В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Для взаимодействия атомов существенны компоненты полей с частотами порядка атомных (и меньшими). Соответствующие длины волн велики по сравнению с атомными размерами. Поэтому оператор электромагнитного взаимодействия можег быть взят в виде (85.4) Г = — Е(г1)с1> — Е(г2)с12, где с1Ы с12 операторы дипольных моментов атомов (имеются в виду зависящие от времени гейзенберговские операторы), а Е(г) оператор электрического поля, который берется в точках нахождения соответствующих атомов.
Как известно, средние значения дипольного момента атома в его стационарных состояниях равны нулю (см. П1, 9 75). Отсюда следует, что отличная от нуля амплитуда рассеяния появится только в четвертом приближении теории возмущений, т. е. как матричный элемент оператора Я~ = — сгтю .. ссг4 . Т(>г(г>) >г(г2) >г(гз) >г(г4)1. (85.5) ) Выесто более громоздкого обозначения диагонального матричного Влемента — с указанием состояний атома и фотонного гюля. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАСОТОЯНИЯХ 395 л в Р > ь 3 в 3 (85.6) где штриховые линии изображают свертки, а цифрам отвечают аргументы 1л, 1з, 1з, 1л. Кроме того, .каждой точке могут отвечать пространственные координаты гл или гз (причем двум точкам гл и двум гв, в противном случае в данном члене суммы один из операторов с1л или с1э войдет в первой степени и обратится в нуль при усреднении по состоянию атома). Очевидно, что в точках, соединенных линиями, должны стоять различные гл и г2.
В противном случае диаграмма (т. е. соответствующий ей член в матричном элементе) сведется к произведению независимых функций от гл и от гз, вместо того чтобы быть функцией от разности гл — гз, такие члены не имеют отношения к рассеянию ') . В соответствии с этими условиями можно расставить аргументы гл и гв по четырем точкам диаграммы четырьмя способами. Учитывая также коммутативность операторов л1л и с)э и усредняя по состояниям каждого из атомов, находим, что все получающиеся таким образом 3 4 = 12 членов одинаковы (они различаются лишь обозначением переменных интегрирования). В результате получим ф(г)) = — Жл...
лил (Т(Е,(гл, 1л)ЕВ(гэ, 8з))) х х (Т(Ел(гз, 1в)Е„,(гл, 1л)))(Т(л1л,(лл)л1л (гл)))(Т(л1гь(лз)г1гл(лз))), (85.7) где л, Л,... трехмерные векторные индексы. ) Они дают не интересующие нас здесь поправки к собственным энергиям каждого из атомов. Действительно, в более низких порядках л(аждый член в произведениях операторов 1г будет содержать хотя бы один из операторов с1л или л1э в первой степени и при усреднении по состоянию соответствукпцего атома обратится в нуль. Усредним оператор (85.5) по фотонному вакууму. По теореме Вика среднее от произведения четырех операторов поля Е сводится к сумме произведений их попарных средних (сверток). Разбиение на пары может быть произведено тремя способами, которые можно изобразить диаграалалами: 396 Взаимодействие электеонов ГЛ.
1Х ДЛЯ ВЫЧИСЛЕЕ1ИЯ ВЕЛИЧИН Ргт(х2 — хз) = (Т(Ег(х2)ЕЕ(х2))) (85.8) воспользуемся калибровкой потенциалов, в которой скалярный потенциал Ф = О. Тогда Е = — дА,г'гй, и мы имеем дг .д Р,„(Х1 — Х2) = (Т(А4(Х1)АЬ(Х2))) = г' —,Ргв(Х)г оггоге где х = хг — х2, а Рея(х) -- фотонный пропагатор в данной калибровке '). Ниже нам будет удобнее пользоваться пропагатором Р,ь(ог, г) в смешанном ш, г-представлении, который связан с Р,й(1, г) соотношением Р4ь(2, г) = Р,ь(ог, г)е ' 1 —. При этом (85.9) Р,~(1, Г) = — г аг Ргв(езг Г)Е ма —. Величины (85.10) ага (г! 42) — г (Т(его И! ) ггя (42) )) разлагаем в интеграл Фурье агь(б) = Е ' аггв(аг) —. 211 Положив для удобства 12 = О, 12 = 1, запишем по определению Т-произведения ага(ог) = е' 'ага(б)411 = о со = г е'~~(аг2,(0)411(б))й+ г е™(агг(1)41ь(0))411.
(85.11) -оо о д ) Первая производная — Р,1 00 имеет конечный скачок при 2 = О. Поэтому д1 вторая производная, т. е. функция Р,г. (2), содержит также б-функционный член ( бг 2(хг — хг)). Этот член, однако, равен нулю при всех гг ~ гз и нас 442 здесь не интересует. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАСОТОЯНИЯХ 397 Входящие сюда средние (по основному состоянию атома) зна |ения выражаются через матричные элементы дипольного момента; (дь(0)4~,(2)) = ~~ (Йь)о„(Й,)вее™" о~, и (и (Т)ть(о)) = ~(й )О (Па)ВОЕ '""'~ Для сходимости интегралов в (85.11) в первом из них надо понимать и как и — 10, а во втором как ы+ 10.
Произведя ин- тегрирование, получим %-' Г Юо„~А ).о + 044)о„05)кв Ъ (8 .12) о,ь(о~)=р ) ' " + о. '~"~ ).и а — м — Ю МВВ тм — 10) Если основное состояние является Я-состоянием, то этот тепзор сводится к скаляру;аж = ад2В где , ( ) — 1~~~'~с1 „~2( 1 + ). (85.13) Если же атом обладает моментом, то тот же результат получится после усреднения по его направлениям, что и будет подразуме- ваться (нас интересует, конечно, взаимодействие атомов, усред- ненное по их взаимным ориентациям).
