В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Определить отношение сечений рассеяния спиральных электронов с параллельными и антипараллельными спинами в ультрарелятивистском случае. Р е ш е н и е. В (81.4) надо положить, согласно »29.22), 1 в 1 р, = -(эр, Ц1 — 2л,э ), ре = -(Тр2К1 — 2ле 12), 2 2 1,, 1 Р2 = 7Р1 Р2 = ~Р2 2 2 где Л», Л» = т 172. Вычисление следов производится по приведенным в З 22 формулам; в частности, Бррэ~( ~а)7р» ~7Ь)7 ) Бр~"~~»эс) 7„(721)7„) = = »в»еРР~ орЬ»)»е г 21 ) = 2(ЬРỠ— В~8~)арб»с 21 = 2»Рас)»РЬН) — 22»ас1)(Ьс).
В результате получим 2 2 212 12 п2 рп 12 и2 1и Поскольку импульсы сталкивающихся электронов 1в системе центра инерции) взаимно противоположны, то одинаковым спиральностям»Л» = Л2) отвеча»от антипараллельные спины, а различным спиральностям (Л» = — Л2)— параллельные спины. Подставив э, 1, и из (81.8) 1считая р е ), найде»1 2 2 для искомого отношения — = -(1+ б сов В+ соэ В). Витт ,2 4 Ю Иа-1» 8 Это соотношение минимально (1/э) при В = я/2. 372 взаимодействие электРОБОЕ гл.
1х 5. То же для рассеяния гюзитронов па электронах. Р е ш е н и е. В этом случае вместо (81.4) надо вычислять 2 4 [Л(р[ -116 '( — 8р(Р1-~ер-7 ) 8р(РР-ТРР 7.)— 42 — — 8р(Р'-ТРР-7"Р 7 Р' р)+" ) ги (остальные члень1 полУчаютсЯ из написанных пеРестановкой Рт и Р~ ). Матрицы плотности: 1 1 р = — (ур )(1 — 2Л уз), Р1.
= — (урт)(1+2Л4.74), 2 2 1 Р— =, ТР— Рт = Тут 2 2 где Л4., Л = х1,12 (причем для позитрона, как и для электрона, Лт = означает спин, направленный по его импульсу). Вычисление дает Ж 12 ие ги 12 и2 ги Отсюда для отношения сечений получается резулыат, совпадэю1ций с фор- мулой (1) задачи 4. б. Определить сечение рассеяния мюопов па электронах. Р е ш е н и е. Процесс описывается всего одной диаграммой (73.17). Вместо (81.5) имеем 441 4 1 (Р,р )2 — гаере [з — (п1+ р)2)[э — (т — 112)2) У(1, ) = . 8р[(7р',+р)7 (7р +р)-П8РИ7р',+ ЬА(7р 4- )7-) 1 1612 (р„ре и р',, р'„начальные и конечные 4-импульсы электрона и мюона; гп, р — их массы). Инварианты: э = (р,.
+ уе) = те + ре + 2р,р„, 1 = (р, — р„,) = 2(т — р,р„,) = 2(р — у„у„), и= (р, — р„) =т -~-р — 2р,р„, э+1+ и = 2(т 4- рз). Вычисление приводит к результату у = — ((р,.р„)2 4- (р„р'„)2 4 -(т'+ рз)1) = = — (* -~- (т, + р )(21 — т — р )). 42 2 (2) Формулы (1) и (2) решают поставленный вопрос. В системе центра инерции е 44о 841 = х 8(е, + ЕР)1рз з1п~(В/2) х [(е,е„4 рз)2 + (е,ее + р сов В) — 2(т + р )р з1п~(В)2)), 2 2 где Во = 2хэшВг(В, е„е — энергии электрона и мюона; р' = Е2 — т = Е2 — р2. При р << р2 мы возвращаемся к формуле (80.9) для рассеяния иа 2 81 РАССЕЯНИЕ ЭЛЕК'ТРОНОВ И 11ОЗИТРОНОВ НА ЭЛЕКТРОНЕ 373 2 2 неподвижнолл кулоноволг центре.
В ультрарелятивистском случае Гр » р ) г' 1 -~- сов~(й/2) 4Го = 4Го. 8рг еш4 ГВГ'2) В лабораторной системе Гв которой до столкновения покоится электрон) 2 ~ т 2 эх 2 / Здесь ЕР - энергия, а и„= р„/ее . скорость налетающего мюона; тЬ = е', — т = ЕР— е' — энергия электрона отдачи, а 212 41... = тг 4- рг -(- 2гпе максимальное значение Ь.
7. Определить отношение сечений взаимного рассеяния спиральных элек- тронов и мюонов с параллельными и антипараллельными спинами в уль- трарелятивистском 4шучае Ге„» д, е, » т). Р е ш е н и е ') . Аналогично задаче 4 находим 41пгг 4 в = сое 4Готг 2 1Гà —. угол рассеяния в системе центра инерции). 8.
Опредолить сечение превращения электронной пары в мгоонную ГВ. Б. Берестецкий, И. Я. Померанчук, 1955). Р о ш е н и е. Это другой кросс-канал реакции,к которой относится ре-рассеяние. В этом канале в = Гр, — рл), Г = Гр, — р,), и = (р, — ре), где р, р, — 4-импульсы электрона и позитрона, а р„, р„— лпоона и антимю- она.Порог реакции отвечает энергии электронной пары, равной (в системе центра инерции) 2р, так что должно быть 1>4р~. В лабораторной системе, в которой до столкновения покоится электрон, а позитрон имеет энергию ет, 1 = 2пиее + т) 2тсе, так что должно быть ем > е„, где пороговая энергия е, = 2рггГт (здесь и ниже произведены вге пренебрежения, допускаемые неравенством р» т). Дифференциальное сечение (вместо (1), Г2) задачи б) 4яе 444 44ГА а ~- и г 4 Г ГГп = ГГВ и) 4гге — ~' +2р 1 — р'] .
=( ) При заданном 1 величина 4 пробегает значения между границами, опреде- ляемыми уравнениями ви р4, в+1+ и 2рг, т. о. 2 2 г Г 1 ----,62-214 4 '--4- гà — 41. 2 2 2 2 Элементарное интегрирование приводит к резулыату: — — — ~1+ — ~, г,=— ) Другой способ решения этой задачи дан в конце З 144. 374 взлимодвйствив элвктгонов гл. ~х 3 82. Ионнзационные потери быстрых частиц Рассмотрим столкновения быстрой релятивистской частицы с атомом, сопровождающиеся возбуждением или ионизацией последнего. В нерелятивистском случае такие неупругие столкновения были рассмотрены в П1, 2 144 150; здесь будет дано релятивистское обобщение полученных там формул (Н.А.Вейе, 1933). Скорость падающей на атом частицы предполагается большой по сравнению со скоростями атомных электронов (теы самым во всяком случае предполагается, что Уо « 1,,т.
е. атомный номер не слишком велик). Этим условием обеспечивается применимость борновского приближения к рассматриваемому процессу. Решение задачи несколько различно в зависимости от того, является ли быстрая частица легкой (электрон, позитрон) или тяжелой (мезон, протон, о-частица и т. и.). Мы рассмотрим здесь последний случай, более простой. Пусть р = (е, р) и р = (е~, р ) начальный и конечный импульсы быстрой частицы в лабораторной системе отсчета, в которой атом до столкновения покоился; разность д = р — р дает энергию и импульс, передаваемые частицей атому. Разделим весь интервал возможных передач импульса на две области: 1) — «т, П) — »1, (82.1) где т, -- масса электрона, 1 — некоторая средняя атомная энергия (потенциал ионизации атома). Обе области перекрываются друг с другом при 1 « с12/т « т; это обстоятельство позволит произвести точную сшивку результатов, получающихся для каждой из областей. Будем говорить о значениях с1 в первой и во второй областях соответственно как о малых и болыпих передачах импульса.
Малые передачи импульса. В этой области атомные электроны можно считать нерелятивистскими как в начальном, так и в конечном состояниях атома. Амплитуда процесса дается вы- ражением 1141,~ = е 7ло( — д)7р„(д)11„,(д), (82.2) (в лабораторной системе 1 = 2те+). Эта формула пеприл1енима в непосредственной близости к порогу: когда е+ — е — ре, образующиеся мюоны 4 нельзя считать свободными частицами (с учетом же кулонового взаимодействия между ними сечение будот стремиться при ет — > е„не к нулю, а к константе (см. 111, 1 147)). Сечение (1) максимально при ет = 1, 7е,. Его значение в максимуме примерно в 20 раз меньше сечения двухфотопной аннигиляции при той же энергии. 375 ИОН ИЗАЦИО ННЫЕ ПО ГИРИ БЫСТРЫХ ЧАС!ТИЦ (82.4) Тогда и для 4-токов перехода в (82.2) нужны только их пространственные компоненты.
