В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Займемся теперь фактическим вычислением пропагаторов, начав с электронного случая. Подействуем на функцию С,ь(х — т') = — з(О~Т4,(х)~„(х') ~0) (75.1) (г, й -- биспинорньле индексы) оператором ур — т, где рн — — гди. Поскольку оператор ф(х) удовлетворяет уравнению Дирака ( ур— — т)5)5(т) = О, мы получим нуль во всех точках т, за исключением лишь тех, в которых 1 = т'.
Дело в тол5, что С(т — х') стремится к различным пределам при 1 — 5 8' + 0 и 1 — > 5' — 0; согласно определению (74.8) эти пределы равны соответственно — 5(0/ф5(г5 4)515„(г', е)!0) и + з(0!фа(г', х)ф,,(г5 4)/0) и, как мы увидим, на световом конусе не совпадают.
Это приводит к появлению в производной дС/д5 дополнительного члена с В-функцией; — = — г(О~Т ' фь(т )~0) + 5(1 — 1 )(С~с-55 о — СЬ- 5 -о). д55 . д55,(Х)— I д~ д1 (75.2) Замечая, что в оператор 7р — т производная по ~ входит в виде гуод55д~, имеем поэтому (ур — Тп),РСВ5(х — л) =5(Ф вЂ” 1) 7ь(Офка(г,~),5(55(г',1)) „~0).
(753) Вычислим стоящий здесь антикоммутатор. Перемножив операторы 5)5(г,1) и 5у(г',1) (см. (73.6)) и учтя перестановочные правила для фермионных операторов ар, бр, найдем (5755(г,4),фЬ(г' 4)~ Р ~ ~фР,(РЯБЬ(г')+ 575 р5(г))5 Ь(г')) (75 4) и где астр(г) волновые функции без временного множителя (как и в 3 73, 74, для краткости не выписываем у них поляризационпые индексы). Но совокупность всех функций 5(5~р(г) - собственных функций гамильтопиана а55ектрона составляет полную систему нормированных функций, и согласно общим свойствам таких систем (ср. Ш, (5.12)); 'У (5)5„;(г)ф*ь(г') + ф р5(г)5(5" ь(г')) = 5;ьйг — г').
(75.5) и ЗЗ7 элкктРоыный ПРО11АГАТОР (75.8) ,® л / —,РРС( ) ~4 ( 12 ррр ~ — РорС1р) с75 11) (2п)4 ( (2п) 4,/ ) В явной записи с биспинорными индексами 17р — Ра)нбьр(х — х') = 4~О(х — х')У,ы (75. 7а) Сумма же в правой стороне равенства (75.4) отличается от написанной заменой лдь на (рд* уо)ь и равна уоьб(г — г').
Таким образом, 1Щ(г,1),фь(г',1))э — — б(г — г ) ул~~. (75.6) Отметим, что из этой формулы следует, в частности, у1юмяпутое уже в 2 74 утверждение об антикоммутативпости операторов лд и лп вне светового конуса. При (х — х') ( 0 всегда существует такая система отсчета., в которой 2 = 1', если при этом г ~ г', то антикоммутатор (75.6) действительно равен нулю. Подставив (75.6) в (75.3) (и опустив биспинорные индексы), найдем окончательно ') ( ур — т)С(х — х ) = б1 )1х — х ). (75.7) Таким образом, электронный пропагатор удовлетворяет уравнению Дирака с б-функцией в правой части.
Другими словамлл, это есть с)лункцил Грина для уравнения Дирака. Нам придется в дальнейшем иметь дело не с самой функцией С®(( = х — х'), а с ее компонентами Фурье С(р) = С®е'Ред ( (пропапгтором в импульсном представлении). Взяв компоненту Фурье от обеих сторон (75.7), найдем, что С(р) удовлетворяет системе алгебраических уравнений (ур — т)С(р) = 1. (75.9) Решение атой системы: С1р) = ', (75.10) Четыре компоненты 4-вектора р в С(р) являются независимыми переменными (не связанными соотношением р = ро — р = т ).
2 — 2 2 2 Написав знаменатель в (75.10) в виде р~ ~— (р + т2), мы увидим, что С(р) как функция от ро при заданном р имеет два полюса: 2 »р р, = е,, р ° = „рр'р . пр ' р р-. ° » рр, ° интеграле 338 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Гл. Уг!! (т = 1 — 1') возникает поэтому вопрос о способе обхода полюсов, без указапия этого способа выражение (75.10) еще по существу неопределенно. Для выяснения этого вопроса вернемся к исходному определению (75.1).
Подставим в него гЬ-операторы в виде сумм (73.6), заметив при этом, что отличны от нуля средние по вакууму лишь от следующих произведений операторов рождения и уцичтожения: (0(арарь)0) = 1, (0(ЬРЬр+)0) = 1. (Поскольку в состоянии вакуума никаких частиц нет, то, прежде чем «уничтожитьо частицу оператором ар или Ьр, надо «родить» ее оператором аи или Ьр+.) Получим С ь(л ~ ) 1 ~) г)гр (г 1)г)г ь(г 1) Р = — 1 ~> е "г~ ')г)гр,.(ТЯ,Й(г'), 1 — г' > 0; (75.12) Р С;ь(т — х') =1 ~~ ф рь(т',1')ф рг1г,1) = =1УЭ емй ~~о)г рг1г)о)г „ь(г~), Ь вЂ” Ьг < 0 (при 1 > 1' вклад в С дают только электронные, а при 1 < 1' только позитронные члены). Представив себе суммирование по р замененвым ицтегрированием по ггзр и сравнив (75.12) с (75.11) г мы увидим, что иптег- (75.13) е — гРоо С (р) Г1р должеп иметь фазовый множитель е "~ при т > 0 и е"' при т < < О.
