В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 73
Текст из файла (страница 73)
) Эти потери часто называют ионизационными, хотя они связаны не только с ионизацией, но и с возбуждением атомов. 377 ИОНИЗАЦИОИНЫЕ ПОТЕРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ Интегрирование в (82.10) можно произвести в два этапа: как усреднение по азимуту направления р' относительно р и затем интегрирование по до' — 2лддд, где д — малый угол отклонения. Первая операция заменяет Чгпо на гъ Чгпо з г) тпо = — тпо, Ю где и„о матричный элемент одной из декартовых координат атомных электронов ') . Интегрирование же по д можно заменить интегрированием по д, заметив,что г Мг д~ = огайо+ Ч2 = — ызо+ —,г + р д = е, +рзд2 (8211) о Р' и потому 2ддд = г1~д2~/р2 (М - масса быстрой частицы).
В ре- зультате получим Нижний предел интегрирования по г)~: 2 ~~ 2 ~9 ~пйп = —,ыпо Рг (82.13) В качестве жс верхнего предела выберем некоторое значение ~92 ~1 такое, что 1 « — ' « тз ~л Ь (82.14) — « ъу1Ио « М (82.15) (величина тсг порядка величины импу.льсов атомных электронов). В области а) можно разложить е 'ч" = 1 — гЧг, и вклад этой г ) Безразлично какой: после подразумевагощегося ниже суммирования по направлениям момента атома в конечном состоянии матричный элемент т,е уже не зависит от направления оси х, т. е. лежащее в области перекрытия областей 1 и П (см.
(82.1)). Интегрирование и суммирование в (82.12) осуществляется подобно тому, как это было сделано в т. П1, 3 149 для нерелятивистского случая. Весь интервал интегрирования разделим еще на две части: а) от )с)~)п,й, до )с)~(о и б) от )9~)о до )92)ы где значение )92)о такое, что 378 Взлимодвйствив элвктгонов гл 1х области в згпринимает вид М'~о 2 ) 2) 2 Л ( 2(2 ~Ч21 (Интегрирование во втором члене можно распространить до бесконечности.) Суммирование осуществляется с помощью формулы (82.16) где Е число электронов в атоме (см. П1, (149.10)).
Результат представим в виде ( 2)2яг !2) 2 (82.17) пгв2 1 Л2212 В области же б) имеем, согласно (82.11), ~92~ р~д~, т. е. ~де~ не зависит от номера п конечного состояния атома; не зависят от и также и пределы интегрирования. Поэтому суммирование по и в (82.12) можно произвести под знаком интеграла. В первом члене опо осуществляется формулой ~ ~(Е 2Ч")ве~ Ьпе = — !9'~ (82.19) (сы. П1, (149.5)), и интеграл от него равен ') 2яУ(зе2)2 1 )д~)1 Ио Интеграл же от второго члена в (82.12) по этой области дает пренсбре>кимый вклад в 22.
') Логарифмическая расходимость интеграла па верхнем пределе есть как раз та причина, по которой в первом члене в (82412) нельзя было разлагать е '"" по степеням ц. где 1 - некоторая средняя атомная энергия, определяемая фор- мулой 379 ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОГКРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ Складывая погледшою формулу с (82.17), находим вклад в Аг от всей области малых передач импульса; 222У(2Б2) ~ )22(2р 2~ т~~ ~ 2Р2 ~22 (82.20) Большие передачи импульса. Обратимся к столкновениям с передачей импульса, большой по сравнению с импульсом атомных электронов (С12 » ш7).
В этой области можно, очевидно, пренебречь связью электронов в атоме, т. е. считать их свободными. Соответственно этому столкновение быстрой частицы с атомом будет представлять собой ее упругое рассеяние на каждом из Я атомных электронов. При этом ввиду большой скорости частицы атомные электроны можно считать первоначально покоящимися. Обозначим через тЬ энергию, передаваемую быстрой частицей атомному электрону, и пусть Йоа сечение упругого рассеяния с такой передачей.
Дифференциалыюе эффективное торможение на всем атоме будет тогда сЬс = 2 п22' г1НП. (82.21) 22нр2 22пр ги 2А 2п Ах т2 -Р Л2 2 + 22НБ 2и 2 Ч- 2тг где е и р - энергия и импульс налетающей частицы (см. П, (13,13)). Будем предполагать далее, что энергия е хотя и может быть ультрарелятивистской (е» М), но в то же время ЛХ е « —. (82.22) Тогда даже максимальная передаваемая энергия 22ир 2 2 тЬ„„Ах = = 2тпц .7 2 ,1т2 7 = — = (82.23) остается еще малой по сравнению с первоначальной кинетической энергией падающей частицы (2ПЬ„„х « е — М). Соответственно и передача импульса с1 остается всегда малой по сравнению с первоначш2ьным импульсом частицы р. Это обстоятельство 2тозволяет считать движение последней неменяющимся при столкновении, т.