Атомный ток перехода Л»в(с1) в данном ш!учае есть компонента Фурье обычного нерелятивистского выражения: Лпо(с1) = — е Счч(ФПТ»сф — «)!„»сФП)с1 х, (82.5) где сРП, с)! атомные волновые функции (причем для упрощения записи мы опускаем здесь и ниже знак суммирования по электронам атома, т.
е. пишем формулу так, как если бы в атоме был всего один электрон). Проинтегрировав в первом члене по частям, Б«огкно переписать это выражение в виде матричного элемента: Лпо(с1) = -(че "'" + е 'ч"ч)по 2 (82.6) ! где м = — — м — оператор скорости электрона. СП Что касается тока перехода рассеиваемой частицы, то ввиду относительной малости теряемого ею импульса (~с1~ << ~р~) можно заменить его просто диагональным элементом Лрр(0) = 2рв, (82.7) отвечающим классическому прямолинейному движению (ср. ниже (99.5)); здесь введен также множитель Б, учитывающий возможное отличие заряда частицы (ге) от заряда электрона.
где Л„о . 4-ток перехода атома из начального состояния (О) в конечное (и), ЛР„- 4-ток перехода быстрой частицы; эти токи заменяют здесь собой выражения (и'~и), которые стояли бы, например, в амплитуде рассеяния двух «элементарных» частиц электрона и мюона (73.17) (ср. также (139.3)). Токи перехода берутся в импульсном представлении (см. (43.11)). Сечение процесса в лабораторной системе отсчета: 13 с1сРН = 2л-б(Б — Б' — сц„о) М~у," ~" , (82.3) 2~Р~2«'(2Х)З ' где ы„в = Š— Еп -- частота перехода между состояниями атома.
Конечное состояния может относиться как к дискретному, так и к непрерывному с!тектру, первый случай отвечает возбуждению! а второй —. ионизации атома. В законе сохранения энергии (учитываемом Л-функцией в (82.3)) пренебрежено энергией отдачи атома, чСо заведомо допустимо при малых передачах импульса. Фотонный пропагатор удобно выбрать в данном случае в калибровке (76.14) ! в которой отличны от нуля лишь его пространственные компоненты: 376 Взаимодействие эле1ЕТРОНОВ ГЛ 1Х Малость с1 означает также и малость угла отклонения частицы д. При этом продольная и поперечная (по отношению к р) компоненты с1 равны — д1 — — ра1 о = м— "е. д, — (р)д, (82.8) не и так что с1Р— — а 1пю.
Подстановка И82 4Н82.8)) в (82.2) дает с Учетом того, что СΠ— 1'1п01 + (рЪ'Е-1Чг + Е 1Чгрт1) О). В первом члене замечаем, что с1тг 7" + ~с1зг = 21 ~, где ~ = е 'ч' (сы. Ш, 8 149); поэтому матричный элемент этого ОПЕратОра СОВПадаЕт С МатрИЧНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ 210')пе = 2СОпо)пе. Во втором же члене достаточно заменить, ввиду малости с11 е 'ч' единицей. Тогда ЛХ1,. = — 1Е(Е )пе — ЛРГпаа1пе). (п) 8ксе — 1чг Квадрат людуля этого выражения; Му, = ., (е~ ~(е 'и')по~ +2(с1гпо)(Рг о)еюпо+ (Чз)' + (ргг а)~о1~о) (82.9) (во втором члене здесь положено е 'чг = 1 — лс1г; в первом члене этого нельзя сделать по причине, которая выяснится ниже, . см.
примеч, на с. 378). Потери энергии быстрой частицей в результате ее неупругих столкновений с атомами ') определяются величиной г -=Я-"'- = — ~Г-"-"' ' п где суммирован1ле производится по всем возможным конечным состояниям атома, а интегрирование по направлениям рассеянной частицы; будем называть эту величину эффективным торможением (отноплеллие зс/а называют сечением потери энергии).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