Мы удовлетворим этому, если условимся обходить полюсы ре = Е и ре = — Е СООТВЕТСТВЕИНО Свгрху и с~~зу (В ~лес~ос~~ комплексного переменного ро): (75.14) Действительно, при т > 0 замыкаем путь интегрирования бесконечно удаленной полуокружцостью в нижней полуплоскости, так что значение интеграла (75.13) будет даваться вычетом в полюсе ре = +е; при т < 0 замыкаем контур в верхней полуПЛОСКОСтИг И ИНтЕГРаЛ ОПРЕДЕЛИТСЯ ВЫЧЕТОМ В ПОЛЮСЕ РО = — Е. В обоих случаях получится требуемый результат. ЗЗО элкктгоыный пеопагатое Это правило обхода (привили Фсйнмини) можно сформулировать иначе: интегрирование производится везде вдоль самбй вещественной оси, по массе частицы т приписывается бесконечно малая отрицательная мнимая часть: т — > т — г0. (75.15) Действительно, имеем тогда гР'+( — Ог = /Р'.3.
' — е = — е. Другими словами, полюсы ре = хе смещаются вниз и вверх от вещественной оси: (75.16) о +к — 10 так что интегрирование вдоль зтой оси становится зквивалентпым интегрированию вдоль пути (75.14) ') . С учетом правила (75.15) пропагатор (75.10) можно написать в виде ур+ ьн (75.17) ре — те -~- 10 Правило интегрирования при сдвиге полюса демонстрируется следующим соотношением: = Р- — гггд(х). (75.18) х -~- гО Его надо понимать в том смысле, что при умножении на какую- либо функцию 1(х) и интегрировании имеем х ~( ) дх = ~( )йх — гну(0), х -';10,/ х где перечеркнутый знак интеграла, или символ Р, означает главное значение.
сРуякция Грина (75.10) представляет собой произведение биспинорного множителя 7р+ т и скаляра; а(0)( ) 1 (75.20) Соответствующая координатная функция С(~)(с) является, очевидно, решением уравнения (р — т )С~~)(х — х') = б~~)(х — х'), (75.21) (75.19) ) Полезно заметить, что правило сдвига полюсов соответствует тому, что С(х — г') приобретает бесконечно малов затухание по ~т~., где т = à — 1'.
Действительно, если записать зна ~ение ре в смеп1онпых полюсах как — (е— — гб) и +(е — гб) (где 6 — + +0), то временной множитель в интеграле (75.13) будет равен ехр( — Ы~г~ — б)г)). 340 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У5!! т. е. фусскцией Грина уравнения (р — гп~)5р = О.
В этом смысле можно сказать, что С5 )(щ — т ) есть пропагатор скалярных частиц. Легко убедиться вычислением (подобным произведенному выше),. что функция распространения скалярного поля выражается через ф-операторы (11.2) формулой С5~)(х — х') = — г(О~Тф(т)фР(х')~0). (75.22) аналогичной определению (75.Ц. При этом хронологическое произведение определяется (как для всяких бозонных операторов) следующим образом: Тф(щ)ф "(т') = 6*)~ ( )', (75.23) (с одинаковыми знаками при 8 ) 1' и 1 ( 1').
й 76. Фотонный пропагатор До сих пор нам приходилось (в )) 43, 74) использовать явный вид операторов электромагнитного поля А при нахождении матричных элементов лишь по отношению к изменению чис.ча реальных фотонов. Для этой цели было достаточным написанное в О 2 представление потенциалов свободного поля в виде разложения по поперечным плоским волнам. Такое представление, однако, не дает само по себе полного описания произвольного поля. Это ясно уже из того, что диаграммы рассеяния (73.13), (73.14) должны учитывать и кулоново взаимодействие электронов.
Последнее описывается скаляраым потенциалом Ф и заведомо не может быть сведено к обмену лишь поперечными виртуальными фотонами (описываемыми векторным потенциалом, подчиненным условию с))у А = 0) ') . Таким образом, мы по существу. не имеем еще полного определения операторов А, без чего невозможно прямое вычисление фотонного пропагатора согласно формуле Рр,(х — х') = 1(ОЛТАН(ю)АР(х') ~0).
(76.1) С другой стороны,калибровочная неоднозначность потенциалов в значительной степени лишает физического смысла те операто- ) При условии 51п А = 0 уравнения Максвелла приводят к следующим уравнениям для А и Ф: дФ ПА = — 4я1 -Р 5У вЂ”, ЬФ = — 4яр. дс ' В этой калибровке Ф удовлетворяет статическому уравнению Пуассона (ср. с формулой (7ОЛЗ) для )усе в этой же калибровке).
341 1 76 ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР ры, которые пришлось бы вводить для исчерпывающего квантования электромагнитного поля. Эти затруднения, однако, имеют лишь формальный, а не физический характер, и их можно обойти,. использовав некоторые общие свойства пропагатора, очевидные из требований релятивистской и калибровочной инвариаптности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
