Главная » Просмотр файлов » В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика

В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 20

Файл №1120566 В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика) 20 страницаВ.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566) страница 202019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Запись ~* и и* в виде горизонтальных строк соответствует матричному умноженшо в этих уравнениях; строка 1' псремножается со столбцами в матрицах о". 1 21 симмвтРичная ФОРМА уРАВнения диРАНА пустимые линейные преобразования лишь требованием унитарности; такие преобразования не меняют составленные из лд н лр* билинейные формы (сл1. 3 28). В общем случае произвольного выбора компонент лр уравнение Дирака можно представить в виде РИ'УРУЧЬЕ = тФ1 где у" (р = О, 1, 2, 3) некоторые четырехрядные матрицы (мап1рицы Дираьп).

Будем обычно записывать это уравнение в символической форме, опуская матричные индексы: (ур — т)111 = 0, (21.2) где ур = уирд — — ро'у — р у = л у — + л ух7, у = ( у, у, у' ) . спинорной форме уравнения с компонентамп л)л из (21.1) соответствуют матрицы ') 'у = (1 О) 'у= ( 0 ) 1213) как это легко видеть, записав уравнения (20.5) в виде (,-. ,-. -; -) ж=-(',) В общем случае матрицы у должны удовлетворять лишь условиям, обеспечивающим равенство р = тг. Для выяснения этих ушювий умножим уравнение (21.2) ш1ева на ур. Имеем ( Л-)1 Р-) 1, лр- И)ЛР, тглт, Поскольку р„р„--симметричный тепзор (все операторы ри коммутативны), можно переписать это равенство как 2 откуда видно, что должно быть , и Р+,уо,уи 2 ИР (21.4) Таким образом, все пары различных матриц 0 Р антикоьлмутативны, а квадраты каждой из них: (,2) (.

2)~ 1 ~, о) 1 (21 б) ) Здесь и в дальнейшем используется краткая запись четырехрядных матриц через двухрядные: каждый символ в выражениях 121.3) представляет собой двухрядную матрицу. Феемионы гл ш При произвольном унитарном преобразовании компонент лр1лр' = сулр, где су унитарная четырехрядная матрица) матрицы у преобразуются согласно у' = ГуГ ' = Г717т (21.6) (так что уравнение (ур — т)лр = 0 переходит в (у~р — т)луг = = 0).

Перестановочные соотнолпения (21.4) при этом., разумеется, остаются неизменными. Матрица уо из (21.3) эрмитова, а ллатрицы у антиэрмитовы. Эти свойства сохраняются и при всяком унитарном преобразовании (21.6), так что мы будем всегда иметь '): 'у — л'с 'у — 'у (21.7) Напишем также уравнение для комплексно-сопряженной функции л)л*. Взяв комплексно-сопряженное от уравнения (21.2), с учетом свойств (21.7) получим (рву — р у — т)ф* = О. Переставляем лР* согласно у"ф* = лР* уи и умножаем затем уравнение справа на 'у; замечая, что з.у = — у у, и вводя новый биспинор оу* о у,.* —.,о о (21.8) получаем 1о('ур + лп) = О.

(21.9) Как и в (20.11), оператор р предполагается здесь действующим на функцию, стоящую слева от него. Функцию лр называют дираковскн-сопряженной (итси релятивистски-сопряженной) функции лр. Смысл множителя у~ в ее определении заключается в том, что (в спинорпом представлении) оп переставляет спиноры ~' и лу" так, что в лр = (л1*,(*) первым оказывается (как и в лр) непунктирный, а вторым пунктирный спинор: именно по этой причине л1л является более естественным (чем лр*) «партнером» лр, когда, например, они фигурируют совместно в различных билинейных комбинациях 1см. 2 28).

Преобразование инверсии для волновой функции можно представить в виде Р: ф -э л'у~л), ф — > — лфуо. (21.10) При спинорпом представлении лр матрица у~ переставляет, как и должно быть при инверсии, компоненты ~ и лр Инвариантность ) Э си равенства можно записать вместе в виде ле о л о ч =ту з. (21.7 а) 101 1 21 симмвтРичнАя ФОРЯА уРАВнения диРАкА уравнения Дирака относительно преобразования (21.10) в общем случае очевидна и непосредственно: заменив в уравнения (21.2) р э — р и одновременно гд -+ г у гд, получим (ро уо + р у — т) у~гр = О.

Умножив это уравнение слева на уо и учитывая антикоммута- тивность у и у, вернемся к исходному уравнению. Умножив уравнение (ур — гп)ф = 0 слева на 1о, а уравнение гр( ур+ т) = 0 справа на гр и сложив их, получим И'(ри Й+ (РЯ).у"Ф = рд(Фу'4 = О, где скобки указывают, на какую функцию распространяется дей- ствие оператора р. Полученное равенство имеет вид уравнения непРеРывности ддяд = О, так что величина "=И'~= ММ' '-14 (21.11) представляет собой 4-вектор плотности тока частиц.

Отметим, что его временная компонента у = го*гд положительно опредео лена. Уравнение Дирака можно представить в форме, разрешенной относительно производной по времени; г — = Йг)1, (21. 12) д1 где Й гамильтониан частицы ') . Для этого достаточно умножить уравнение (21.2) слева на у". Для гамильтониана получается выражение Й = сер+ р'т, (21. 13) где введено общепринятое обозначение для фигурирующих здесь матриц: а= у~у., )2 = уо.

