В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Далее, радиальная зависимость у и т будет определяться теми же функциями ЕЕр~ и Л„~ (со значениями 1 и 1', отвечающими порядку входящих в й ьл шаровых функций). Это ясно из того, что каждая из компонент 1л удовлетворяет уравнению второго порядка (р~ — тв)~~ = О, которое при заданном значении ~р~ имеет вид Пз 1 24 СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Таким образом, 7)2 АВр)112ы2 Х В22ррйрк7В (24.6) и остается определить постоянные коэффициенты А и В. Для этого исследуем удаленную область, в которой сферическую волну можно рассматривать как плоскую. Согласно асимптотической формуле (33.12) (см. П1) Я вЂ” — .')" ) —.
4 )) )2 ° .7) 2Г так что )р представляет собой разность двух плоских волн, распространяющихся в направлениях ~п (и = гЯ. Для каждой из них имеем согласно (23.8) х= ' (+ )д Из сказанного выше (формулы (24.6)) ясно, что (па)й )т = ай22 „„где а постоянная. Эту постоянную легко оиределить7 сравнив значения обеих сторон равенства при ш = 4))2 и направлении п вдоль оси е. Использовав (7.2а), найдем (псг)йч = 44 )й ) (24.8) Собрав написанные формулы и сравнив с (24.6), получим В= — и А.
е -)- т Наконец, коэффициент А определяется общей нормировкой 7)). Нормируя 7)7 условием т у Ф* т 4 13* = 2 д у дую д( — р') (24.9) находим окончательно (,ус+ ~пйр) й )т 17 . ( ) 272Е 2, 27Е П).Крр й227т Таким образом, при заданных значениях ~' и т (и энергии е) существует два состояния, различающихся своей четностью. Последняя однозначно определяется числом 1, принимающим значения у ~ 1,)2) при инверсии биспипор (24.10) умножается па 4( — 1) .
Компоненты этого биспинора, однако, содержат шаровые функции обоих порядков 1 и /', в чем выражается отсутствие определенного значения орбитального момента. При 7 — ~ ОО в каждом пеболыпом участке пространства сферические волны (24.7) можно рассматривать как плоские с импульсом р = ~:рп. Поэтому ясно, что волновые функции в импульсном представлении отличаются от (24.10) в основном лишь 115 связь спина со статистикой 2 25. Связь спина со статистикой (25.3) ) Те и другие функции отвечаЮт также одинаковым значениям о проекции спина в системе покоя: для функций АУ „зто будет показано в б 26— см. 126.10). Вторичное квантование поля частиц со свином 1У2 1спинорного поля) производится таким же образом, как это было сделано в 2 11 для скалярного поля.
Не повторяя заново всех рассуждений, напишем сразу выражения для операторов поля, вполне аналогичные формулам — грт -~- гря 1 (ар ир,е '+Ьр и р е лУ2« Л гУг ив э фе У ='2 (а" ир„е'Р*+Ьр„и р,е гп~л); лУ2я ' ра суылаирование производится по всем значениям импульса р и по с = ж 1,12. ОпеРатоРы Уничтоженил античастиц Ьр«1квк и опеРаторы уничтожения частиц ар ) стоят в виде коэффициентов при функциях, которые по своей координатной зависимости (егрг) соответствуют состоянию с импульсом р ') .
Для вычисления гамильтониана спинорного поля нет необходимости в определении его тепзора энергии-импульса (как мы это делали для скалярного поля), поскольку в этом случае существует гамильтониан частицы, с помощью которого может быть записано волновое уравнение (уравнение Дирака) 121.12). Средняя энергия частицы в состоянии с волновой функцией гуг есть интеграл з ь гуг*Йг)г«1а и = 1 гуг* — ' ел~и = л фу~ — с1зкз (25.2) д, / д, Обратим внимание па то, что «плотность энергиия 1подынтегральное выражение) не является здесь положительно определенной величиной. Заменяя в (25.2) функции гуг и гуг на гр-операторы, учитывая взаимную ортогональность волновых функций с различными р или а, а также соотношение и«ге у итре — — 26 для волновых ам— а плитуд, получаем гамильтониан поля в виде Й=2 е(ар ар — Ьр Ьр ).
