В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 70
Текст из файла (страница 70)
), (79.7) где р, р+ Ан, ... - импульсы электронных линий (остающиеся не вполне определенными после учета законов сохранения в вершинах). Произведем над всеми матрицами 79 и С операцию за рядового сопряжения, т. е. заменим их на Г;, 7"Ь7с и Г~, С17с. Выражение (79.7) при этом не изменится, так как след произведения матриц инвариантен относительно такого преобразования. С другой стороны, согласно (26.3), (79.8) Ь7с 7"сс = 7 а потому (79.9) с7с С(р)сс =,, = С( — р).
Но замена С(р) транспонированной матрицей с измененным знаком у р означает, очевидно, изменение направления обхода петли, в которой направление всех стрелок заменяется обратным. Другими ш7овами, произведенное преобразование превращает одну петлю в другую, причем появляется множитель ( — 1), происхол~ дящий от замены (79.8) в каждой вершине. Таким образом, П, = ( — 1)'Пп, (79. 10) т. е.
вклады обеих петель одинаковы при четном и противопо- ложны по знаку при нечетном числе вершин. ГЛАВА 1Х ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ 9 80. Рассеяние электрона во внешнем поле Упругое рассеяние электрона в постоянном внешнем поле представляет собой простейший процесс, существующий уже в первом приближении теории возмущений (первое борновское приближение). Ему отвечает диаграмма с одной вершиной 1 чр~ (80.1) Р' р где р и р' начальный и конечный 4-импульсы электрона, а ц = = р — р. Поскольку энергия электрона при рассеянии в постоянном поле сохраняется (е = е'), то г) = (О, с4) ') .
Соответствующая амплитуда рассеяния М), = — еи(р') [уА(') (с1)) и(р), (80.2) где А(е)(с)) — компонента пространственного разложения Фурье внешнего поля. Сечение рассеяния, согласно (64.26), ,4о- = ' ~М,,~'Цо', (80.3) Для электростатического поля А(') = (Ао'), О), так что Му; = — еи(р') у~и(р)Ао'~(с1) = — си*(р')н(р)Ав(') (с1). (80.4) В нерелятивистском случае биспинорные амплитуды плоских волн и(р) сводятся к нерелятивистским (двухкомпонептным) амплитудам. Для рассеяния без изменения поляризации это не зависящая от р величина, причем в силу принятого нами условия нормировки и*и = 2т. Учитывая это, получаем = — — (У(1) 1~ 27г ') В случае внешнего поля такая диаграмма не запрещается, конечно, законом сохранения 4-импульса (как это было в диаграмме (7349) с реальным фотоном): квадрат дэ, в отличие от квадрата 4-импульса реального фотона, не должен быть равен нулю; из интеграла Фурье, представляющего внешнее поле, автоматически выбирается компонента с нужным д, 361 1 80 РАОСЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ НОЛЕ где Г(с)) = ЕАВЯ (с)) -.
компонента ФУРье потенциальной энеРгии (я) электрона в поле;, это выражение совпадает с известной формулой Борна (П1, (126.7)). В общем релятивистском случае сечение рассеяния неполяризованных электронов получается усреднением квадрата (Му;! г по начальным и суммированием по конечным поляризациям, т. е. путем образования величины -' ~ )М,,)г, поляр где суммирование производится по направлениям спина начального и конечного электронов; множитель /г превращает одно из этих суммирований в усреднение. По изложенным в 8 65 правилам получим — ~~', РЬ~ =28раИ"~о )а(уАо ) = поляр =-'~Ао"(1)~гБр( +ург)уо( + ур)7о. для вычисления следа замечаем, что 7о(7р)уо = чр, где р = = (Е, — р), и пОтОму — Бр(т+ ур')7 (т+ ур)", = — Бр(т+ ур')(гп+ ур) = 4 = т +р'р и вг + т + рр' = 2е — с1,112.
