В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 34
Текст из файла (страница 34)
влияние магнитного момента, электрона на его движение. - всегда того же порядка величины, что и квантовые поправки. Это вполне естественно ввиду чисто квантовой природы спинового момента, который пропорционален гг. В связи с такой ситуацией приобретает смысл постановка задачи о поведении спина электрона, совершающего заданное квазиклассическое движение во внешнем поле. Решение этой задачи содержится в следующем приближении по 6 в уравнении Дирака. Мы применим, однако, другой способ, более наглядный и не связанный не1шсредственно с уравнением Дирака. Он обладает тем преимуществом, что позволяет рассматривать движение любой частицы., в том числе обладанлцей «аномальнымь гиромагнитным отношением, не описываемым уравнешлем Дглрака.
Наша цель состоит в установлении «уравнения движенияя для спина при произвольном (заданном) движении частицы. Начнем с нерелятивистского случая. Нерелятивистский гамильтоннан частицы во внешнем поле 180 частица во внешнем полк гл. 1~ (41.5) В таком виде это уравнение имеет, по сугцеству, чисто классический характер. Опо означает, что вектор магнитного момента прецессирует вокруг направления поля с угловой скоростью — 2)гН/6, оставаясь неизменным по величине ') . В том же нерелятивистском случае скорость ч частицы меняется согласно уравнению — = — ~мН), 4ч е 41 тс т.
е. вектор ч вращается вокруг направления Н с угловой скоростью — еН(глс. Если )г' = О, то )г = еГь(2гпс, и эта угловая скорость совпадает со скоростью — 2)гН/6 вращения вектора ~; другими словами, вектор поляризации сохраняет постоянный угол с направлением движения (ыы увидим ниже, что этот результат остается в силе и в релятивистском случае). Произведем теперь релятивистское обобщение уравнения (41.5).
Для ковариантного описания поляризации надо при этом пользоваться введенным в 8 29 4-вектором а, а уравнение движения спина должно определять производную г)иуг4т по собсгвенному времени т ') . Возможный вид этого уравнения может быть установлен уже из соображений релятивистской инвариаптности, если учесть, что его правая часть должна быть линейна и однородна по тензору электромагнитного поля Р"г и по 4-вектору ал, .а, помимо них, может содержать только 4-скорость и" = р'"(гп. Этим условиям удовлетворяет лишь уравнение вида дае — = сер'" и, + 1)наг"'ли а1, Ит (41.5) ') Классически уравнение (41.5) получаетси непосредственно из равенства 4М141 = ~мн), где М вЂ” момент импульса системы.
и -ее магнитный момент, )1тН) действуавций на систему момент сил. Положив М = уль, и = Ь-~ = рь, получим (41.5). ) Ниже снова полагаем с = 1, й = 1. средним значением в, а вектора Н -- функцией Н(1), представляющей собой изменение магнитного поля в точке нахождения частицы (волнового пакета) при ее заданном движении вдоль траектории. В нерелятивистском приближении, т. е. в рамках уравнения Паули, я = а /2 есть оператор спина частицы в ее системе покоя, среднее значение которого мы обозначили в 8 29 как ~/2. Таким образом, мы приходим к уравнению 181 1 41 движение апина во внешнем полк — = сер,Н]. Сравнив с (41.5), найдем; ег = 2)4.
Для определения Д учтем, что апир — — О. Продифференцировав это равенство по т и воспользовавшись классическим уравнением движения заряда в поле р тп — = ег' и, ре Йт (см. П, 8 23), получим бв" е трр е, рю ир — — — — ар — — — ар,— г' и„= — г' пра,. йт бт т т Поэтому, умножив уравнение (41.6) с обеих сторон на ир, учтя равенство ирин = 1 и сократив общий множитель РР арап, по- лучим )3 = — 2 ()4 — — ') = — 2)4'.
Таким образом, находим окончательно релятивистское уравнение движения спина пор — = 2ИГР'а, — 2ргиРРРхи.ох г4т (41.7) ()т. Ватутапп, 7. МгсЬе1, Г Те1еуг)4, 1959) ') . Перейдем от 4-вектора а к величине ~, непосредственно характеризующей поляризацию частицы в ее «мгновенной» системе покоя; связь мекду а и 4, дается формулами (29.7) — (29.9). Сразу же отметим, что из (41.7) автоматически следует, что аре4аР741т = О, т.
е. арап = сопвг. Поскольку араР = — ~~, это означает естественный результат: при движении частицы ее поляризация ~ остается неизменной по величине. Уравнение. определяющее изменение направления поляриза; ции, получим, перейдя в (41.7) к трехмерным обозначениям. Рас- ') В другом виде подобное уравнение было впервые найдено Я. И. Френкеле44 (192б). где гт, Д. постоянные коэффициенты. Легко видеть, что в силу условия ария = О и антисимметричности тензора г'РР (так что ГР'44 и, = 0) никаких других выражений требуемого вида составить нельзя. При и — > 0 это уравнение должно совпадать с (41.5). Положив ап = (О, ~), ип = (1, 0), т = 1, получим 182 частица во внвшнвм полк гл ш крыв пространственные компоненты этого уравнения, найдем — [аН1 + Р (ач)Š— Р ч1аЕ) + пг е 7И 2 ' + Р ч(ч~аН)) + 1ч(ач)(чЕ).
