В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 99
Текст из файла (страница 99)
1 110) и не сказываются на дальнейших результатах. 522 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ гл. х1 Коэффициент р в этом интегральном представлении называют спектральной плотностью функции П(й~). Он обладает свойствами; р(12) = 0 при АЯ < О, (104.12) р(АД) ) 0 при й~ > О. Действительно, 4-импульс Й виртуального фотона, который может родить систему реальных частиц, непременно времениподобен (А-' совпадает с квадратом полной энергии частиц в системе их центра инерции). Н силу же условия поперечности (104.7) имеем Р~'44(0/~И!и) = О. Но 4-вектор (0~~ ~п), ортогональный времениподобному 4-вектору (Р„),пространстве~шоподобеп, т.
е. (О/у„/п)(0/1"/и)* < О, а потоелу, согласно определению (104.9), р > О. 3 105. Точный электронный пропагатор Подобно фотонному, точный электронный пропагатор определяется формулой Я,ь(х — х') = — г(О~ТЩ(х)~ь(х') ~0) (105.1) (г, й биспинорные индексы), отличающейся от определения (75.1) пропагатора свободных частиц С,ь(х — х') = — г(О~Т~,'"'(х)«РА (х') ~0) (105.2) заменой ф-операторов в представлении взаимодействия гейзепберговскими. Те же рассуждения, что и при выводе (103.7), позволяют преобразовать й,ь к виду г7 ( у) . (О~тч, (еф« (*)Я)е) (РО 3) (о~я~о) Разложение этого выражения по степеням е~ приводит к представлению 6-функции в виде совокупности диаграмм с двумя внешнимп электронными линиями и различным чишюм вершин.
При этоел роль знаменателя в (105.3) снова сводится к необходимости учитывать лишь диаграмълы без изолированных «вакуумных петельн Так, с точностью до членов - е4 графическое 523 1 10в ТОЧНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР представ,ление пропагатора и' (жи1шая сплопшая линия) имеет вид ') « — - + ч- «с«ээ««- е (105.4) ч-«-т«-ьет-«А«Р + «-т«-те»«-Г«- -ь « — »»т«-»«уя — -1- «« — «- Жирной сплошной линии сопоставляется (в импульсном представлении) функция 16(р), а всем сплоп|ныьГ и штриховым линиям в диаграммах правой стороны равенства — пропагаторы свободных частиц соответственно 1С и — 1Р. Блок, заключенный между двумя электронными линиями, называют электронной собственно-энергетической частью.
Как и в фотонном случае, такую часть называют компакпизой, если она не может быть разделена дальше на две другие собственноэпергетические части путем рассечения по одной электронной линии. Сумму всех возможных компактных частей обозначим через — 1М,ы функцию — 1Мгь(р) называют массовым оператором.
Так, с точностью до членов е имеем (105.5) ;Сл, + «э«-те»«~с- + «-з«ч«-т«-' »-+ «-4 — яПутем суммирования, в точности аналогичного выводу (103.13), получим О(р) = С~р) + С(р)М(р)Ц(р) (105.6) (биспинорные индексы опускаем) нли для обратных матриц 6 (р) = С ~(р) — М(р) = ур — т — М(р). (105Л) В 3 102 уже было Отмечено, что гейзенберговские»р-операторы (в противоположность уьоператораги в представлении взаимодействия) меняются в результате калибровочного преобразования электромагнитных потенциалов. Вместе с ними оказывается калибровочно-неинвариантным также и точный электронный пропагатор 6. Выясним закон его калибровочного преобразования (Л.
Д. Ландау, И. М. Халатников, 1952). ') Как уже было объяснено в 1 103, не надо учитывать также и диаграьн мы с»замкнутыми на себя» линиями, которые появились бы здесь уже во втором порядке: 1 524 Гл. х> ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ Заранее ясно, что изменение 6 при калибровочном преобра; зовании должно выражаться через ту же величину Р, которая О) добавляется при этом преобразовании к фотонному пропагатору. Это станет очевидным, сечи заметить, что при вычислении 6 по диаграммам теории возмущений каждый член ряда выражается через функции Р и никаких друтих электромагнитных величин в них не входит.
