В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Поэтому вместо (73.4) можно вычислять величину (0~)аза«Т)ОР(х)) (л ))аз~а~~~О) (73.6) (индексы 1, 2, ... для краткости заменяют ры рз, ... ). Каждый из двух операторов тока есть произведение у = уР7у5, а каждый из ф-операторов представляется суммой ф = ~~ (арфр+ Бр5)5 р), ф = ~) (ор5)5р+ брУ5 ) (73.6) р р (вторьле члены содержат позитронные операторы, которые в данном случае «не работаюта). Поэтому произведение у" (ее))' (х') з тз ДНАГРАммы ФеЙнмАБА для РАс'сеяни51 электРОнОВ 327 представляется в виде суммы членов, каждый из которых содержит произведение двух операторов ар и двух а+.
Эти операторы должны обеспечить уничтожение электронов 1, 2 и рождение электронов 3, 4. Другими словами, это должны быть операторы ам аз, аз, а4, которые, как говорят, сверпгываюпюл с «внешними» операторами а4~, аз~, аз, а4 в 173.5) и сокращаются согласно равенствам (%ра+/0) = 1. (73.7) В зависимости от того, из которых 5)5-операторов берутся а1, аз, ааз, а4, в (73.5) возникают четыре члена Ч»»)»1Ф»))»1'«)и,,'5, НЯ1"«))«1'С)' ",, )15») где 5)15 = ф(х), 4))' = ф(х'), а дугами соединены свертываемые операторы, т. е. те, из которых берется пара операторов а, а+ для сокращения согласно (73.7). В каждом из этих членов гюследовательными перестановками операторов ам аз,...
приводим сопряженные операторы к попарному соседству (а)а) и т. и.), пошге чего среднее значение их произведения сводится к произведению средних значений (73.7). Учитывая, что все эти операторы антикоммутативны (1, 2, 3, 4 различные состояния!) '), найдем, что матричный элемент (73.4) равен Р4)Туч'(')у (х ) )12) = )дд47" Ы (4 з ~ Ю + (ФзЗ "Ф5) Й4 ~ Фз)— — ))))з'удг)52))(ф47'ф',) — (4)547" 4)54~)15))з'у'4)52).
(73.9) Отметим, что общий знак этой суммы условен и зависит от порядка, в котором мы расположили «внешние» электронные операторы в (73.5). Это обстоятельство соответствует тому, что общий знак матричного элемента для рассеяния тождественных фермионов вообще произволен. Относительный же знак различных членов в (73.9) от принимаемого порядка расположения внешних операторов, конечно, не зависит. Два члена в первой и второй строках (73.9) отличаются,друг от друга лишь одновременной перестановкой индексов р,, и и аргументов ай т1. Такая перестановка не изменит,.
очевидно, и ма- 1 ) Ввиду этой антикоммутативности операторы у1х) и 41х ) можно в данном случае считать (при вычислении матричного элемента) коммутативными и опустить знак Т-произведения. 328 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. УН! Бу! = (ег !1 х !1 х' Р„(х — х')((4(14 («4!12)(4«з ~'4«1) (4«4'! Г«!)(з(!3'у з«2)) (73.10) (обратим внимание на исчезновение множителя 11!2!). Электронные волновые функции плоские волны (64.8), поэтому выражение в фигурных скобках ) — (и З!«и )(и (з'и )С з(Рз «4«Г з(Р Рзм — (и47«и1)(и17 и2)е (Р' «4! = ((й4"(«и )(йзйии )е ~((«з «4В(«з «'))~12— (и47 и1)(и37 иг)е — !! з! — и ! — з((Р! — Р!РГ(«з — Рз)(Е/2! — з(Р!4«з — Рз — Рзззл где Х=(х+х')Г!2, С=х — х'.
Интегрирование по Г(4хг(4х' заменяЕтСя ИНтЕГрИрОВаНИЕМ ПО дзС МАХ. ИнтЕГрап ПО дзХ даЕт б-фуНК- цию (в силу которой р1+рг = рз+р4). Перейдя затем от матрицы о к матрице М (см. 3 64), получим окончательно для амплитуды рассеяния М7! = Вг ((йзз" иг) Р!зи (р4 — рг) (йз'у'и1)— — (и47~и ДР«~ (р4 — р1) (й37~ иг) ). (73.11) Здесь введена фотонная функция распространения в импульсном предстаВлении Р«и((4) = РР,ЯЕ1~Ы~Г.
(73.12) Каждый из двух членов амплитуды (73.11) может быть символически представлен в виде так называемых диаврилзэз Фейн иана. Первый член представляется диаграммой Рз Р! Р4 Рз (73.13) Каждой из точек пересечения линий (веригине диаграммы) сопоставляется множитель (. 4Входязциез сплошные линии, направ- тричный элемент (73.3) (в котором порядок множителей все равно устанавливается символом Т). Поэтому после перемножения (73.3) и (73.9) и интегрирования по а(4хз(4х' четыре члена в (73.9) дают попарно одинаковый результат, так что матричный элемент ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РЛОСВЯНИ51 ЭЛЕКТРОНОВ 329 ю е (114 ~ н1)Ром(151 )(5137 нз) гз Р2 (73.14) (надо иметь в виду, что к' = р5 — рл = рз — рв). Безразлично1 начинать ли прочтение диаграммы от конца рз или рл, получающиеся при этом выражения совпадают друг с другом в силу симметричности тензора Р„„. Безразличен также выбор направления линии виртуального фотона: изменение этого направления приведет лишь к изменению знака й, несущественному в силу четности функций Р„,(й) (см.
