В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Наиболее общий вид 4-тензора второго ранга, зависящего только от 4-вектора ~ = т — х', есть Рр,Я = д„Р(5~) — д,„д,Р69(б~). (76.2) где Р, Р(~) .- скалярные функции инварианта ~~ ') . Отметим, что тензор автоматически оказывается симметричным. Соответственно в импульсном представлении будем иметь Ррг()с) = РЯ~1д. + Й.ЙРР(~)()с~), (76 3) где Р()с~), Р(~) ()с~) — компоненты Фурье функций Р((~), Рр) ((й). В физические величины амплитуды рассеяния фотонная функция распространения входит умноженной па токи переходов двух электронов, т.
е. в комбинациях вида ДРр,~4з (см., например, (73.13)). Но в силу сохранения тока (др)" = 0) его матричные элементы уш = зрй-фГ удовлетворяют условию 4-поперечности ~р0Р)в, = 6, (76А) где 1' = рз — р> (ср. (43.13)). Ясно поэтому, что никакие физические результаты не изменятся при замене Рри Р Рри + Хр1Р + ХР~"р; (76.5) где Хр любыс функции 14 и 16.
Этот произвол в выборе Рр, соответствует произволу в калибровке потенциалов поля. Произвольное калибровочное преобразование (76.5) может нарушить релятивистски инвариантный вид Рр, предположенпый в (76.3) (если величины Хр не составлнют 4-вектоРа). Но и оставаясь в рамках релятивистски инвариантных форм пропагатора, мы видим, что выбор функции Р(~)(А;з) в (76.3) вполне произволен, он не отразится на физических результатах и может устанавливаться из соображений удобства (Л. Д. Ландау, А.
А. Абрикосов, И. ЛХ. Халагпнихов, 1954). Нахождение функции распространения сводится, таким образом, к определению всего одной калибровочно-инвариантной 1 ) Эти 4зункпии различны в трех областях значений аргумента, пе переходящих друг в друга при преобразованиях Лоренца; вне светового конуса (с ( 0), в верхней (с > О, се > О) и в нижней (с~ > О, Го ( 0) полостях светового конуса.
342 ИНЕАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Гл. Уг!! функции Р(Й ). Если рассмотреть заданное значение Й и выбрать ось з вдоль направления 1с, то преобразования (76.5) не будут затрагивать компоненты Р. = 0„„= — 0(Й2). Достаточно поэтому вычислить всего одну компоненту Р, пользуясь при этом любой калибровкой потенциалов. Воспользуемся калибровкой, в которой г11у А = О и оператор А дается разложением (2.17), (2.18); А = à — (си егаге-гйх+ с+ е(а) егьх) ы = Щ (766) Ыа Гга (индекс Гг = 1, 2 нумерует гюляризации). Из всех средних по вакууму значений произведений операторов с, с' отличны от нуля лишь (О(ск ск )О) = 1. По определению (76.1) получим поэтому Р (~) = 4 1 2"'г1 Й ~ х РО (а)* е г"~ эгкс (76.7) (2 )з г, (~ ~сг ЕЬ (гг Й трехмерные векторные индексы; от суммирования по 1с мы перешли к интстрированию по агаЙ,г'(2я)а). Тот факт, что в показателе эксгюненты стоит абсолютное значение разности т = = 2 — г', есть следствие хронологизации произведения операторов в (76.1).
Из (76.7) видно, что подынтегральнос выражение без множитЕЛя Епгг ЕетЬ КОМПОНЕНта трЕХМЕрПОГО раЗЛОжЕНИя ФурЬЕ фуНК- ции Ргь(гг1). Дла Р „= — Р она Равна 2ггг — г'гу)т~ Х з ~ (а)~2 2ггг — ггу',,т~ гг Для нахождения Р (Й2) осталось разложить эту функцию в интеграл Фурье по времени. Это разложение дается формулой 2ггг ггу т~ 1 1 4тг — гггггт — е и 2я ./ Йаг — йг -~- гО Как было объяснено в предыдущем параграфе, такое интегрирование подразумевает обход полюсов ЙО = ~~1с~ = ~аг соответственно снизу и сверху; при т ) О интеграл определяется вычетом в полюсе ЙО = +аг, а при т ( О вычетом в полюсе Йо = — аг. Таким образом, находим окончательно Р(Й2) 4тг (76.8) З4З 1 76 ФОТО!!НЫЙ ПРОПАГАТОР (76.10) Появление +10 в знаменателе, к которому в изложенном выво- де мы пришли автоматически, совпадает с правилом (75.15); из (равной нулю) массы фотона вычитается 10.