Отсюда сечение (80.5) 4 г 1 4 / Для поля, создаваемого статическим распределенном зарядов с гпютностью р(г), имеем ~)я)( - 4яр(Ч) (80.6) где р(с1) фурье-образ распределения р(г) (формфактор). В частности, для кулопова поля точечного заряда е е имеем: р(с)) = = е е. Тогда сечение рассеяния 1Ь = до', (1 — —,) (80.7) (У. г. МО11, 1929). Квадрат с1г = 4рг Вгпг(йд) 362 Взаимодвйотвив элвктРОНОВ ГЛ. 1Х где 0 - угол рассеяния. Поэтому выражение перед скобкой по своей угловой зависимости может быть названо резерфордовским сечением: 414 4р4 2 (в перелятивистском пределе коэффициент г /р — + 1/(юп о )). Таким образом '), /п = /и„,('1 — 'в)п2 9'). (80.9) 2/ Отметим, что в ультрарелятивистском случае угловое распределение отличается от нерелятивистского сильным подавлением РаССЕЯНИЯ НаЗаД (ПРИ Ц вЂ” 4 4Г; ЙГ/44СГрез — > т /а ). В ультрарелятивистском случае для рассеяния па малые углы (80.7) дает йт = ( до'.
(80.10) е4В4 Хотя эту формулу л1ы получили в борновском приближении (т. е. предполагая Яе « 1)., она., тем не менее, остается справедливой (лля углов О < т/е) также и при Лез 1. В этом можно убедиться с помощью ультрарелятивистской точной (по Ле ) волновой функции 4р,р (39.10).
Это решение, справедливое в обла- 44-) сти (39.2), остается, конечно, справедливым и в асимптотической области сколь угодно болыпих г. Здесь Г сх 1+ сопв1 е'("" Р"), 1 — сов О О « 1, е так что поправочный член остается, как и следовало ожидать, малым. Волновая жс функция вида е'РгГ, совпадая по форме с нерелятивистской функцией (с очевидным изменением параметров), имеет тот же асимптотический нид, а поэтому и для сечения получается резерфордовскос выражение. Для вычисления сечения рассеяния произвольно поляризованных электронов можно было бы воспользоваться по общим правилам матрицей плотности (29.13). В данном случае, однако, 1 ) Выражаемое этой формулой отличие 44о от 44пр44 специфично для частиц со спином '/1. Для рассеяния частиц со свином 0 (если бы их движение в электромагнитном поле описывалось волновым уравнепиел4) 1юлучилось бы 41п = Нхтр„.
На первый взгляд кажется странным, что выражающий этот чисто квантовый эффект множитель не содержит а. Надо, однако, помнить, что условие применимости борновского приближения (ез/(бс) « 1) противоположно условию квазиклассичности лля движения в кулоновом поле и поэтому переход к классическому случаю в формуле (80.9) невозможен. 363 1 80 РАОсеяниВ зггектРОнл ВО Внешнем нОле можно получить результат менее громоздким способом, представив биспинорные амплитуды и[р') и и[р) в виде (23.9); перемножив их, получим и, [р)и[р) = игг ),е+ т+ [е — т)[п~о)[пгт)1ю, или, воспользовавшись формулой [33.5), и [р)и[р) = ю гюг [80.11) где ') г'=А+Вюо, А = [е+ т) + [е — т) сов 0, В = — 2[к — т) егпВ, [80.12) [пп ) Мвв Двухкомпонентная величина [3-спинор) ю представляет со- бой нерелятивистскую спиновую волновую функцию электрона.
Переход к частично поляризованным состояниям осуществляет- СЯ ПОЭТОМУ ЗаМЕНОй ПРОИЗВЕДЕНИЙ ЮОЮ,*~ [а, )2 СПИНОРНЫЕ ИН- дексы) нерелятивистской двухрядной матрицей плотности р р. Таким образом, надо заменить Му )г 2 ег)АВ [Ч))г ВРР[А — Вио)рг[А+ Вио), где р = - [1 + о 1, ), р' = - [1 + ст1,г), 2 2 а г, и г,'- — векторы начальной и конечной поляризации, выделя- емой детектором. Вычисление следа приводит к результату 1 (1 + [А — )В ))ьь' -ь 2)В)2[иь)[ич') -ь 2А)В)и[ьч') ) [80 13) Аг г )В)г где Ыо-- сечение рассеяния неполяризованных электронов. Представив фигурную скобку в [80.13) в виде 11 + 1,[г)г,'), найдем поляризацию конечного электрона как такового [в от- лично от детектируемой поляризации 1'," см. 8 65 ) 2): [1) [Аг — )В ))г, -~- 2)В)2[и4)и -~- 2А)В)[иг,) А2 + )В)2 Мы видим, что рассеянные электроны поляризованы, лишь ес- ли поляризованы падающие электроны.