(21.14) Отметим, что сггсгь+ сгьсгг = 25д,,Зсх+ сг)3 = О, )3 = 1. (21.15) т. е. все матрицы се,,9 аптикоммутируют друг с другом, а их квадраты равны 1; всо они эрмитовы. В спинорном представлении ) Для частицы со свином 0 волновое уравнение пе могло быть представлено в таком виде: уравнение (10.5) для скаляра 14 второго порядка по времени, а система (10.4) уравнений первого порядка для пятикомпонентиой величины (гч й„) содержит производные по времени не от всех компонент. 193 2 22 симлте'ГРичнАЯ ФОРлтА уРАВнеттия диРАкА О =( ~-'."6,„.)0.

(3) 2. Написать уравнение Дирака в таком представлении, чтобы оно не содержало мнимых коэффициентов уЕ. Мауогава, 1937). Р е ш о н и е. В стандартном представлении в уравнении ( д д д д — Ч- а — + от — + а, — Ч- ттпд) 0 = О дс дя "др 'дс мнимыми являются лишь матрицы От, и тд. эту мнимость можно устранить, произведя таков преобржтование и' = бтфт, в результате которого мнимая матрица ат переставится с вещественной матрицей тт'. Для этого надо положить УУ = — Уот Ч- д) = УУ ут2 Тогда и уравнение Дирака приобретает вид ( д д д д — — о, — +,д — — о, — + и но ут 0 = О, ду *дя ' др 'дя ',] в котором все коэффициенты вещественны.

Задачи 1. Найти формулы преобразования волновой функции при бесконечно малом преобразовании Лоренца и бесконечно малом пространственном повороте. Р е ш е н и е. В спинорном представлении ф при бесконечно малом преобразоваттии Лоренца б' = (1 — — тт6ЪУ) б, ту' = (1+ — о6ЪУ) ту усм. 118.8), 118.8а), 118.12)). Обе формулы можно записать вместе в виде ~ = (1 — — 6Ъ) ть 1 (1) 2 Анююгичным образом закон преобразования при бесконечно малолт повороте: фт' = (1+ -Е60) аь 12) В таком виде формулы справедливы в любом представлении 0, если понимать под тт и Е матрицы в том же представлении. Легко проверить, что матрицы а и Е составлятот компоненты антисимметричного «матричного 4-те»тавра» » 1 и и» у ут,у,у у») утт тЕ) 2 уперечисление колшонент дано по правилу 119.15)).

Введем также бесконечно малый антисимметричный тензор 6е»' = 16Ът, 60). Тогда ~"'6Е„, = 2»Е60 — 2у6Ът и обе формулы 11), 12) можно записать в едином виде: 1О4 гл. ш Фнгмионы 3 22. Алгебра матриц Дирака (22. 3) (ау)(Ьу) + (Ьу)(ау) = 2(аЬ), (ау)(а у) = а а формулы (22.3): у„(а у).у" = — 2(а, у), уд(а у)(Ьу) у" = 4(аЬ), у„(а у) (Ь у) (с у) у" = — 2(с у) (Ь у) (а у), Уд(аУ)(ЬУ)(сУ)(АУ)Уд = 2[(АУ)(аУ)(ЬУ)(сУ) + (сУ)(ЬУ)(аУ)(гЬУ)). (22.6) ) В этом издании книги мы не пользуемся каким-либо специальным обозначением для такого произведения. В литературе часто используются обозначения буквами со шляпкой или перечеркнутыми буквами.

При вычислениях, связанных с уравнением Дирака, приходится широко пользоваться матрицами у, не прибегая к их конкретному виду в том или ином определенном представлении. Правила оперирования этими матрицами всецело определяются перестановочными соотношениями у" уг + у'-~" = 2ид', ут, и = О, 1, 2, 3, (22.1) выражающими все их общие свойства. В этом параграфе мы приведем ряд формул и правил алгебры матриц у, полезных в различных вычислениях. «Скалярное произведение» матриц у самих на себя: йр у" у' = = 4. Для краткой записи введем, по аналогии с ковариантными компонентами 4-векторов, обозначение уд — — ндв у".

Тогда (22.2) Если же матрицы у„и у" разделены одним или несколькими множителями у, то одной или несколькими перестановками множителей (с помощью правила (22.1)) можно привести уд и у" к соседним положениям, после чего суммирование (по р) совершается согласно (22.2). Таким способом получаются следующие формулы: и и 2 и Л и р 1 Ли , Л, в. д. и 2уд. '„,Л у„у~ у' уд у у" = 2(у у~ у у" + уд у' у~~ ). Обычно множители у", ... фигурируют в комбинации с различными 4-векторами в виде «скалярных произведений» ') уа = уда„. (22.4) Для таких произведений формулы (22.1) принимают вид 105 1 22 Алгввга матриц диилкл Широко используемой операцией является взятие следа произведения некоторого числа матриц у. Рассмотрим величины Т " — = 4/48)з(у 7 'у ") (22лт) В силу известного свойства следа произведения матриц этот тензор симметричен по отношению к цик.лическим перестановкам ИНДЕКСОВ )44)42...

)4п. Так как матрицы у имеют одинаковый вид в произвольной системе отсчета., величины Т также не зависят от выбора системы. Поэтому они образуют тензор, выражающийся только через обладающий этим свойством метрический тензор 8р,. Но из тензора второго ранга яр, можно составить лишь тензоры четного ранга. Уже отсюда сразу следует, что след произведения любого нечетного числа множителей у равен нулю. В частности, равен нулю след каждой из у '): Яр уР = О. (22.8) След единичной четырехрядной матрицы (которая подразумевается стоящей в правой стороне перестановочного соотношения (22.1)) равен 4.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,42 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6502
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее