В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Это - требование СРТ-инвариа1гтиостн») . Перекрестная жс инвариантность позволяет делать такое преобразование нс только для всех частиц сразу, но и для любой частицы в отдельности. я 79. Виртуальные частицы Внутренние линии диаграмм Фейнмана играют в инвариаптной теории возмущений роль, аналогичную роли промежуточных состояний в «обычной» теории. Характер этих состояний, однако, в обеих теориях различен.
В обычной теории в промежу.- точных состояниях сохраняется импульс (трехмерный), но не со- 1 ) Если тот или иной канал запрещен сохранением 4-импульса, то вероятность перехода автоматически обращается в нуль б-функцией, фигурирующей в (б4.5) в качестве общего множителя. 1) Обратим внимание на то, что формальное описание перехода от одной из указанных реакпий к другой путем изменения знака всех 4-импульсов на диаграммах гвейнмана отвечает смыслу операции СРТ как 4-ияверсии. 355 О 79 ВИРТУАЛЬНЫВ ЧАСТИЦЫ храняется энергия; в этом смысле о них говорят как о виртгйальных состояниях. В инвариантной же теории импульс и энергия входят равноправно: в промежуточных состояниях сохраняются все компоненты 4-импульса (результат того, что в элементах Я-матрицы интегрирование производится и по координатам, и по времени, чем достигается инвариантность теории).
Пргл этом, однако, в промежуточных состояниях нарушается пригугцая реальным частицам связь между энергией и импульсом (выражаемая равенством рз = тз). В этом смысле говорят о промежуточных виртуальных частицах. Соотношение между импульсом и энергией виртуальной частицы произвольно †о такое, какое требуется сохранением 4-импульса в вершинах. Рассмотрим некоторую диаграмму, состоящую из двух частей (1 и 11), соединенных одной линией.
Не интересуясь внутренней структурой этих частей, представим диаграмму схематически в виде (79.1) (изображенные линии могут быть как сплошными, так и штриховыми). В силу общего закона сохранения, суммы 4-импульсов внешних линий частей 1 и 11 одинаковы; в силу сохранения в каждой вершине этой же величине будет равен и 4-импульс р внутренней линии, соединяющей части 1 и 11.
Другими словами, этот импульс однозначно определен, так что в матричном элементе по нему не производится интегрирования. В зависимости от канала реакции квадрат р~ может быть как положителен, так и отрицателен. Всегда существует такой канал, в котором ра > 0 ') . Тогда виртуальная частица по своим формальным свойствам становится вполне аналогичной реальной частице с вещественной массой М =;(рз. Для нее можно ввести систему покоя, можно определить ее спин и т.
п. Фотонный пропагатор (76.11) по своей тензорной структуре совпадает с матрицей плотности неполяризованной частицы со спином 1 и отличной от пуля массой: р.. = — (й,. — ""',. ) (см. (14.15)). С другой стороны, пропагатор (как величина, составленная квадратично из операторов поля) играет для виртуальной частицы роль, аналогичную роли матрицы плотности реальной частицы.
Поэтому виртуальному фотону надо приписать, ) Таков, например, канал (если он допустим энергетически), в котором все свободные концы части 1 соответствукн начальным, а части 11 — конечным частицам. Тогда р = Р, (сумма 4-импульсов всех начальных частиц), и в системе центра инерции р = ГР,, 0), гак что р > О. О,, 2 356 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У'555 как и реальному, спин 1. Однако в отличие от реального фотона с его двумя независимыми поляризациями виртуальный фотон как «частица» конечной массы может иметь все три поляризации.
Функция распространения электрона С сс ур+ ьи Здесь т--. масса реального электрона, между тем как «масса» виртуальной частицы М = ~(р2. Написав ур+ гп = и'(ур+ М) + (ур — М), (79 2) мы видим, что первый член отвечает матрице плотности частицы с массой М и спипом гу~~, а второй член" матрице плотности такой же «античастицы» (суь (29.10) и (29.17)). Вспомнив, что частица и античастица имеют различные внутренние четности (с»5. О 27), придем к выводу, что виртуальному электрону надо приписать тот же спин 55У2, но нельзя приписать определенной четности. Характергзая особенность диаграммы (79.1) состоит в том, что ее можно рассечь на две не связанные друг с друтом части, пересекая при этом всего одну внутреннюю линию ') .
Эта линия соответствует в таком случае одночасгпп 5нгзл5у промежуточному, состоянию состоянию с всего одной виртуальной частицей. Амплитуда рассеяния, соответствующая такой диаграмме, содержит характерный (не подвергающийся интегрированию!) множитель Р» — гпе «- 50 происходящий от внутренней линии р (причем ги масса электрона, если линия электронная, или»п = О, если линия фотонная). Другими словами, амплитуда рассеяния имеет полюс при тех значениях р, при которых виртуальная частица стала бы физической (р = 555 ).
Эта ситуация аналогична тому, как в нерелятивистской квантовой механике амплитуда рассеяния имеет полюсы при значениях энергии, отвечающих связанным состояниям системы сталкивающихся частиц (см. 1П, 8 128). Рассмотрим диаграмму (79.1) для того канала реакции., в котором все 55равые свободные концы отвечают начальным, а все левые — конечным частицам; при этом р ) О. Тогда можно ска- 2 зать, что в промежуточном состоянии система начальных частиц превращается в одну виртуальную.
Это возможно, лишь если такое превращение не противоречит необходимым:законам сохранения (без учета сохранения 4-импульса): сохранению момента, ) Этим свойством обладают диаграммы почти всех процессов в первом неисчезающем приближении. 357 1 Тэ ВИРТУА4)ЬНЫВ ЧАСТИЦЫ заряда, зарядовой четности и т. п. В этом и заключается необходилюе условие появления, как говорят, полюсяьгл диаграмм. Присутствуя для одного из каналов, такие диаграммы тем самым будут в силу кросс-инвариантности существовать и для остальных каналов реакции. Например, указанные законы сохранения не препятствуют возникновению виртуаньного электрона согласно е + 7 -+ е.
Эта возможность отвечает полюсу амплитуды комптон-эффекта (а тем самым и другого канала этой реакции двухфотонной аннигиляции электронной пары). Возникновение виртуального фотона, согласно е +е+ э 7, отвечает полюсу амплитуды рассеяния электрона на позитронег а тем самым и электрона на электроне. Из двух же фотонов не может получиться ни виртуального электрона, ни виртуального фотона (превращение 7 + 7 — ь е запрещено сохранением заряда и момента, а превращение 7+ 7 — ~ 7 сохранением зарядовой четности).
В соответствии с этим амплитуда рассеяния фотона на фотоне не может содержать полюсных диаграмм. Происхождение полк)оных особенностей амплитуд рассеяния, за которым мы проследили, исходя из интегралов Фейнмана, имеет в действительности более общий характер, пе связанный с теорией возмущений. Покажем, что эти особенности возникают уже как следствие условия унитарности (71.2). Предположим, что среди фигурирующих в (71.2) промежуточных состояний п есть одночастичное. Вклад этого состояния; )Тгг — Тг)) '"0 = ))г ) У '/г) ))Рг — г)Тг„гч —, л где р и Л вЂ” 4-импульс и спиральность промежуточной частицы.
Интегрирование по дзр заменим интегрированием по д4р (по области ро = е ) О) согласно дзр э 2ез(рз — Мв)44р (М.-. масса промежуточной частицы). Интегрирование устраняет Л-фУнкцию г)И) (РХ вЂ” Р); пеРейдЯ затем от амплитУд ХХг к амплитУдам ЛХХ4 согласно (64.10) г найдем (ЛХХг М.*Х)( А"" ) = 2яггг(р — М ) ~) М1ВМ ° (79.3) л Предполагая Т- и Р-инвариантность, будем иметь (с точностью до фазового множителя) ЛХ,Х = МХг,г, где состояния г', Хч отличаются от г, Х лишь знаком спиральностей частиц (при тех же импульсах).
Взяв сумму равенств (79.3) и такого же для МХ; — М,*,р, получим 1гпМХ) — — — ггпу(р — М )Л, (79.4) 358 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ гл. Щн где обозначено М71 =Му,+Муж, й= ~ 1Мг„М;„+МР„М*, ) л Отсюда и следует, что Му,, как аналитическая функция от р~ = 1 = Рй = Ре имеет полюс при р~ = М~. Согласно (7ог.18) имеем для полюсной части Я (79.6) которые можно рассматривать как диаграммы, определяющие амплитуду процесса превращения одной совокупности фотонов (реальных или виртуальных) в другую: число Х есть при этом сумма чисол начальных и конечных фотонов. Но сохранение зарядовой четности запрещает превращение четного числа фотонов в нечетное. Поэтому при нечетном Х сумма выражений, соответствующих петлям (79.6), должна обратиться в нуль.
Обращается, следовательно, в нуль также и суммарный вклад в амплитуду рассеяния двух диаграмм, содержащих эти петли в ка- ) Это следует из тех же соображений о действующем в каждой вершине операторе электромагнитного взаимодействия, которые были указаны в З 13 для реального фотона. (одное) /г (79.5) ра — м -Р1б' Реальные переходы в одночастичное состояние возможны только при значении Р/ = Рз равном Мз. Таким образом, мы действи- 1 тельно получили структуру амплитуды рассеяния, отвечающую диаграмме вида (79.1).
Наконец, остановимся на важном свойстве диаграмм, содержащих замкнутые электронные петли. Это свойство можно легко получить путем применения к виртуальному фотону понятия зарядовой четности: виртуальному фотону, как и реальному, надо приписать определенную (отрицательную) зарядовую четность ') . Если некоторая диаграмма содержит замкнутую петлю (с числом вершин Х ) 2), то наряду с этой диаграммой в амплитуде рассматриваемого процесса должна фигурировать также и другая диаграмма, отличающаяся от первой лишь направлением обхода петли (при Х = 2 понятие направления обхода, очевидно, не имеет смыт"га). «Вырежем» эти пегли по идущим к ним штриховым линиям.
Мы получим тогда две петли П1 и Пп: 359 9 79 ВИРТУАЛЬИЫБ ЧАСТИЦЫ ч естве своих составных частей (так называемая теорема, Фарри; И', Н. Тиггд., 1937). Таким образом, при составлении амплитуды какого-либо процесса можно вовсе не рассматривать диаграмм, содержащих петли с нечетным числом вершин. Проследим более детально за происхождением указанного взаимного сокращения диаграмм. Замкнутой электронной петле отвечает выражение (при заданных импульсах фотонных линий й„й,,...,й,) 71 р Яр(('уе7)С(р)( уез)С(р+ Й7)...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
