В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Поэтому учет различных взаимодействии такой частицы автоматически привел бы к появлению хотя и малой, но все же не равной строго нулю массы покоя. й 31. Волновое уравнение для частицы со спином ~~а Частица со спином з,~з описывается в своей системе покоя симметричным 3-спинором третьего ранга (с 2в+ 1 = 4 независимыми компонентами). Соответственно в произвольной системе отсчета в ее описании могут участвовать 4-спиноры бФрл, 4ад и , каждый из которых симметричен по всем одинаковым (пунктирным или непунктирным) индексам; при инверсии спиноры в первой и во второй паре переходят друг в друга. Для того чтобы в системе покоя 4-спиноры (~да и 11 и переходили в З-спиноры, симметричные по всем трем индексам, они должны удовлетворять условиям р"ц,,=Ю, р.з~'"Р =б.
(31.1) Действительно, в системе покоя р л -» робд = п»6~ (как это видно из (20.1)). Поэтому условия (31.1) приводят к равенствам д" 11'"з —— О, бд~' д — — О, где буквы со штрихом обозначают соответствующие 3-спиноры; другими словами, эти спипоры дают нуль при упрощении по ин- ВОлнОВОе уРАВнение для частицы ОО спинОм мл 141 1зл дексам ОЛл, а это и означает, что опи симметричны по этим индексам, а потому и по всем трем индексалл. Дифференциальная связь между спинорами С и г) устанавливается соотношениями рлтбд' = тл), л~ лл ~дл (31.2) Симметричность левых сторон этих уравнений (по индексам )з, ф или о, б) обеспечивается условиями (31.1), в силу которых они обращаются в нуль при упрощении по всем индексам. В системе покоя 3-спиноры ~' и П в силу уравнений (31.2) совпадают.
Исключив из уравнений (31.2) г) или Сл найделл, что каждая ллз компонент спиноров С и г) удовлетворяет уравнению второго по- рядка (ра — та)(аот 9 (31.3) Совокупность уравнений (31.1), (31.2) составляет полную систему волновых уравнений для частицы со спином З,а ') . Добавление спиноров ~, у не привело бы ни к чему новому. Они стролггся согласно Уравнения частиц со спипом з/з могут быть сформулированы также и в ином виде, в котором используются векторные аспекты свойств сшлноров (И'. Яаг»1а, Х ЯЕЬ»олпдег, 1941; А.
С. Давыдов, И. Е. Тамм, 1942). Паре спинорных индексов е«Лз сопоставляется один четырехмерный векторный индекс р. Поэтохлу компонентам спинора третьего ранга Со~у можно привести в соответствие компоненты «смешанных» величин л)лй с одним векторным и одним спинорным индексом. Аналогично, спинору г)Лат ставятся в соответствие величины лрю а совокупности обоих спиноров т «векторный» биспинор ули (биспинорный индекс не выписываем). Волновое уравнение запишется тогда в виде «уравнсния Дирака» для каждой из векторных компонент л)ли. (-у — лтл)4„= 0 (31.4) ') О лагранжевой формулировке этих уравнений см.
указанную на с. 76 статью ФирчЛ« и Паули. с дополнительным условием у ~и =9. (31.5) Используя выражения для матриц уи в спинорном представлении и формулы связи между компонентами спинора и вектора 142 гл. ш Фвгмионы (18.6), (18.7), легко убедиться в том, что уравнения (31.2) содержатся в (31.4),. а условие (31.5) эквивалентно условию симметричности спиноров ~~ай и «1а~т по индексам ~37 или р7. Умножив уравнение (31.4) на у", получим ввиду (31.5) 7Р7Р ФР=О или, воспользовавшись правилами коммутации матриц 7", 28 р,фл — 7'р 7лфи = О. (31.6) Второй член снова обращается в нуль в силу (31.5), а первый дает р ~„=О.