Это обстоятельство-- общее свойство первого борновского приближения [ср. П1, 8 140). ') Определения г' здесь и в 3 37, 8 38 различаются общим множигелем. ) Формула [80.14) отвечает формуле, найденной в задаче 1, [см. т. П1, 'г 140) и получается из нее при вещественном А и мнимом В. 364 ВЗАИМОДВЙОТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ. 1Х В нерелятивистском случае (е — ~ т) из (80.14) получается ~( ~ = ~, т. е, электрон сохраняет при рассеянии свою поляриза- цию (естественное следствие пренебрежения спин-орбитальным взаимодействием).
В обратном, ультрарелятивистском, случае имеем А = е(1+ сов 0), В = — нез1пд (в соответствии с общей формулой (38.2)). Если при этом падающий электрон имеет определенную спи- ральность (~ = 2Лп, Л = ~1/з), то из (80.14) получается после простого приведения С(В = 2Лп'.
Другими словами, после рассеяния электрон остается спираль- ным, сохраняя прежние значение (Л) спиральности. Это свойство, как уже было обьяснено в 3 38, связано с тем, что при пренебрежении массой уравнение Дирака в спинорном представлении распадается на два независимых уравнения для функций ~ и ц. Этот результат имеет и более общее значение, поскольку ток .1 =Ы*1+0Ъ б' ( — ц' ~), а с ним и оператор электромагнитного возмущения Р = еуА, не содержат смешанных по с и и членов, а потому не имеют матричных элементов для переходов между ~- и пйсостояниями. Отсюда снедует, что если ультрарелятивистский электрон обладает определенной спиральностью (т.
е. отлично от нуля либо ~, либо и), то в процессах взаимодействия эта спиральность будет сохраняться в приближении, отвечающем полному пренебрежению массой электрона. 3 81. Рассеяние электронов и позитронов на электроне Рассмотрим рассеяние электрона на электроне: два электрона с 4-импульсами рм рз сталкиваются, приобретая 4-импульсы р1', рз'.
Сохранение 4-импульса выражается равенством Р1+ Рг = Р1+рз. (81.1) Ниже мы будем пользоваться введенными в 3 66 кинематически- ми инвариантами, определенными согласно В = (р|+ рг) = 2(т + р~ря), 1 = (р1 — р~) = 2(т~ — р1р1), (81.2) и = (р1 — р(~) = 2(тв — р1р'), В+1+и=4тп . 8 81 РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И 11ОЗИТРОНОВ НА ЭЛЕКТРОНЕ 365 Рассматриваемый процесс изображается двумя диаграммами Фейнмана (73.13), (73.14), и его амплитуда равна ') Му, = 4яе2( — (иту"и2)(й1 уииг) — — (и1'у'и2)(и2 у,и1)). (81.3) и Согласно указанным в 8 65 правилам для состояний начальных и конечных частиц, описывающихся поляризационными матрицами плотности р1, р1/,..., заменяем Ф11~ Р 16Я е ( —,8Р(Рг'у" Р2'у ) 8Р(Р1'уиР1'уо) + + —,8Р(Р17"Р2 у ) 8Р(Р2'уИР1 Ь)— 8р(Р2'у 'Р2'у Р1'уггР1 "ге) 8р(Р1'у"Р2'у РзуиР1'уо)) (81 4) Для рассеяния неполяризованных электронов (не интересуясь при этом их поляризацией после рассеяния) мы должны положить для всех матриц плотности р = 1,У2(ур+ т,), умножив результат на 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
