В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Запись ~* и и* в виде горизонтальных строк соответствует матричному умноженшо в этих уравнениях; строка 1' псремножается со столбцами в матрицах о". 1 21 симмвтРичная ФОРМА уРАВнения диРАНА пустимые линейные преобразования лишь требованием унитарности; такие преобразования не меняют составленные из лд н лр* билинейные формы (сл1. 3 28). В общем случае произвольного выбора компонент лр уравнение Дирака можно представить в виде РИ'УРУЧЬЕ = тФ1 где у" (р = О, 1, 2, 3) некоторые четырехрядные матрицы (мап1рицы Дираьп).
Будем обычно записывать это уравнение в символической форме, опуская матричные индексы: (ур — т)111 = 0, (21.2) где ур = уирд — — ро'у — р у = л у — + л ух7, у = ( у, у, у' ) . спинорной форме уравнения с компонентамп л)л из (21.1) соответствуют матрицы ') 'у = (1 О) 'у= ( 0 ) 1213) как это легко видеть, записав уравнения (20.5) в виде (,-. ,-. -; -) ж=-(',) В общем случае матрицы у должны удовлетворять лишь условиям, обеспечивающим равенство р = тг. Для выяснения этих ушювий умножим уравнение (21.2) ш1ева на ур. Имеем ( Л-)1 Р-) 1, лр- И)ЛР, тглт, Поскольку р„р„--симметричный тепзор (все операторы ри коммутативны), можно переписать это равенство как 2 откуда видно, что должно быть , и Р+,уо,уи 2 ИР (21.4) Таким образом, все пары различных матриц 0 Р антикоьлмутативны, а квадраты каждой из них: (,2) (.
2)~ 1 ~, о) 1 (21 б) ) Здесь и в дальнейшем используется краткая запись четырехрядных матриц через двухрядные: каждый символ в выражениях 121.3) представляет собой двухрядную матрицу. Феемионы гл ш При произвольном унитарном преобразовании компонент лр1лр' = сулр, где су унитарная четырехрядная матрица) матрицы у преобразуются согласно у' = ГуГ ' = Г717т (21.6) (так что уравнение (ур — т)лр = 0 переходит в (у~р — т)луг = = 0).
Перестановочные соотнолпения (21.4) при этом., разумеется, остаются неизменными. Матрица уо из (21.3) эрмитова, а ллатрицы у антиэрмитовы. Эти свойства сохраняются и при всяком унитарном преобразовании (21.6), так что мы будем всегда иметь '): 'у — л'с 'у — 'у (21.7) Напишем также уравнение для комплексно-сопряженной функции л)л*. Взяв комплексно-сопряженное от уравнения (21.2), с учетом свойств (21.7) получим (рву — р у — т)ф* = О. Переставляем лР* согласно у"ф* = лР* уи и умножаем затем уравнение справа на 'у; замечая, что з.у = — у у, и вводя новый биспинор оу* о у,.* —.,о о (21.8) получаем 1о('ур + лп) = О.
(21.9) Как и в (20.11), оператор р предполагается здесь действующим на функцию, стоящую слева от него. Функцию лр называют дираковскн-сопряженной (итси релятивистски-сопряженной) функции лр. Смысл множителя у~ в ее определении заключается в том, что (в спинорпом представлении) оп переставляет спиноры ~' и лу" так, что в лр = (л1*,(*) первым оказывается (как и в лр) непунктирный, а вторым пунктирный спинор: именно по этой причине л1л является более естественным (чем лр*) «партнером» лр, когда, например, они фигурируют совместно в различных билинейных комбинациях 1см. 2 28).
Преобразование инверсии для волновой функции можно представить в виде Р: ф -э л'у~л), ф — > — лфуо. (21.10) При спинорпом представлении лр матрица у~ переставляет, как и должно быть при инверсии, компоненты ~ и лр Инвариантность ) Э си равенства можно записать вместе в виде ле о л о ч =ту з. (21.7 а) 101 1 21 симмвтРичнАя ФОРЯА уРАВнения диРАкА уравнения Дирака относительно преобразования (21.10) в общем случае очевидна и непосредственно: заменив в уравнения (21.2) р э — р и одновременно гд -+ г у гд, получим (ро уо + р у — т) у~гр = О.
Умножив это уравнение слева на уо и учитывая антикоммута- тивность у и у, вернемся к исходному уравнению. Умножив уравнение (ур — гп)ф = 0 слева на 1о, а уравнение гр( ур+ т) = 0 справа на гр и сложив их, получим И'(ри Й+ (РЯ).у"Ф = рд(Фу'4 = О, где скобки указывают, на какую функцию распространяется дей- ствие оператора р. Полученное равенство имеет вид уравнения непРеРывности ддяд = О, так что величина "=И'~= ММ' '-14 (21.11) представляет собой 4-вектор плотности тока частиц.
Отметим, что его временная компонента у = го*гд положительно опредео лена. Уравнение Дирака можно представить в форме, разрешенной относительно производной по времени; г — = Йг)1, (21. 12) д1 где Й гамильтониан частицы ') . Для этого достаточно умножить уравнение (21.2) слева на у". Для гамильтониана получается выражение Й = сер+ р'т, (21. 13) где введено общепринятое обозначение для фигурирующих здесь матриц: а= у~у., )2 = уо.