е. рассматривать падающую частицу как бесконечно тяжелую. Тогда сечение рассеяния получится просто преобразованием сечения рассеяния электрона на неподвижном центре (80.7) к лабораторной системе отсчета, в которой электрон Максимальная энергия, которая может быть передана покоящемуся электрону сталкивающейся с ним частицей массы М» ш, равна 380 ВЗАИМОДВЙОТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ. 1Х первоначально покоился.
Это легко сделать, заметив, что в ука- занном приближении <72 - с12 4рэв)пг д с1ог = Я44 2 рг а относительная скорость е в обеих системах одна и та же. Формула (80.7) принимает вид г)г ~ г~ ег г, 4тг уг l )игр Передача энергии га выражается через тот же инвариант 17 сог гласно — 17~ = 2т~гл. Поэтому имеем ') 2я(вег)г г' 2 д х сгд (82.24) го 1 о г Вклад в эффективное торможение от рассматриваемой области передачи импульса получится интегрированием (82.21) в пределах от введенной выше границы ~17~~1 до ~17~~пг = 2тэьтш, . Он равен (82.26) ) В этой формуле не учитываются, конечно, специфические эффекты сильных взаимодействий, осли тяжелая частица является адроном.
Эти эффекты (адронный формфактор), однако, становятся существенными лишь при ~д~ ~ сх 1/Л4~, а при условии (82.22) такие передачи импульса исключены. 2я(хе~)~а (1 2га„„,тг 2) (82.25) гпег 1 Цг( Наконец, сложив вклады (82.20) и (82.25) г получим окончатель- но пгедующий результат для полных ионизационных потерь бы- строй тяжелой частицы: 4кЯ1вег)~ 7 2шов ог, 7П - "7с ) кг У' (в обьпшых единицах). В нерв.лятивистском случае отсюда полу- чается прежняя формула (150.10) (см.
П1: 4яЯ(лег) 21пог (82.27) шов а в ультрарелятивистском счучае 4яа(лег) (1 2тс~ ) (82.28) ьчсг г г (1 — ог/сг) Торможение зависит только от скорости (но не от массы) бы- строй частицы. Убывание торможения при увеличении скорости, согласно (82.27), сменяется в ультрарелятивистской области мед- ленным (логарифмическим) возрастанием. 381 уРАВнение БРейтА 2яле гг тес~те 1) и = ~)гг тсг ~, 21' 8 (2) 2.
То же для позитрона. Р е ш е н и е. Для 4)о а в области больших передач следует воспользоваться (81.23), причем верхний предел по гл равен Л вЂ” 1. Ответ в ультрарелятивистском случае: 2хле г' 2тгсгзэ 231 М= гпсг Г, 14 12) 8 83. л'равнение Брейта Как известно, в классической электродинамике система взаимодействующих частиц может быть описана с помощью функции Лагранжа, зависящей лишь от координат и скоростей самих частиц и правильной с то шостью до членов 1/с (см.
П, 8 65). Это обстоятельство связано с тем,что излучение появляется лишь как эффект порядка 1ггс . В квантовой теории этой ситуации соответствует возможность описания системы уравнением Шредингера, учитывающим члены второго порядка. Для электрона, движущегося во внешнем электромагнитном поле, такое уравнение было установлено в 8 ЗЗ. Теперь мы займемся выводом аналогичного уравнения, описывающего систему взаимодействуюп1их частиц. Будем исходить из релятивистского выражения для амплитуды рассеяния двух частиц. В нерелятивистском приб.лижепии она переходит в обычную борновскую амплитуду, пропорциональную компоненте Фурье потенциала электростатического взаимодействия двух зарядов.
Вычислив же амплитуду с точностью до членов второго порядка, мы сможем установить вид соответствующего ей потенциала, учитывающего члены 11гс . Предположим сначала, что две частицы - различные, с массами ьч1 и т2 1скажем, электрон и мюон). Тогда рассеяние Задачи 1. Определить эффективное торможение релятивистского электрона. Р е ш е н н е. Вклад области малых передач импульса по-прежнему дается выражением (82.20). Для обласги больших передач вместо (82,24) следует воспользоваться формулой (81.14), учитывающей обменные эффекты.
Интегрируя гаг)ол по 4)га от ~д ~4442т до ( у — Ц442 и складывая с (82.20), находим 2х7е4 1 тг(чг 1Кл — ЦБ4 г'2 1 1 1 (1 — Цг) Нг 21г у' ) уг 8 уэ у=(1 — е ггс) В перелятивистском случае получаем формулу из задачи к 8 149 (сьг. 11Ц, а в ультрарелятивистском 1у )) Ц 382 ВЗЛИМОЛВЙОТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ 1Х изображается одной диаграммой Р1 У1 Ей соответствует амплитуда Муг = е (и1'у"иу)Ху,„г(гу)(изупи2), д =р1 — р~ = р2 — р2 (83.1) (здесь предположено, что заряды частиц одного знака; в противном случае е заменяется на — е ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