Из (76.8) видно, что соответствукпцая координатная функция Р(Г ) удовлетво- 2 ряет уравнению 0,0 Р(,, ) 4,-5~41(,, ) (76.9) т. е. является функцией Грина волнового уравнения. 54ы будем обычно полагать .О( = О, т. е. пользоваться функ- (О цией распространения в виде 2 4гГ Руи — ИуиР(А ) — .. В!ги А.г + г'О (калибровка Фейима!*а) .
Укажеы также другие способы капибровки, когорые могут представить определенные преимущества в некоторых примене- ниях. Положив Р!О = — Р(16~, получим пропагатор в виде РУи = г г1ОУи г ) (калибровка Ландау). При этом Руи16' = О. Такой выбор анало- гичен лоренцевой калибровке потенциалов (АПИ = 0).
Калибровке потенциалов трехмерным условием 611!!А = 0 аналогична калибровка пропагатора условиями Р, ~' = О! 06!Ю~ = О. Вместе с равенством Рк = — Р = — 4к!!1л эти условия дают Рн =, (бн — — ',') . (76.12) Для того чтобы получить такое Рн, надо произвести над пропа- гатором (76.10) преобразование (76.5), положив 4киг 4кlг, 2(игг — )гг)4гг ' 2(игг — 14')14' При этом для остальных компонент Р„и получается 006 = 4кг716 г РОг О.
(76.13) Такую калибровку называют кулоновой (Ь'. Яа1ре1ег, 1952); от- метим, что 066 здесь - компонента Фурье кулонова потенциала. Пако!Тец, калибровке потенциалов условием Ф = 0 аналогич- на калибровка пропагатора, в которой Ра = —,, (дн — л— ) г Рв = Р66 = О. (76.14) 4к !' 1,1г 'г г-4 (, ' ° )' ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У5!! 344 Эта форма оказывается удобной для применения в нерелятивистских задачах (И.
Е. Дзялошинский, Л. П. Питаеоский, 1959). Все выписанные выражения относятся к импульсному представлению пропагатора. В некоторых случаях удобно пользоваться смешанным частотно-координатным представлением, т, е. функцией Рн,(н5, г) = РРР(о5, 1с)е5и" В фейнмановской калибровке (76.10) РЙР(о55 г) = я55„Р(о5, г), (76.15) где е*"' Н' А.
г е5"' — е Р(щ г) — 4к — — — Ый / е55 — йе -~- 50 (255)е ею е55 — Ь5 -~- 20 0 или, после замены А -э — 5е во втором слагаемом подынтеграль- ного выражения: Е'~" ЫА Р(В5,г) = — ~ ке / е55 — Ье -~- 50 Последнее интегрирование производится путем замыкания контура интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости комплексной переменной Й и сводится к взятию вычета в полюсе к = Ц + 10. Окончательно получим Р(о5, г) = — е' '55г.
(76.16) В связи с этим выражением сделаем следующее замечание. Описываемый диаграммами (73.13), (73.14) процесс можно рассматривать наглядею как рассеяние электрона 2 в поле, создаваемом электроном 1 (или наоборот). Функция (76.16) соответствует обычному езапаздывающему» потенциалу ех е' " (см. П, (64.1), (64.2)) только при В5 ) О. Знак Н5, однако, зависит от условного выбора направления стрелки й па диаграмме.
Отмеченное свойство функции Р(н5, г) означает, что в квантовой электродинамике следует считать источником поля ту из частиц, которая отдает энергию, т. е. испускает виртуальный фотон. В заключение остановимся на вопросе о пропагаторе частиц со снином 1, но с отличной от нуля массой. В этом случае калибровочный произвол отсутствует и выбор пропагатора однозначен.