(31.7) Легко видеть, что это условие, автоматически следующее из (31А), (31.5), эквивалентно условиям (31.1). Наконец, .еще один способ формулировки волнового уравнения состоит во введении величин ф,ы (1, й, 1 = 1, 2, 3, 4) с тремя биспинорными индексами, по которым 4,ы симметричны (Г Вагугпапп, Е. Р. Кьупег, 1948). Совокупность этих величин эквивалентна совокупности компонент всех четырех спиноров С, ц, ~, т. Волновое уравнение записывается в виде системы «уравненггй Дирака» Рл7;, Ф и = гпФ2ы. (31.8) Легко видеть, что эти уравнения уже приводят к нужному числу (четыре) независимых компонент ф,ы, и постановка дополнительных условий нс требуется. Действительно, в системе покоя (31.8) сводятся к равенствам о 7; г' ы=«йы в силу которых обращаются в нуль (в стандартном представ.ленин) все компоненты с г, Й, 1 = 3, 4, т. е.
ф,ы сводятся к компонентам 3-спинора третьего ранга. Изложенные результаты очевидным образом обобщаются для частиц с любым полуцелым спином в. При описании уравнениями вида (31А), (31.5) волновая функция будет симметричным 4-тензором ранга (2в — 1)/2 с одним биспинорным индексом. При описании же уравнениями вида (31.8) волновая функция будет иметь 2в биспинорных индексов, по которым она симметрична. ГЛАВА Г х1АСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ й 32. эгравнение дирака для электрона во внешнем поле Волновые уравнения свободных частиц по существу выра>кают собой лишь те свойства, которые связаны с общими требованиями пространственно-временной симметрии.
Происходящие же с частицами физические процессы зависят от свойств их взаимодействий. Описание электромагнитных взаимодействий частиц в релятивистской квантовой теории оказывается возможным путем обобщения способа, применяемого для этой цели в классической и нерслятивистской квантовой теориях.
Этот метод, однако, применим для описания электромагнитных взаимодействий лишь частиц, не способных к сильным взаимодействиям. Сюда относятся электроны (и позитроны) и, таким образом, для существующей теории оказывается доступной вся огромная область квантовой электродинамики электронов. Не способны к сильным взаимодействиям также и нестабильные частицы мюовы; опи описываются той же квантовой электро- динамикой в области явлений., происходящих за времена, малые по сравнению с продолжительностью их жизни (связанной со слабыми взаимодействиями).
В этой главе мы рассмотрим круг задач квантовой электродинамики, ограниченный рамками теории одной частицы. Это задачи, в которых число частиц пе меняется, а взаимодействие может быть введено при помощи понятия внешнего электромагнитного поля. Помимо условий, позволяющих рассматривать внешнее поле как заданное, пределы применимости такой теории ограничены также условиями, связанными с так называемыми радиационнылпл поправками. Волновое уравнение электрона в заданном внепшем поле можно получйгь так же, как это делается в нерелятивистской теории (см. П1, ~ 111). Пусть Ал = (Ф, А) 4-потенциал внешнего электромагнитного поля (А -- векторный, Ф -- скалярный потенциалы). Мы получим искомое уравнение, заменив в уравнении Дирака оператор 4-импульса р разностью р — ел, где е члатицл во внвшнвм полк Гл.
»~ заряд частицы '): [у(р — еА) — т]ф = О. (32.1) Соответствующий этому уравнению гамильтониан получается путем такой же замены из (21.13); Й = сг(р — еА) + [от+ еф. (32.2) Инвариантность уравнения Дирака при калибровочном преобразовании потенциалов электромагнитного поля выражается в том, что его вид остается неизменным, если одновременно с преобразованием А — э А+ зрт (где т произвольная функция) преобразовать волновую функцию согласно ') 1 1»)эе"х (32.3) (ср. аналогичное преобразование для уравнения Шредингера в т.
Ш, 3 111). Плотность тока, выраженная через волновую функцию, дается той же формулой (21.11) у = ф уф, что и в отсутствие внешнего поля. Легко видеть, что при повторении с уравнением (32.1) (и написанным ниже уравнением (32.4)) тех же выкладок, которые были произведены при выводе (21.11), внешнее поле выпадает, и уравнение непрерывности оказывается справедливым для прежнего выражения тока. Произведем над уравнением (32.1) операцию зарядового сопряжения. Для этого пишем уравнение ф[у(р + еА) + т] = О, (32.4) которое получается комплексным сопряжением из (32.1) так же, как было получено в свое время уравнение (21.9) (при этом надо помнить,что 4-вектор А веществен).