ро Отсюда видно., что в данном случае квантование должно производиться по Фе1ил«и: Сар„а«,), =1, (Ь„,Ь«.~, =1, 125.4) 116 Фэгмионы гл. ш а все другие пары операторов а,, а, б, б~ антикоммутативны (см. П1, 3 65). Действительно, гамильтониан (25.3) переписывается тогда в виде Н=~ е(ар„ар„+бр„бр. — 1), рк и собственные значения энергии (как всегда, за вычетом бесконечной аддитивной постоянной): Е =,» е(А~р. +~~'р.), (25.5) р!! т.
е. оказываются, как и следовало, положительно определенными. При квантовании же по Бозе мы получили бы из (25.3) бессмысленные не положительно определенные собственные значепи»! е(Агр — Хр ) Аналогичное (25.5) выражение Р , ''р(А,. +А,.) (25.6) р!7 собственных значений опе- получается и для импульса системы ратора ) ф»ру»!1 л, Оператор 4-тока У' = Ф у"Ф, (25.7) и для оператора «заряда» поля получаем 0=)»!4!в* =у»фа,.! Ь»' ! =Х »!' а,.— »,".»,.-!!», рк рО (25.8) сто собственные значения 0 = ~(л~,.
— У,.) (25.9) ра Таким образом, мы снова приходим к представлению о частицах и античастицах, к которьж! относится все сказанное по их поводу в 3 11. Но в то время как частицы со спипом 0 являются бозо~ами, частицы со свином »!»г оказываются фсрмионами. Коли проследить за формальным происхождением этого различия, то мы увидим, что оно возникает в связи с разницей в характере выражений ~плотности энергии» для скалярного и спинорного полей.
В первом случае это выражение оказывается положительно определенным, в результате чего в гамильтониан (11.3) оба члена 117 связь спина со статистикой (а«а и ЬЬ «) входят со знаком плюс. Для обеспечения положительности собственных значений энергии замена ЬЬ « на ЬеЬ должна происходить при этом без изменения знака, т. е. по правилу коммутации Бозе. В случае же спинорного поля «плотность энергии» не является положительно определенной величиной, в результате чего в гамильтопиане (25.3) член ЬЬ « оказывается со знаком минус, и для получения положительных собственных значений замена ЬЬ«на Ь+Ь должна сопровождаться изменением знака., т.
е. происходить по правилу коммутации Ферми. С другой стороны, вид плотности энергии непосредственно связан с трансформационными свойствами волновой функции и с требованиями релятивистской инвариантности. В этом смысле можно сказать, что и связь спина со статистикой, которой подчиняются частицы, тоже является прямым следствием этих требований. Из того факта, что частицы со спином»,1г являются фермионами, следует также общее утверждение; все частицы с полуцелым олином являются фермионами, а частицы с целым спином .. бозонами (в том числе доказанное в 9 11 утверждение для частицы со спином О) ') . Это становится очевидным, если заметить, что частицу со спипом л можно представить себе «составлепнойэ из 2з частиц со спином ~/з.
При полу целом з число 2з нечетно, а при целом з четно. Между тем «сложная» частица, содержащая четное число фермиопов, является бозоном, а содержащая нечетное число фермионов фер«иионом а) . Если система состоит из частиц разного рода, то для каждого рода частиц должны быть введены свои операторы рождения и уничтожения. При этом операторы, относящиеся к различным бозонам или же к бозонам и фермионам, коммутируют друг с другом, т1то жс касается операторов, относящихся к различным фермиоцам, то в пределах нерелятивистской теории их можно было считать либо коммутирующими, либо антикоммутирующими (П1, 9 65).
В релятивистской же теории, допускающей взаимные превращения частиц, следует считать операторы рождения и уничтожения различных фермионов антикоммутирующими, так 1 ) Происхождение связи лгежду спином частицы и статистикой, которой она подчиняется, было выяснено Паули ( И'. Роий, 1940). ) В этих рассуждениях подразумевается, что все частицы с одинаковым свином должны подчиняться одной статистике (вне зависимости от способа их «составления»).