Этим обстоятельством можно воспользоваться для упрощения выводов: можно делать любые частные предположения о свойствах произвольного оператора;~ в преобразовании (102.8), лишь бы ответ был выражен через РО). В результате преобразования (102.8) пропагаторы Ю (103.1) и Ц (105.1) переходят в Юр, — э г(0]Т[А„(х) — држ(х)] [А,(х') — д,'7((х')]]0), (105.8) Я,ь — э — ъ(О]Тф,(х)е"х(т>е "х( > «]>ь(х')]О). Будем считать теперь, что операторы 7~, усредняются независимо от всех остальных операторных множителей в Т-произведении: это предположение вполне естественно, поскольку в силу калибровочной инвариантности «поле» ~~, не принимает никакого участия во взаимодействии. Положим также, что обращается в нуль среднее по вакууму от самого оператора т: (0],"~]0) = О.
Тогда в (105.8) члены., содержап1ие,~, отделяются н получается РИР э РИР +»(0] Т [Ад др7~(х) ' дР1с (х )] ] 0) (105 ° 9) д,, > д,„(О]ТЕ1ех(') е — ех(*') ]О) (105 10) Дальнейший вывод произведем для бесконечно малого преобразования; чтобы подчеркнуть эту малость, будем писать б;~ вместо 75 Преобразование (105.9) можно (независимо от малости 57() записать в виде ') 'Од, — э Юр, + 5РИ„6РИ, = д„д'Ф)(х — х'), (105.11) где д(~)(х — х') = ъ(0]Т(>7((х)бу(х')]0). (105.12) Отсюда видно, что функция с(~ ) определяет изменение при кали- (О бровочном преобразовании продольной части фотонного пропагатора ь>(~).
Предположение о зависимости этой функции только ') Переход от (105.0) к (105.1Ц возможен, если функция И~П и ее производная по 1 непрерывны при 1 = 12 В противном случае правые части этих выражений отличю>ись бы 5-функциоиными членами (ср. вывод формулы (75.2)). В импульсном представлении это условие эквивююнтно предположению о том, что ЛЮ(Ч) убывает при ]Ч»] -э со быстрее, чем 1/2». 525 1 10в ТОЧНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫГ4 ПРОПАГАТОР От РаЗНОСтн гп — Х ОЗНаЧаЕт, КОНЕ 4НО, ОПРЕДЕЛЕННОЕ ОГРаНИЧЕНИЕ на свойства оператора б)г; в общем случае вполне произвольного калибровочного преобразования пространственно-временная однородность пропагатора может нарушиться. В преобразовании же (105.11) разлагаем экспоненциальные множители по степеням 5~ с точностью до квадратичных членов: (0[ТЕ 4ТФŠ— 44хЮ [0) = — 1Е2(0[5Х2 (*) + 5Х2 (Хг) — 2Т5Х(Х) 5Х(тг) [О С учетом определения (105.12) находим, таким образом, следующий закон преобразования электронного пропагатора; й — г й + ойг ой = гезй(х — х')[410)(0) — 440)(х — х')].
(105.13) В импульсном представлении ') ой(р) = гез 410) (4)) [й(р) — й(р — 4))) — ~„. (105 14) При этом функция аг( ) (4)) связана с изменением функции ьг( )(0) бЮ0)(4)) = 4)~4440(4)). (105.15) Для электронного пропагатора можно было бы получить интегральное представление, аналогичное формуле (104.11). Его вывод основан на выражениях 4)гн„„(х) = 4)ги,„(0)е (105.16) для матричных элементов 4)г-оператора, подобных использованным в 2 104 выражениям (104.6) для матричных элементов тока. В противоположность току, однако, сами гр-оггераторы калибровочно-неинвариантпы.
