравнению, что и с)5(г, г); ( ) 1'у — + г'у Ат) 1)тз)5( — 1, г) — тЮтс)5( — 1, г) = О.
од дс Сравнив оба уравнения, найдем, что матрица с5т должна удовлетворять условиям УУт'у = у 1Ут, 1Ут'у = — 'у~1т. (26.12) В спинорном и стандартном представлениях этим условиям удовлетворяет матрица ') 122 гл. ш Фвемионы Найдем результат воздействия на ф всех трех операций Р, Т и С. Для этого пишем последовательно: Тф(у,,г) = — ту у' ф*( — гог), РТф(2, г) = 1 у (Тф) = 'у 'у ')' ф ( — 2, — Г), СРТь)~(1, г) = у~( у~ у1 у~ф*)" = уьучу~'"у~ф( — 1, — г), или СРТЯ1,г) = гу~Ч)( — 2, — г).
(26.17) В спинорном представлении СРТ: (~ -+ — Ц~, 7)о — э муо, (26.18) в чем легко убедиться и прямо из правил преобразований (20.4), (26.7), (26.15) ') . Написанные вьппе выражения для матриц Гс и сут предполагали спинорное или стандартное представление ф. Выясним, наконец, какие из свойств этих выражений сохраняются для произвольного представления ф. Если ф подвергается унитарному преобразованию: Ф = У-УФ 'у = С"уУУ, ~ = ~ 'у = э)Г~= 417 ~, (26.19) 3 ) Запись СРТ предполагает действие операторов в порядке справа налево. Общий знак в (26.17), (26.18) зависит от этого порядка ввнду некоммутативности Т с С и Р (в их действии на 6испинор).
то в новом представлении (С~)' = УЛСР) = ЛУС~ = ии, ЯУУ) = СССО7. Сравнивая с определением матрицы 57~~7 в новом представлении (1Сф)' = сЯ ), находим сус = уууус177. (26.20) Преобразование (26.20) совпадает с преобразованием матриц у лишь для вещественных су. Поэтому и выражение (26.5) справедливо лишь в представлениях, получающихся из спинорного или стандартного вещественным преобразованием. Матрица (26.5) унитарна, а транспонирование меняет се знак: УУСсуС = 1; 17С = — СУС (26.21) Эти свойства инвариантны относительно преобразования (26.20), а следовательно, имеют место в любом представлении.
Матрица (26.5) также и эрмитова (сУс = ГУс), ио это свойство в общем случае нарушается преобразованием (26.20). 123 1 27 ВНУТРЕННЯЯ СИММЕТРИЯ ЧАСТИЦ И АНТИЧАСТИЦ Все сказанное (в том числе (26.21)) относится и к свойствам матрицы 1ут В аппарате вторичного квантования преобразования С, Р, Т для ф-операторов должны быть сформулированы как правила преобразований операторов рождения и уничтожения частиц.
Эти правила можно установить (подобно тому, как это было сделано в 3 13 для частиц со спипом О), исходя из требования, чтобы преобразованные 7)!-операторы могли быть представлены в виде ф (г,г) = б7г7ф(1,г)! ф (г!г) = гу ф(1, — г), (26.22) !д (г,г) = Гт!д( — 1,г). Задача Найти оператор зарядового сопряжение в представлении Майораны (см. задачу 2, з 21), Р е ш е и и е. Матрица Н в представлении Меиораны получается из матрицы Нс = — о„в стандартном представлении преобразованием (2б.20) с Г = (о„+Д!!У72 и равна Гс, = од (о„и,й обозначают матрицы стандартного представления).
Обозначая штрихом величины в представлении Майораны, имеем С6' = Гс1!Г'*д'), и ооскол! ку д' = с!„, то С!н = оубд*оэ) = орое!)~" = !! *, т, е. зарядовое сопряжение эквивалентно комплексному сопряжению. 3 27. Внутренняя симметрия частиц и античастиц Воляовая функция частицы со спином !72 в ее системе покоя сводится к одному 3-спинору (обо!значим его через Ф"). С поведением этого спипора при инверсии связано понятие о внутренней четности частицы. Однако (как было уже указано в 2 19)! хотя два возможных закона преобразования 3-спиноров (Фо -+ жгФо) и не эквивалентны друг другу, но приписывание спинору определенной четности це имеет абсолютного смысла.
