В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 26
Текст из файла (страница 26)
1 х 1 (29.19) поляр 2 и с помощью выражений матриц у (21.20) и (22.18) находим ( 0 О) ' Р"9 т( +~ь) (нули обозначают двухрядные нулевые матрицы). Если принять обычную в нерслятивистской теории нормировку матрицы плотности на 1 (Яр рнр — — 1) вместо нормировки на 2т, то это выражение надо будет разделить на 2т, так что в согласии с формулой (59.6) (см. П1) получится -(1 + ст~). Аналогичным образом нерелятивистский предел позитрон- НОЙ матрицы плОтвости: р„р — — — т(1+ п~). Наконец, напишем упрощенное выражение матрицы плотности в ультрарелятивистском случае. Положив в (29.8) ]р] е (тем самым мы пренебрегаем величинами относительной малости (гп,УС)2), подставив эти выражения в (29.13) или (29.16) и выбрав направление р в качестве оси л, запишем р = -(е(у — у') ~ т] [1 — у' ( — (у —.у )~~ — ~„3'т)~, где верхний знак относится к случаю электрона, а нижний.
к случаю позитрона. При раскрытии произведения главные члены в нем вьшадают, а члены следующего порядка дают р = -е(з — у ) [1+ у (~~~~ + ~, .у, )] Если речь идет не об усреднении, а о суммировании по спиновым состояниям результат в два раза болыпе. Проследим, каким образом матрица плотности (29.13) переходит в пределе в свое нерелятивистское выражение. Для этого перейдем к системе покоя электрона. В стандартном представлении волновых функций амплитуды ир в этой системе становятся двухкомпонентными; вместе с ними должна стать двухрядной матрица плотности. Действительно, в системе покоя имеем 136 Фвемионы гл. ш 3 30. Двухкомпонентные фермионы Мы видели в 2 20, что необходимость описания частицы со спином 1/2 двумя спинорами (С и и) связана с массой частицы. Эта причина отпадает, если масса равна нулю.
Волновое уравнение, описывающее такую частицу, может быть составлено с помощью всего одного, скажем пунктирного, спинора и: (30.1) или, что то же, (ро+ ро')0 = О. (30.2) В 3 20 было также отмечено, что волновое уравнение, содержащее массу т, автоматически оказывается симметричным по отношению к инверсии (преобразование (20.4)).
При описании же частицы одним спинором эта симметрия теряется. В ней, однако, пет необходимости, поскольку симметрия по отношению к инверсии не является универсальным свойством природы. Энергия и импульс частицы с гп = 0 связаны соотношением е = ~р~. Поэтому для плоской волны (т)р сх е '"') уравнение (30.2) дает (30.3) (п~т) пр — — — и„, где п - - орт вектора р.
Такое же уравнение (по)п „= — и „ (30.4) или, при записи е( у — у ) в виде ур: Р = — (УР)(1+ Ув(Ц~~ + ~т Ут)). (29.21) Это и есть искомое выражение матрицы плотности в ультра- релятивистском случае. Обратим внимание на то, что все компоненты вектора поляризации ~ входят в него равноправно как члены одного порядка величины. Напомним, что ~ ~ есть компонента этого вектора, параллельная (при Ч ) О) или антипараллельная (~~~ ( О) импульсу частицы.
В частности, для спирального состояния частицы ~~ = 2Л = ~1; при этом матрица плотности принимает особенно простой вид: р = -( ур) (1 х 2Л у'), (29.22) 2 совпадающий, как и должно быть, с видом матрицы плотности нейтрино или антинейтрино —. частицы с нулевой массой и определенной спиральностью (см. 3 30). 137 ~за двухкоыпонннтныв Фкгмионы имеет место и для волны с «отрицательной частотойэ (т) р сг сс е'р*).
Вторично квантованный гр-оператор: г) = ~~(г)рар + г) ~ь) 7)г ~~~ (г) а~~ +'П Ър). (30.5) р и Отсюда, как обычно, следует, что г)*р--. волновые функции античастицы. Из определения операторов род (20Л) видно, что р л* = = — р"~. Поэтому комплексно-сопряженный спинор г)* удовлетворяет уравнению р" г)' = О, или, что то же, ра,П'* = 0. Обозначим г)д* = бд, выразглв этим тот факт, что комплексное сопряжение превращает пунктирный спинор в непунктирный. Таким образом, волновые функции античастицы удовлетворяют уравнению (30.6) Радб = О, или (30.?) (ра — ргт)4 = О. Для плоской волны имеем отсюда (пег)ср — — ср.
(30.8) но 1гя (пег) есть оператор проекции спина на направление движения. Поэтому уравнения (30.3) и (30.8) означают, что состояния частицы с определенным импульсом автоматически оказываются спиральными -. проекция спина вдаль направления движения имеет в них определенное значение. При этом, если спин частицы противоположен импульсу (спиральность — 1,2), то спин античастицы направлен вдоль импульса (спиральпость + 1,г2).
Частицами с такими свойствами являются, возможно, существующие в природе нейгприно. При этом частицу со спираль- наетьЮ вЂ” 'гя УСлавнО пРинЯтО наЗывать нЕйтРинО, а чаСтиЦУ СО спиральностью + 1,г2 -- антипейтрино ) . ') Существование нейтрино было предсказано теоретически Паули для обьяснення свойств Д-распада (1931). Уравнение (30.1) впервые рвссмвтрнввлось Вейлем (Н. И'еу1, 1929). Основанную на этих уравнениях теорию нейтрино сформулировали Л. Д.