Переписав это уравнение в виде [у(р + еА) + т]у) = О, умножив его слева на матрицу с1С и воспользовавшись соотношениями (26.3), найдем [у(р+ еА) — т](С»р) = О. (32 5) Таким образом, зарядово-сопряженная волновая функция удовлетворяет уравнению, отличающемуся от исходного измене- 1 ) Подразумевается заряд вместе со своим знаком, так что для электрона е = — [е[. ) Преобразование (32.3) с функцией Х(й г) иногда называют ялокальным калибровочным преобразованием» в отличие от «глобального калибровочного преобразования» (123 0) с постоянной фазой сс УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЬ 145 1 за (Рд — ЕАВКРи — еАи) — Э вЂ” ЯРИ вЂ” ЕАИ) (Ри — ЕАи))- = — Е( — АИРР + Р Ан — Р,АР + АРРР) = 2 1.
1« «е(диАВ длАР) = ТРии 2 2 (У;„= д„А, — диАИ -- тензор электромагнитного поля). В результате получим уравнение второго порядка в виде [ (р — еА) — гп — — егп <т'" ] ф = О. (32.6) 2 Произведение глин"' можно записать в трехмерном виде, выразив его через компоненты Ии ~ Е) 1РВи ~ Е Н) Тогда [(р — еА) — пт'+ ЕЕН вЂ” геоЕ)ф = О, или, в обычных единицах, (32.7) ~( — — — — Ф) — (гб~+ — А) — гп~с + + е ЕН вЂ” 1 — ''с«Е1ф = О. (32.7а) с с Появление в этих уравнениях членов, содержащих поля Е и Н, связано с наличием у частицы спина; мы вернемся к их обсуждению в следующем параграфе. Среди решений уравнения второго порядка имеются, конечно, также и «лишние», не удовлетворяющие исходному уравнению первого порядка (32.1) (они представляют собой решения нием знака заряда. С другой стороны, опера,ция зарядового сопряжения означает переход от частиц к античастицам.
Мы видим, что если частицы обладают электрическим зарядом, то знаки заряда электрона и позитрона автоматически оказываются противоположными. Уравнение первого порядка (32.1) может быть преобразовано в уравнение второго порядка путем применения к (32.1) оператора у(р — еА) + ни [;уи'у~ Я вЂ” ЕАВИри еАи) — тп)ф = О. Произведение у" 7~ заменяем на 2 2 где и' - аптисимметричный «матричный 4-тензор» (28.2). При умножении на Оли можно произвести аптисимметризацию, т.
е. заменить 146 чистицл во ввкшнкм полк Гл. ш уравнения (32.1) с измененным знаком перед пб). Отбор нужных решений в конкретных случаях обычно очевиден и не нредпшвляет тру.да. Регулярный метод отбора состоит в том, что если бд есть произвольное решение уравнения второго порядка, то решение правильного уравнения первого порядка есть б)б = [у(р — еА) + бп)бд.
(32.8) б)б = ~б (а„ф~~к~ ехр( — 1к~+~1) + 6~~ ф~~ ~ ехр(Ы~~ ~б)), п баЯ„' ехР(гк„~~ б) + бибб„ехР ( — Ы~ 11) ) . (32.9) При этом надо иметь в виду, что по мере углу.бления потенциальной ямы уровни энергии могут перейти границу к = О, т. е. из Действительно, умножая это равенство на у(р — еА) — т, мы видим, что правая часть обращается в нуль, если бд удовлетворяет уравнению (32.6). Следует подчеркнуть., что способ введения внешнего поля в релятивистское волновое уравнение путем замены р на р — еА пе самоочевиден. В его проведении мы по существу опирались на дополнительный принпип; указанная замена должна производиться в уравнениях первого порядка. Имепво в результате этого в уравнении (32.6) появились дополнительные члены, которые не возникли бы, если бы замена была произведена непосредственно в уравнении второго порядка. Среди стационарных решений уравнения Дирака во внешнем поле могут иметься состояния как непрерывного, так и дискретного спектра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