Не имеет поэтому смысла говорить и о внутренней четности самой по себе частицы со спином 1,!2. Можно, однако, говорить об относительной внутренней четности двух таких частиц. Из двух (трехмерных) спиноров ФО) и Ф!2) можно составить !1) г! ж~~ыр Ф~. Ф~2), Если это ~стюп~ый с~ ч р, о г~~ор~т, что описываемые данными спинорами частицы имеют одинаковую четность, :если же это --псевдоскаляр, то говорят о противоположной внутренней четности частиц. Покажем,что внутренние четности частицы и античастицы (со спином 1)2) противоположны (В. Рл Бересп!ецкийз 1948).
124 Фнгмионы гл. пэ Для этого заметим, что если к обеим сторонам Р-преобразования (19.5) (в спинорном представлении) Р: С вЂ” э $7)б, г)о -+ г( (27.1) применить операцию С (26.7), то получим бэ где индексом с отмечены компоненты биспинора фс = (с,) Лв зарядово-сопряженного биспинору г)) = (с) .
Прои:зведя комплексное сопряжение и переместив индексы, найдем Р: г)' — э э,С'", Сс -+ гг)'. (27.2) Мы видим, что зарядово-сопряженные биспиноры преобразуются при инверсии по одинаковому закону. Пусть г)э~э) волновая функция частицы (электрона), а г)гп) волновая функция античастицы (позитрона). Последняя есть биспинор,:зарядово-сопряженный некоторому «отрицательно-частотному» репи.нию уравнения Дирака. В системе покоя каждая из них сводится к некоторому 3-спинору; ~(э)о )з) Ф(э)о «(п)о (и) Ф(п)о о — цо Согласно (27.1), (27.2) эти спиноры преобразуются при инверсии Ф э4Ф, (27.3) одинаковому для Ф® и Ф~п). Произведение жс Ф~э)фбэ) меняет знак, что и доказывает сделанное утверждение.
Истинно нейтральной называют частицу, совпадающую со своей античастицей (см. 2 12), ф-оператор поля таких частиц удовлетворяет условию уэ1г,г) = э)э (2,г). Для частиц со спипом ',~2 это означает условия (в спинорном представлении) ') ( =-47) ', ц.= — )~(~. (27.4) Как и всякие соотношения, выражающие собой какие-либо физические свойства, эти условия инвариантны относительно преобразования СРТ э) . Легко проверить, что фактически они инвариантны не только по отношению к СРТ, но и по отношению к каждому из трех преобразований в отдельности. ) В представлении же Майораны истинная нейтральность означает просго эриитовосгь оператора СУ (см. задачу к З 26). 2 ) Точнее, преобразование СРТ должно быть определено в данном случае так, чтобы оставлять инвариантными соотношения типа (27.4). Это достигнуто соответствующим выбором фазового множителя в оэгределении матрицы 77т (см.
примеч. на с. 12Ц. 125 8 28 ВНУТРЕННЯЯ СИММЕТРИЯ ЧАСТИЦ И АНТИЧАС'ТИЦ Мы условились в 3 19 определять инверсию спиноров как преобразование, для которого Р = — 1, и до сих пор следовали это- 2 му определению. Легко видеть, что полученный выше результат об относительной четности частиц и античастиц не зависит,как и должно быть, от способа определения инверсии. Если инверсия определена условием Р2 = 1, то вместо (27.1) будет (27.5) Р: ( -+ ца, з)А — «С Зарядово-сопряженная же функция преобразуется при этом по закону ~со 1 те з)с 1 ~со отличающемуся от (27.5) знаком. Соответственно этому трехмер- ные гпиноры Ф будут преобрязонываться сонласно ф(э)о 1 Ф(э)о ф(п)о 1 Ф(п)о так что произведение Ф1э)Ф1") будет по-прежнему псевдоскаляром. Единственное возможное различие в физических следствиях обеих концепций инверсии состоит в том, что при определении (27.5) условие истинной нейтральности поля не было бы инвариантным относительно этого преобразования (или преобразования СР): оно меняло бы относительный знак обеих сторон равенств (27.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