Сравнив (85.12) с выражением (59.17), мы увидим, что о,ь(ы) совпадает с тензором когерентного рассеяния фотона частоты В2 на атоме. Согласно (59.23) ст(ы) при ы > 0 совпадет с поляризу- емостью атома. Значения же гт(ю) при ю ( 0 выражаются через значения при ы > 0 с помощью очевидного из (85.13) соотноше- НИЯ О( — Ю) = ЕТ(ЕВ). Подставив полученные выражения в (85.7), найдем (о(г)) = — ~4М Ж '' ' ~' ' х 2 / 2х 2х 2х 2х х оп(й~)гт2(П2)И1Р,В(ы;, г)и2Р4ь(ы2. г) х х ехр( 1ы1(21 22) 4ы2(23 24) 4П1(21 14) 1П2(12 23)) (г = г4 — г2, мы учли также четность функции Рке(ы, г) по г).
Интегрирование по трем временам дает б-функции (в силу кото- рых — Й1 = Й2 = В22 = ы1), а по четвертому множитель 1: ( о (г) ) = — 41П(г), (85.14) 398 ВЗЛИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛВКТРОВОВ ГЛ 1Х Эта формула и определяет энергию взаимодействия двух атомов на любых расстояниях, больших по сравнению с атомными размера»1и а. Остается найти и подставить сюда явное выражение для функции В1ь(В1, г). Сравнив друг с другом выражения (76.14) и (76.8), найдем., что В ь(В11 1«) = (б;ь — *.,~) В(В1 1«), где В дается формулой (76.8). В В1, г-представлении эта связь выразится, следовательно, равенством В1ь(В1, г) = — (д,ь + — ) Р(В1, г). (85.15) Подставив сюда Р(ю, г) из (76.16) и произведя дифференцирования, найдем В„(,г) = [5„(1+ —,*, — —.,',)+ + ' " (,, — ' — 1)] .
(85.16) Наконец, подставив это выражение в (85.14), после простых пре- образований с учетом четности функции о(ю) получим следую- щее окончательное выражение для энергии взаимодействия ато- мов; Б(г) = = — ~ ю а~(В1)«12(В1)е [1+ — — — — — + — ~ пп1. 1 4 2««Р 1 21' 5 61 з 111» / «11 («1Р) („,„)З ( )« о (85.17) Г(Г) = — / О1(В1)ГЕ> (В1)ПВ1. 2ВР« „1 (85.18) Как и должно быть, мы получили для взаимодействия на этих расстояниях закон 111г~. Интеграл в этой формуле легко вычис- Это общее выражение можно упростить в предельных случаях «малых» (а « г « Ле) и «болыпих» (г » ЛВ) расстояний.
При г « Ле в интеграле существенны (см, ниже) значения ю В1В, гДе юе с/Ле атоллные частоты, поэтомУ В1г((1. В этом случае можно оставить в квадратных скобках только последний член и заменить экспоненту единицей. Написав интеграл в пределах от — оо до со (с целью дальнейшего преобразования), найдем ВЗАИМОДЕЙОТВИВ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАООТОЯНИЯХ 399 ~но„~'~не„, ~' зтв ~-' 6(мва -'е ' ~ 'о) И. И' (85.19) что совпадает с формулой Лондона (см. П1, 9 89, задача). В предельном же случае больших расстояний, г » Ло, в интеграле существенны значения ы ~ с(г (< ые, при ы > шо интеграл погашается быстро осциллирующим множителем ехр(2ивг).
Поэтому можно заменить поляризуемости ст1(ш) и сея(со) их статическими значениями ст1(0) и ая(О). После этого интегрирование производится элементарно (причем для обеспечения сходимости следует заменить в экспоненте т -+ г + тО. В результате окончательно находим (в обычных единицах): 23 йсси(0)от(0) (85.20) 4И Тт (Н.В.С.
Сипттг, Н. Ро1т)ег, 1948) ') . ) В ичложеиноы выводе мы частично следовали И. Ь'. ДвллошиисиоАЕ (1956). ляется,посче подстановки в него ст(со) из (85.13),путем замыка; ния контура интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в нижней полуплоскости комплексной переменной ю; при этом интеграл определяется вычетами подынтегрального выражения в полюсах ы = шие ыо. Предположив для упрощения записи результата оба атома одинаковыми, получим (в обычных единицах) ГЛАВА Х ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ й 86.
Рассеяние фотона электроном Сохранение 4-импульса при рассеянии фотона свободным электроном (х)гугеягп, Компгпона) выражается равенством р+ й = р'+ й' (86.1) где р и Й-- 4-импульсы электрона и фотона до столкновения., а р' и й' — их 4-импульсы после столкновения. Введенные в з 66 кинематические инварианты: э = (р + й) ~ = (р' + й') 2 = т~ + 2рй = т2 + 2р'й', 1 = (р — р') = (й' — Й) = 2(т~ — рр') = — 2ЙЙ', (86.2) и = (р — й')' = (р' — й)' = т' — 2рйз = т' — 2р'й а + 1+ и = 2т~. Рассматриваемый процесс изображается двумя диаграммами Фейнмана (74.14), и его амплитуда Му, = — 4гге е„'*е,(й'Я" и), (86.3) где ,'у~('ур+ уй+ гп) у' —, у'( ур —.уй'+ т)-»". (86.4) Здесь е, е' — 4-векторы поляризации начального и кояечного фотонов; и, и' биспинорные амплитуды начального и конечного электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