Линдау; Ли, Янг н Салим (Т. Р. Бее, С. гу. Уопд, А, Ьа1ат) в 1957 г. Экспериментально вопрос о равенстве нулю массы нейтрино до настоящего времени не выяснен окончательно. В дальнейшем мы будем употреблять термин «нейтрнно» условно для обозначения частицы, описываемой уравненнем (30.3). 138 Гл. гп Фермионы Легко проверить, что в силу уравнений (Ро+ Рсг)гг = О, г1 (Ро — Ро) = 0 имеет место УРавнение непРеРывности дглйй = О, т. гь 2Р игРает роль 4-вектора плотности тока частиц. Плоские волны нейтрино удобно нормировать способом,. аналогичным тому, как это было сделано в 8 23 для частиц с массой: — лрк Г лрх г1р — — ире ', гг р — — и ре' ', и2г ~2я (30.10) причем спинорные амплитуды нормированы инвариантным усло- Вием глиэр(1, гг)и-гр — — 2(е, р).
(30.11) Прн этом гглотность частиц и плотность их тока: у~ = 1, 3 = =р е=п. оскольку свободное нейтрино с заданным импульсом всегда полностью поляризовано, в этом случае не существует гюнятия о смешанном (гго спину) состоянии. Тем не менее может оказаться удобным ввести двухрядную поляризационную «матрицу плотности», определенную просто как спипор второго ранга рлгв = нагл. (30.12) (при этом Ярд = 2е). Выражение для этой матрицы можно написать, заметив, что она должна удовлетворять уравнениям (е+ ргр)р = р(с+ рлт) = О. В связи с невырожденпостью состояний нейтрино по направлениям спина напомним сделанное в 8 8 замечание о том, что частице с массой 0 свойственна лишь аксиальпая симметрия относительно направления импульса. В случае истинно нейтральной частицы фотона в эту симметрию входят как вращения вокруг оси, так и отражения в проходящих через ось плоскостях.
В случае же нейтрино симметрия относительно отражений отсутствует, и мы имеем дело лишь с грушюй вращений вокруг оси, сохраняющей проекцию момента на осгч но нс меняющей ее знака. Симметрия относительно отражений существует лишь при условии одновременной замены частицы античастицей. Надо также отметить, что обязательная продольная поляризация означает, что у нейтрино спин вообще не отделим от орбитального момента (как и у фотона с обязательной поперечностью полей, см.
8 6). С помощью одного спинора гг (или () можно образовать всего четыре билинейные комбинации, составляющие вместе 4-вектор УР = л,Ч Рб 71 О'г)). (30.9) 1 за двухкомпонвнтнмв ФНРмноны Отсюда видно, что р= е — ро. (30.13) При рассмотрении различных процессов взаимодействия нейтрино могут фигурировать наряду с другими частицами (со спинам «,«2), обладающими массой и поэтому описывающимися четырехкомпонентными волновыми функциями. В таких случаях удобно соблюсти единообразие обозначений, введя формально и для нейтрино «биспинорную» волновую функцию, две из компо- /01 нент которой, однако, равны нулнк уу = ( ). Но такая форма уу, вообще говоря, нарушится при переходе к другому (не спи~орному) представлению. Это затруднение можно обойти, заметив, что в спинорпом представлении имеем тождественно гР у' (~) (0) ( .
где ~ произвольный «балластный» спинор, выпадающий из ответа (матрица ув из (22.18)). Поэтому условие истинной «двухкомпонентности» нейтрино будет соблюдено при описании его четырехкомпонентным уУ в любом представлении, если понимать под «у решение уравнения Дирака с т = 0: ('ур)4~ = О, (30.14) подчиненное дополнительному условию «««2(1+ у )уУ = ф, или «"Ф= 4 (30.15) Это условие можно учесть, уснювившись производить во всех формулах, куда входят уу и ф, следующую замену: 2 2 (30.16) Так, 4-вектор плотности тока запишется в виде (замена (30.16) в выражении ууу" уу) у'" = -~(1 — -«')у'(1+ ув)~ = -~у«"(1+ ув)~. (30.17) В соответствии с этим же правилом четырехрядная матрица плотности нейтрино должна быть записала как р = -(1+ ув)(ур)(1 — ув) = -(1+ -«')('ур) (30 18) В спинорном представлении она сводится, как и должно быть, к двухрядной матрице (30.13) "' (е — игр 0) ' 14О ГЛ. Н1 Феемионы Аналогичные формулы для антинейтрино отличаются от написанных изменением знака перед у~.
Нейтрино электрически нейтральная частица. Нейтрино с описанными выше свойствами не является, однако, истинно нейтральной частицей. Отметим в этой связи, что «нейтринное поле», описываемое двухкомпонентным спинором, по числу возможных для него состояний частиц (по, разумеется, не по другим своим физическим свойствам) эквивалентно истинно нейтральному полю, описываемому четырехкомпонентным биспинором. Вместо состояний частиц и античастиц с определенными спиральностями здесь имелось бы столько же состояний одной частицы с двумя возможными значениями спиральности и автоматически соблюдалась бы симметрия по отношению к инверсии. Отметим, однако, что равенство нулю массы «четырехкомпонентного» нейтрино имело бы, так сказать, «случайный» характер, поскольку оно не было бы связано со свойствами симметрии описывающего его волнового уравнения (допускающего также и отличную от нуля массу).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