2 76). Линии, отвечаю1цие начальным и конечным частицам, называют онеи1ннмн 5п1ниями или свободными концами диаграммы. Диаграммы (73.13) и (73.14) отличаются друг от друга обменом двух свободных электронных концов (рз н р4). Такая перестановка двух фермионов меняет знак диаграммы; это правило соответствует тому, что в амплитуду (73.11) оба члена входят г разныл1и знаками. л4ы будем в дальнейшем всегда пользоваться диаграммами Фейн»1ана в описываемом, импульсном, представлении.
Отметим, однако, что эти диаграммы могут бытытриведены в соответствие с членами амплитуды рассеяния также и в их первоначальном --. координатном представлении (интегралы (73.10)). Роль электронных амплитуд при этом играют соответствующие координатные волновые функции, а пропагаторы берутся в координат- ленные к вершине, отвечают начальным электронам; им сопоста; вляются множители и биспинорные амплитуды соответствующих электронных состояний.
«Выходящие» сплошные линии, направленные от вершин - конечные электроны, этим линиям сопоставляются множители и. При «прочтении55 диаграммы указанные множители записываются слева направо в порядке, соответствукпцем передвижению вдоль сплошных линий против направления стрелок. Обе вершины соединены штриховой линией, отвечающей оиртуаль51ому (промежуточному) фотону, «испускаемому» в одной вершине и «поглощаемому» в другой; этой линии сопоставляется множитель — »Р (к).
4-импульс виртуального фотона к определяется Всохранением 4-импульса в вершине»: равенством суммарных импульсов входящих и выходящих линий; в данном случае й = р1 — рз = ра — рв. Помимо всех перечисленных множителей, диаграмме в целом приписывается еще общий множитель ( — »е)~ (показатель степени —.число вершин в диаграллме), и в таком виде она входит слагаемым в 1МЛ. Аналогичным образом второй член в (73.11) представляется диаграм- мой 330 ИНВАРИАНТНА51 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ гл. Мн! ном представлении. Каждой вершине отвечает одна из переменных интегрирования (х или т' в (73.10)), множители, приписываемые пересекающимся в одной вершине линиям, берутся в функции этой переменной.
Рассмотрим теперь взаимное рассеяние электрона и позитрона; их начальные импульсы обозначим соответственно р и рь, а конечные р и р 1 1 Операторы рождения и уничтожения позитронов входят в л)5-операторы (73.6) вместе соответственно с операторами уничтожения и рождения электронов. В то время, как в предыдущем случае уничтожение обеих начальных частиц обеспечивалось оператором лр, а рождение обеих конечных-- оператором л)1, здесь роль этих операторов противоположна по отношению к электронахл и позитронам.
Поэтому сопряженной функцией ф( — рл.) будет описываться теперь начальный позитрон, а конечный позитрон функцией л)5( — рт~) (причем обе от 4-импульса с обратным:знаком). С учетом этого различия получим в результате амплитуду рассеяния ') М71 = — е. (й(р' )-~ли(р ))Р„,(р — р' ))(й( — рл )7'и( — ра)) + +ее(и( — Рт)УИН(Р )))л,1Р +Рт)(и(Р' )У'и( — Р',)). (73.15) Первый и второй члены в этом выражении представляются следующими диаграммами: (73.16) р'- и- -Рр« Р-1- — и-1- Правила составления диаграмм меняются лишь в части, касающейся позитронов. По-прежнему входящим сплошным линиям сопоставляется множитель и, а выходящим и.
Но теперь входящие линии отвечают конечным, а выходящие начальным пози- 1 ) Для рассеяния нетождественных частиц общий знак амплитуды однозначен. Ои определяется тем, что в Л73.3) «внешние» операторы должны быть расположены «аким образом, чтобы оба электронных оператора стояли по краям: (0)а ь ...6~а !О) (или же оба в середине), этим условием обеспечивается «одинаковый знак» иачшп ного и конечного состояний вакуума. Общий знак амплитуды можно проверить и по перелятивистскому пределу: мы увидим далее (см. 3 81), что в этом пределе второй член в (73ялб) стремится к нулю, а первый - к борновской амплитуде резерфордовского рассеяния.
ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РЛССКЯНИ51 ЭЛЕКТРОНОВ 331 1тз тронам, причем импульсы всех позитронов берутся с обратным знаком. Обратим внимание па различный характер двух диаграмм (73.16). В первой диаграмме в одной из вершин пересекаются линии начального и конечного электрона, в другой вершине то же самое для позитрона. Во второй же диаграмме в каждой из вершин пересекаются линии электронов и позитронов — начальных и конечных; в верхней как бы происходит аннигиляция пары с испусканием виртуального фотона, а в нижней рождение пары из фотона.
Это различие отражается и в свойствах виртуальных фотонов в обеих диаграммах. В первой диаграмме (диаграмма Врассеиватсльного» типа) 4-импульс виртуального фотона равен разности 4-импульсов двух электронов (или позитронов); поэтому И < О (ср. (73.1)). Во второй же диаграмме («аннигиляционной») й~ = р +рэ, и потому 1е'~ ) О. Отметим в этой связи, что для виртуального фотона всегда е~ у= О, в отличие от реального фотона, для которого А~ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