т т Сюда надо подставить (29.9), учитывая при дифференцировании равенства р = еч, е = р + т и уравнения движения Р = еЕ + е)чН), — = е(чЕ). (41.8) г)г пг Элементарное, хотя и довольно длинное вычисление приводит к следующему уравнению '): сК 2рт -~- 2п'(е — т) ~~Н) 2р'е ~ 11) ~ ~) йпт -~- 2п'е ~~~Е пг е е+т е+ т (41.9) Особый интерес представляет не столько изменение абсолютного направления поляризации в пространстве, сколько его изменение по отношению к направлению движения. Представим ~ в виде ~ = п~~ +~т (41.10) (где и = ч)п) и выпишем уравнение для проекции Ч поляризации на наггравление движения. Вычисление с помощью (41.8), (41.9) приводит к следующему результату '); й = 2)з'К Лнп>) + — ( —, — )э') (С Е).
(41.11) Ряд примеров применения полученных уравнений рассмотрен в задачах к этому параграфу. Здесь же отметим лишь, что при движении в чисто магнитном поле поляризация частицы без аномального магнитного момента сохраняет постоянный угол со скоростью (~~ = сопвг). Таким образом, этот результат, указанный ') Если ввести, как это часто делается, лля заряженных частиц гиромагнитный коэффициент (множитель Ландо) Х согласно И = К вЂ”.,', т (= К вЂ”.„'„, тэ), то уравнение запишется в виде — = — ~ к — 2 4-2 — ) )ЧН) Ч- — (К вЂ” 2) * (чН))чч) -'г И~ е / т1 е 41 2гп ~, е 2т в+т е / 2е — ~ я — ~) (~)Еч]].
(41.9а) 2т е+ т/ ) Несколько короче это уравнение можно получить, раскрывая временную компоненту уравнения (41.7). 183 1 41 движение опинл ВО Внешнем полк уже выше для перелятивистского сиучая, действительно, имеет общий характер. Уточпиьл условия применимости полученных уравнений. Упомянутое вначале требование достаточно медленного изменения импульса частицы сводится к определенному ушювию малости полей Е и Н; в частности, ларморов радиус в магнитном поле ( р>>еН) должен быть велик по сравнению с длиной волны частицы. Помимо этого, однако, должно выполняться, строго говоря, еще и условие не слишком быстрого изменения полей в пространстве: поле дол>кис мало меняться на размерах квази- классического волнового пакета.
Тем самым, поле должно мало меняться на расстояниях порядка длины волны частицы (1/р), а также на комптоновской длине волны, 1(т ') . Впрочем, в практических задачах о движении в макроскопических полях условие медленности их изменения заведомо выполняется, так что фактически требуется лишь достаточная их малость. В 8 33 были найдены первые релятивистские поправки для гамильтониана электрона, движущегося во внешнем поле. Для электрона в электрическом поле приближенный гамильтониан имеет вид (см. (33.12)) Й = Й' — — (о [ЕР~), р = — Ю, (41.12) где в Н' включены члены, пе содержащие спина. В нашем случае в силу медленного изменения поля в Й' сщедуст пренебречь членом с производными от Е (т.
е. с 111чЕ); можно опустить также малый член с р, не илчеющий отношения к интересующим нас здесь эффектам поля, так что Й' (в отсутствие магнитного поля) сводится к перел>ггивистскому гамильтониану Й' = рз/(2т) + + еф. Формулу (41.12) можно получить также исходя из уравнения (41.9), не прибегая непосредственно к уравнению Дирака. Тем самым будет достигнуто ее обобщение (в квазиклассическом случае) для частиц с аномальным магнитным моментом.
С точностью до членов первого порядка по скорости и уравнение движения спина в электрическом поле получается из 1 ) Последнее требование возникает из условия, чтобы разброс скоростей в волновом пакете в его системе покоя был мал по сравнению с с; в противнол~ случае в этой системе нельзя было бы пользоваться нерелятивистскими формулами. Если поле меняется слишком быстро, в уравнениях могут оказаться существенными дополнительные члены, содержащие производные поля по координатам. 184 чхатицл во внешнем полк ГЛ. 1~ 141.9) в виде — = ()«+)з')фЕъг]] = ( — + 2)з') ~~[Еу]].
Если потребовать, чтобы зто уравнение получалось квантовомехапически путем коммутировапия оператора спина с гамильтонианом (согласно 141.3)), то, как легко проверить, надо положить Й = Й' = (д'+ — ) (о [Е1 ]) . 141.13) Это и есть искомое выражение. При р' = О мы возврашасмся к 141.12). Обратим внимание на то, что «нормальныйэ магнитный момент е/2пт входит с лишним множителем 1,1 по сравнению с аномальным моментом )х' ') . Задачи 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