Что это действительно так, видно из аналогичных расгуждений. Так, если бы существовали фермионы со спицолг О, то из фермиона со спином 0 и фермиона со спином ',~~ можно было бы составить частицу со спином '/е, которая была бы бозоном -- в противоречии с общим доказанным для спина ч7» резулыатом. 118 гл. гп Фвгмионы же как и операторы, относящиеся к различным состояниям од- них и тех жс фермионов. Задача Найти лагранжиан спинорного поля.
Р е ш е н и е. Функция Лагранжа, отвечающая уравнению Дирака, дается вещественным скалярным выражением б = — (ф.теО„ЭУ вЂ” Оезб т'ЬУ) — Ечр (1) 2 Понимая под «обобщенными координатами» о компоненты й и ф, легко убедиться в том, что соответствующие уравнения Лагранжа (10.10) совпадают с уравнениями Дирака для т и рс Общий знак лагранжиана (как и общий коэффипиент в нем) в данном случае условен. Поскольку Ь содержит производные от т и о линейно, действие 5 = 1 А и х все равно не может иметь ни минимума, ни максимума. Условие е5 = 0 определяет в этом случае лишь стационарную точку, но не экстремум интеграла Лагранжиан спинорного поля получается заменой в (1) О оператором уь Применив к этому лагранжиану формулу (12.12), получим оператор тока (25.7).
8 26. Зарядовое сопряжение и обращение спиноров по времени Множители Ч), = ир е '"'", стоящие в (25.1) при операторах аро, представляют собой волновые функции свободных частиц (будем говорить «электроновэ) с импульсами р и поляризациями и: з)зря три. (э) Множители же г)у „при операторах бр надо рассматривать как волновые функции позитронов с теми же р, о. При этом, однако., окажется, что электронные и позитронные функции выражены в различных биспинорных представлениях. Это ясно из того, что г)У и у1 различны по своим трансформационным свойствам и их компоненты удовлетворяют различным системам уравнений.
Для устранения этого недостатка надо произвести определенное унитарное преобразование комгюнент у) „такое, чтобы новая четырехкогнпонентпая функция удовлетворяла тому же уравнению, что и г))ро ') . Именно такую функцию мы и будем называть волновой функцией гюзитрона (с импульсом р и поляризацией и). Обозначив матрицу требуемого унитарного ') Для частиц со олином 0 этот вопрос вообще не возникал, так как скалярные функции ф и а* удовлетворяют одному.
и тому >ко уравнению, и уС„ просто совпадает с Ер. 1 26 ЗАРядовов сопР5!жение преобразования уус, напишем Фр = СФ вЂ” р— (и) 17 (26. Ц (26.2) Сф(1,г) = уусф(2,г), преобразующаяся, как ч2, и удовлетворяющая тому же уравнению. Свойства матрицы 77с следуют из этого определения. Если ф — решение уравнения Дирака ( ур — т))2 = О,. то ВУ удовлетворяет уравнению Ц-р + т) = О, или ( ур+ тпрр = О. Умножив это уравнение слева на Гс. У-УСубФ+ тпс2сФ = О потребуем., чтобы функция 17Я удовлетворяла тому же уравнению, что и уу: ( ур — пт)77сф = О.
Сравнив оба уравнения, найдем следующее «соотношение коммутации» между «ус и матрицами уд '): ос'у~ = — 'у~Ос. (26.3) Будем предполагать далее, что волновыс функции заданы в спинорном или стандартном представлении (к общему случаю произвольного представления мы вернемся лишь в конце этого параграфа). В этих представлениях 0,2 -0,2 ьэ — ОЗ (26.4) Тогда условиям (26.3) удовлетворяет матрица 77с = йс у2 уе с произвольной постоянной »ус. Из требования С2 = 1 следует, что ~йс ~2 = 1, так что матрица Гс определена с точностью до ) Отметим также <ледуюгдее отсюда равенство: ууо'у' = 'у Гс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
