В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Оно состоит в том, что две классические (т. е. сколь угодно тяжелые) частицы, покоящиеся на больших расстояниях друг от друга, должны взаимодействовать по закону Кулона: Г = е /г (имеются в виду расстояния г» 1/гп, т -масса электрона). С другой стороны, это взаимодействие выражается диаграммой (Е) ~ ~(В) (110.4) <а) 1ь) где верхние и нижние линии отвечают классическим частицам. Фотонные собственно-энергетические поправки учтены на линии виртуального фотона. Всякие же другие поправки, затрагивающие линии тяжелых частиц, привели бы к обращепию диаграммы в нуль. Действительно, добавление каких-либо еще внутренних линий в диаграмме (110.4) (например, соединение линий а и с или и и 6 фотонной линией) приводит к появлению на диаграмме линий виртуальных тяжелых частиц, которым сопоставляются соответствующие п1>опагаторьь Но пропагатор частицы содержит ее массу М в знаменателе и обращается в нуль при М вЂ” Р оо.
Из вида диаграммы (110.4) ясно (ср. ~ 83), что множитель евь>(йз) в ней должен представлять собой (с точностью до знака) фурье-образ потенциала взаимодействия частиц. Статичность взаимодействия означает, что частоты виртуальных фотонов ш = = О, а большим расстояниям отвечают малые волновые векторы 1г. Фурье-образ кулонова потенциала есть 4яее/1С~. Наконец, поскольку функция ы' зависит только от квадрата Й = ш — 1с, то мы приходим к условию Ю -э 47Г/й~, йя — ~ О, (110.5) т. е.
коэффициент в (110.2) должен быть Я = 1 (знак в условии (110.5) очевиден: Ю(А~) стремится к пропагатору свободных фотонов Р(гл)). Для поляризационного оператора Р(к~) это значит, что должно быть Р1Ад)/Ад -э О, гд — Р О. (110.6) 545 8 ыо ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПВРКИОРМИРОВКИ Помимо известного уже нам условия (110.3), отсюда следует, что должно быть также и Р'(О) = О. (110. 7) В 8 103 было отмечено, что эффективной внешней линии реального фотона отвечает в диаграмме множитель (103.15), или, с учетом (103.16) и (103.20), ~1 + — Р(0)'0(0)~ е'". Мы видим теперь, что ввиду (110.5),(110.6) поправочный член здесь обращается в нуль.
Другими словами, мы приходим к важному результату: во внешних фотонных линиях вообще не надо учитывать радиационных, поправок. Таким образом, естественные физические требования приводят к установлению определенных (равных нулю) значений величин Р(0) и Р~(0). Между тем вычисление этих величия по диаграммам теории возмущений привело бы для них к расходящимся интегралам.
Мы видим, что способ устранения этих бесконечностей состоит в приписывании расходягцимся выражениям наперед заданных значений, ус"1анавливаемых физическими требованиями. О такой процедуре говорят как о перенормировке соответствующих величин ') . Способ проведения этой операции можно сформулировать и в несколько иной форме. Твк, для перенормировки заряда частицы вводят нсфизический «затравочный» заряд ес как параметр, который входит в выражение исходного оператора электромаг нитного взаимодействия, фигурирующего в формальной теории возмущения. После этого условие перенормировки формулируется как требование е~0(к~) » 4гге~)И (при гд — э О), 1где е истинный, физический заряд частицы.
Отсюда находим связь е~Я = е~, и с ее помощькэ пефизическая величина ес исключается из формул, определяющих наблюдаемые эффекты. Потребовав же сразу О = 1, мы тем самым произведем перенормировку как бы «на ходу» и избавимся от необходимости введения фиктивных величин даже в промежуточных выкладках. Перейдем к выяснению условий перенормировки электронного пропагатора.
Для этого рассмотрим процес:с рассеяния, который может проходить через одночастичное промежуточное состояние с одним виртуальным электроном. Амплитуда такого процесса должна иметь полюс, когда квадрат суммарного 4-импульса начальных частиц Р; совпадает с квадратом массы реаль- ') Идея такого подхода была высказана впервые Крамерсвм (Н. Кгагавгв, 1947). Систематическое же использование метода перенормировок в квантовой злектродинамике осуществлено в работах Дайсона, Тамона»и (Н. То~попара), Фейнмана и Швингера.
18 Л. Д. Лаадау в Е.М, Лвфп1иц, том ГГ 546 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. Х1 ного электрона: 1', = гп . Полюсной член в амплитуде возникает из диаграммы вида > Р, (110.8) ( (110.9) где У1 скалярная постоянная, а 8(р) остается при р — > т конечной, Матричная структура полюсного члена в (110.9) (пропорциональность ур + т) являетси следствием того же условия унитарности,из которого возникает и само требование наличия полюса. Покажем это, одновременно выяснив важный вопрос об условиях перенормировки внешних электронных линий.