Подставив уУ-операторы (14.16) в определение С„= — 1(0 ~ Т ф„(т) уУ ~ (т') ~ О), (76. 17) 345 1 77 ОВЩИЕ НРАВИЛА ДИАГРАЪ|МНОЙ ТЕХНИКИ получим выражение, отличагощееся от (76.7) лишь заменой стоящей в подынтегральном выражении суммы по поляризациям на .2." . ' и|~ги|~г . р ы Суммирование по поляризациям эквивалентно усреднению с последующим умножением на 3 — число независимых поляризаций. Усреднение дает матрицу плотности неполяризованных частиц (14.15). Таким образом, в результате найдем следующее выражение для пропагатора векторных частиц: Ссги(Р) = г г (Кри г ) ' Обратим внимание на аналогичную структуру пропагаторов (75.17) и С76.18): в знаменателе стоит разность РЯ вЂ” пг'| а числитель есть, с точностью до множителя, ыатрссща плотности неполяризованных частиц с даш|ым спином. 3 77. Общие правила диаграммной техники Произведенное в 3 73, 74 для некоторых простых случаев вычисление элементов матрицы рассеяния содержит в себе все принципиальные моменты общего метода.
Не представляет особого труда установить путем соответствующих обобщений правила вычисления матричных элементов в любом порядке теории возму щений. Как уже указывалось, матричный элемент оператора рассеяния У для перехода между любыми начальными и конечными состояниями совпадает со средним по вакууму от оператора, получающегося умножением о' справа на операторы рождения всех начальных частиц и слева- на операторы уничтожения всех конечных частиц. В результате такого приведения элемент Я-матрицы в и-м порядке теории возмущений принимает вид фЯ~ ~ )г) = — (О!...
ЬцЬсу... очи... осу х х с|ах| ... с1Ах„Т1Я|( — ге уА|)г)гс)... (ф„( — геуА„)грв)) х х с~,'... а~,... Ь,";... ~0) (77.1) (индексы 1г, 2г, ... нумеруют начвльныс частицы (отдельно позитроны, электроны, фотоны), индексы 1АГ", 2)', ... конечные частицы; индексы 1| 2, ... у операторов гр и А означают: грс = = уг(тс), ... ). Входящие сюда операторы ф, А представляют 346 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Гл.
утн собой линейные комбинации операторов рождения и уничтожения соответствующих частиц в различных состояниях. Таким образом, получаем для матричных элементов выражения в виде средних по вакууму от произведений операторов рождения и уничтожения частиц и их линейных комбинаций. Вычисление таких средних осуществляется с помощью следующих утверждений, составляющих содержание теоремы Вика (С. С. ИЧЕА, 1950). 1. Среднее по ваку.уму от произведения любого числа бозонных операторов с+, с равно сумме произведений всех возможных попарных средних (сверток) этих операторов.
При этом в каждой паре множители должны стоять в той же последовательности, что и в первоначальном произведении. 2. Для фермионных операторов а+, а, 6+, Ь (одних и тех же или рязличных чястиц) прввило меняетгя линн, в том, что кяждый член входит в сумму со знаком плюс или минус в зависимости от четности или нечетности числа перестановок фермионных операторов, необходимых для того, чтобы поставить рядом все попарно усредняемые операторы. Ясно, что среднее значение может быть отлично от нуля, лишь если наряду с каждым множителем аз и, с в произведении имеется также по множителю ат, 1гУ, сс.
При этом свертывать следует только пары операторов (а,а+), ..., относящихся к одинаковым состояниям, причем лишь такие, в которых аь, ... стоят справа от а, ...: частица сначала рождается, а затем уничтожается (средние же значения (О~а+а~О) = О, ... ). Если каждая пара (а,й), ... входит в произведение всего по одному разу, то теорема Вика очевидна (среднее значение сводится при этом к одному произведению попарных средних). Она очевидна также и в случае, когда все операторы уничтожения стоят н произведении справа от операторов рождения (такое произведение называют нормвльньми); среднее значение при этом равно нулю. Отсюда легко путем полной индукции доказать теорему Вика для общего случая, когда одна и та же пара операторов входит в произведение несколько (А:) раз. Рассмотрим среднее значение (0~ .. се~.. ~0), в котором пара бозонных операторов входит й раз (для фермионных операторов дальнейшие рассуждения вполне аналогичны).
Переставив множители с, с+ в некоторой паре, получим на основании правил коммутации (О/., ссь., /0) = (О/., сьс .. !0) + (О/ .. 1., /0). (77.2) Среднее значение (0~ .. 1 .. ~0) содержит й — 1 пару, и для него теорема Вика предполагается справедливой. С другой стороны, 347 1 77 ОВЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ если раскрывать среднее значение (0) .. сс~ .. )0) по теореме Вика, то оно будет отличаться от среднего значения (0) ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