(21.14) Отметим, что сггсгь+ сгьсгг = 25д,,Зсх+ сг)3 = О, )3 = 1. (21.15) т. е. все матрицы се,,9 аптикоммутируют друг с другом, а их квадраты равны 1; всо они эрмитовы. В спинорном представлении ) Для частицы со свином 0 волновое уравнение пе могло быть представлено в таком виде: уравнение (10.5) для скаляра 14 второго порядка по времени, а система (10.4) уравнений первого порядка для пятикомпонентиой величины (гч й„) содержит производные по времени не от всех компонент. 193 2 22 симлте'ГРичнАЯ ФОРлтА уРАВнеттия диРАкА О =( ~-'."6,„.)0.
(3) 2. Написать уравнение Дирака в таком представлении, чтобы оно не содержало мнимых коэффициентов уЕ. Мауогава, 1937). Р е ш о н и е. В стандартном представлении в уравнении ( д д д д — Ч- а — + от — + а, — Ч- ттпд) 0 = О дс дя "др 'дс мнимыми являются лишь матрицы От, и тд. эту мнимость можно устранить, произведя таков преобржтование и' = бтфт, в результате которого мнимая матрица ат переставится с вещественной матрицей тт'. Для этого надо положить УУ = — Уот Ч- д) = УУ ут2 Тогда и уравнение Дирака приобретает вид ( д д д д — — о, — +,д — — о, — + и но ут 0 = О, ду *дя ' др 'дя ',] в котором все коэффициенты вещественны.
Задачи 1. Найти формулы преобразования волновой функции при бесконечно малом преобразовании Лоренца и бесконечно малом пространственном повороте. Р е ш е н и е. В спинорном представлении ф при бесконечно малом преобразоваттии Лоренца б' = (1 — — тт6ЪУ) б, ту' = (1+ — о6ЪУ) ту усм. 118.8), 118.8а), 118.12)). Обе формулы можно записать вместе в виде ~ = (1 — — 6Ъ) ть 1 (1) 2 Анююгичным образом закон преобразования при бесконечно малолт повороте: фт' = (1+ -Е60) аь 12) В таком виде формулы справедливы в любом представлении 0, если понимать под тт и Е матрицы в том же представлении. Легко проверить, что матрицы а и Е составлятот компоненты антисимметричного «матричного 4-те»тавра» » 1 и и» у ут,у,у у») утт тЕ) 2 уперечисление колшонент дано по правилу 119.15)).
Введем также бесконечно малый антисимметричный тензор 6е»' = 16Ът, 60). Тогда ~"'6Е„, = 2»Е60 — 2у6Ът и обе формулы 11), 12) можно записать в едином виде: 1О4 гл. ш Фнгмионы 3 22. Алгебра матриц Дирака (22. 3) (ау)(Ьу) + (Ьу)(ау) = 2(аЬ), (ау)(а у) = а а формулы (22.3): у„(а у).у" = — 2(а, у), уд(а у)(Ьу) у" = 4(аЬ), у„(а у) (Ь у) (с у) у" = — 2(с у) (Ь у) (а у), Уд(аУ)(ЬУ)(сУ)(АУ)Уд = 2[(АУ)(аУ)(ЬУ)(сУ) + (сУ)(ЬУ)(аУ)(гЬУ)). (22.6) ) В этом издании книги мы не пользуемся каким-либо специальным обозначением для такого произведения. В литературе часто используются обозначения буквами со шляпкой или перечеркнутыми буквами.
При вычислениях, связанных с уравнением Дирака, приходится широко пользоваться матрицами у, не прибегая к их конкретному виду в том или ином определенном представлении. Правила оперирования этими матрицами всецело определяются перестановочными соотношениями у" уг + у'-~" = 2ид', ут, и = О, 1, 2, 3, (22.1) выражающими все их общие свойства. В этом параграфе мы приведем ряд формул и правил алгебры матриц у, полезных в различных вычислениях. «Скалярное произведение» матриц у самих на себя: йр у" у' = = 4. Для краткой записи введем, по аналогии с ковариантными компонентами 4-векторов, обозначение уд — — ндв у".
Тогда (22.2) Если же матрицы у„и у" разделены одним или несколькими множителями у, то одной или несколькими перестановками множителей (с помощью правила (22.1)) можно привести уд и у" к соседним положениям, после чего суммирование (по р) совершается согласно (22.2). Таким способом получаются следующие формулы: и и 2 и Л и р 1 Ли , Л, в. д. и 2уд. '„,Л у„у~ у' уд у у" = 2(у у~ у у" + уд у' у~~ ). Обычно множители у", ... фигурируют в комбинации с различными 4-векторами в виде «скалярных произведений» ') уа = уда„. (22.4) Для таких произведений формулы (22.1) принимают вид 105 1 22 Алгввга матриц диилкл Широко используемой операцией является взятие следа произведения некоторого числа матриц у. Рассмотрим величины Т " — = 4/48)з(у 7 'у ") (22лт) В силу известного свойства следа произведения матриц этот тензор симметричен по отношению к цик.лическим перестановкам ИНДЕКСОВ )44)42...
)4п. Так как матрицы у имеют одинаковый вид в произвольной системе отсчета., величины Т также не зависят от выбора системы. Поэтому они образуют тензор, выражающийся только через обладающий этим свойством метрический тензор 8р,. Но из тензора второго ранга яр, можно составить лишь тензоры четного ранга. Уже отсюда сразу следует, что след произведения любого нечетного числа множителей у равен нулю. В частности, равен нулю след каждой из у '): Яр уР = О. (22.8) След единичной четырехрядной матрицы (которая подразумевается стоящей в правой стороне перестановочного соотношения (22.1)) равен 4.