Поэтому и координатная зависимость вида (105.16) не имеет общего характера, а относится лишь к некоторой определенной калибровке. Тем самым относится лишь к ') Если функция г(х) = ~г(х)1г(х), то ее компоненты Фурье Пр) = / 1(х)е ". 1'х = О 4'х е"гх " "'414(гтг)Г (44 ) = (2гг) е г" г) г144) г1г 440 l 02) / 6 (Р— г14 — Ог)14(414)1гЦг) = у4 — Уг(г1)~г(Р— г1) =д' ' ./ (2х)4 При переходе от (105.13) к (105.14) учтено также, что ~(*=0) =~1() "" (2гг) 4 526 ТОЧНЫЕ ПРОПА1'АТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ.
Х1 й 106. Вершинный оператор В сложных диаграммах можно выделить, наряду с собственно-энергетическими частями, также и не сводящиеся к ним блоки другого вида. К важной категории таких блоков мы придем, рассмотрев функцию К"ь(хы хз, хз) = (0~ХА" (х~)ф,(хе)фь(хаК0) (106.1) с одним 4-векторным и двумя биспинорными индексами; в силу однородности пространства-времени она зависит лишь от разно- стей аргументов хп хз, хз.
Выраженная через операторы в пред- ставлении взаимодействия, функция К имеет вид КР (,, ) МТА",(х )Ф,"'(хг)) гх (хзНО) (106 2) (ойдо) Переход к импульсному представлению осуществляется форму- лой (2 )~5~(Р1 + и — Рз)кн.(рзг Р1, 'к) = ~ 1 КН ( Х ),— гвхг-~-1Ргхг 1Ргхг ~4 114 . 114 (106 5) з ч В диаграммной технике функциям К~' соответствуют блоки (треххвостки) вида А (106.4) Рг Р1 с тремя (одним фотонным и двумя электронными) концами, им- пульсы которых связаны законом сохранения (106.5) определенной калибровке и основанное на (105.16) интегральное представление пропагатора. Более глубокая физическая причина этой ситуации состоит в тотл, что равенство нулю массы фотона приводит к инфракрасной катастрофе (см.
~ 98). Вследствие этого электрон в процессе взаимодействия испускает бесконечное число мягких квантов, что в значительной степени лишает прямого смысла «одночастичныйгг пропагатор (105.1). 527 6 106 ВеРшинныЙ опеРАТОР Член нулевого порядка в разложении этой функции обращается в нуль, а член первого порядка в координатном представлении К"(х1, хг, хз) = е С(хг — х)-~,С(х — тз) . 11'Р'(х1 — х)й х или в импульсном представлении КР(рг р1, гг) = ЕС(рг)Ъ С(р1) ' И 'Р(гг) (106.6) (биспинорные индексы опущены); соответствующая диаграмма; ! (106. 7) Рг Рг При переходе к следующим приближениям диаграммы усложняются за счет добавления новых вершин. Не все такие диаграммы, однако, дают нечто существенно новое. Тнк, в третьем порядке возникают диаграммы Л (106.8) Первые трн можно рассечь (по одной фотонной или электронной линии) на простую вершину (106.7) и собственно-энергетическую часть второго порядки; для четвертой диаграммы такое разбиение невозможно.
Эта ситуация имеет общий характер. Поправки первого рода приведут просто к замене в (106.6) множителей С и О точными пропагаторами й и ьг. Остальные же члены разложения в сумме дадут новую величину, которая заменит в (106.6) множитель уи. Обозначив эту величину через Г", получим, таким образом, по определению К~(ргг р1, .е) = (георг)[ — геГР(рг, рг, й))гД(р1))[ — гег~~(к)1. (106.9) Блок, соединенный с другими частями диаграммы одной фотонной и двумя электронными линиями, называют вершинной часпгью, если этот блок нельзя разделить на части, соединенные между собой лишь одной (электронной или фотонной) линией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