Если Я(Р) имеет предельный вид (110.9), то обратная матрица Я ~1р) — — ("~р — т) — ("~р — т)даур — т), рв — Р т . (110.10) г, Массовый же оператор М = С вЂ” 6 — (1 — — 1(ур — ка) + (ур — ьч)9(ур — тп), Я1 / р + т . (110.11) Эффективной вне1пней (скажем, входящей) электронной линии отвечает в диаграмме множитель (ср. (103.15)) И(р) = и(р) + Д(р)л1(р)и(р), (110.12) где и(р) обычная амплитуда волновой функции электрона, удовлетворяющая уравнению Дирака (ур — пт)и = О. Б силу требований релятивистской инвариантности (И,как и и,-- биспинор) предельное значение И(р) при р~ — Р т~ может отличаться от и(р) лишь постоянньпл скалярным множителем: И(р) = г'п(р) (110.13) Этот множитель Я' определенным образом связан с множителем 2ы но найти эту связь просто подстановкой (110.10),(110Д1) в (110.12) нельзя ввиду возникающей неопределенности: результат будет зависеть от порядка, в котором совершается предельный переход в различных множителях в (110.12).
где с учетом радиационных поправок жирная линия точный электронный пропагатор. Это значит, что функция й(р) должна иметь полюс при р = ш, т. е. должна иметь предельную форму 547 1мо ФИЗИЧВОКИЕ УСЛОВИЯ ПВРЯНОРМИРОВКИ Можно, однако, обойтись без выяснения вопроса о правильном способе предельного перехода, обратившись вместо этого к условию унитарности в применении к реакции, изображаемой диаграммой (110.8). Соотношение унитарности относится, вообще говоря, не к отдельным диаграммам, а к амплитудам процессов в целом.
Но при рй — э тз полюсная диаграмма (110.8) дает основной вклад в соответствующую амплитуду ЛХХ„так что другие диаграммы, относящиеся к той же реакции, можно не рассматривать. В силу. требований унитарности, как это было показано в ~ 79, одночастичное промежуточное состояние приводит к появлению в амгмчитуде реакции мнимой части с б-функционным членом ХЯЛ(р — т ) 1 МХЯМ,*Я, (110.14) поляр где в данном случае индекс п относится к состоянию с одним реальным электроном, а сумьиирование производится по его поляризациям (во избежание лишних усложнений считаем, как и в ~ 79, что произведена симметризация обеих сторон соотно1пения унитарности по спиральностям начальных и конечных частиц; тогда МХ; = М;Х).
Амплитуда ЛХХп отвечает процессу, изображаемому диаграммой и имеет вид МХ = (МХ„И) = Х (МХ„и), где МХ„множитель с одним свободным биспинорным индексом ') . Аналогичным образом амплитуда М„имеет структуру вида М;„= (ИЛХ,„) = О (иМ;„). ю' Йгб(р — гп )~М~„(ур+ гп)М',„]. ') Здесь необходимо некоторое уточнение. Электрон как стабильная частица не может в действительности превратиться в другую говокупность реальных частиц. Можно, однако, формально рассматривать в качестве последних пекоторыо воображаемые частицы с такими массами, которыо бы допускали такое превращение.
Получающееся соотношение надо понимать тогда в смысле аналитического продолжения к реальным значениям масс. Суммирование по поляризациям электрона заменяет произведе- ние (МХпи)(иМ';„) на М'и( ур+ т)М',*„, так что член (110.14) в амплитуде М', принимает вид 548 ТОЧНЫЕ ПРОПА1'АТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ.
Х1 По этому члену в мнимой части можно восстановить весь полюс- ной член в амплитуде рассеяния; согласно (79.5) находим У (К,й-а) Ч- т)Л1',*„) -+ гп 011 — ш1 ч- 10) С другой стороны, вычисление этой же амплитуды непосредственно по диаграмме (110.8) дает 1Му, = гМ~7„10(р) 1М',*„. Сравнение обеих формул подтверждает написанное выше предельное выражение для 6(р) (первый член в (110.9)), причем (110.15) Покажем теперь, что после установления требуемого предельного вида электронного пропагатора уже пет необходимости в постановке каких-либо новых условий для вершинного оператора.
Рассмотрим диаграмму (110.16) описывающую рассею|ие электрона во внешнем поле А~'~(й) (в первом порядке по полю) с учетом всех радиационных поправок. В пределе к — > О, рз -+ р1 = р собственно-энергетическ1ле поправки к линии внешнего поля исчезают (напомним, что эти поправки исчезают вообще при всяком й~ = 0). Тогда диаграмме будет соответствовать амплитуда Му, = — ЕИ1р)Г(р, р; 0) И(р)А1'~(А — + 0) (110.17) -- произведение потенциала А~') на апектронпый ток перехода ИГИ. Но при й — ~ 0 потенциал А~'~(х) сводится к не зависящей от координат и времени постоянной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
