В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Ф 4ли Рис. 19 -1 0 1 на фигурировать в качестве нижнего предела в дисперсионном интеграле (111.13). Таким образом, имеем 4ГР2 Для формулировки результата удобно ввести вместо 1 другую переменную, определив ее следующим образом: 1,1т = — (1 — Г) Я.
(113.11) Это преобразование отображает верхнюю полуплоскость комплексного 1 на полукруг единичного радиуса в верхней полуплоскости комплексного ~, как показано па рис. 19 (одинаковой штриховкой изображены соответствующие друг другу отрезки в обеих плоскостях). Нефизической области (О < 1/т2 < 4) отвечает при Значение 1 = 4та пороговое для рождения виртуальным фотоном одной электрон-позитронной пары (ср.
примечание на с. 550); в рассматриваемом приближении теории возмущений ( е ) состояние с одной парой является единственным, которое может фигурировать в качестве промежуточного состоянлля в условии ушлтарпости (113.2). В том же приближении, следовательно, при 1 < 4тз, правая сторона в (113.2) равна нулю, так что 114 Вьптислеыие поляРизационного ОНИРАТОРл 561 этом полуокружность с = е'~, 0 < оз < тг. Физическим же областям (2 < 0 и 4(тп2 > 4) отвечают правый и левый вещественные радиусы.
Интеграл (113.10) проще всего вычигпгяется с помощью гюдстановки 4 /(4тп ) = 1/(1 — х ), причем сначала имеем в виду случай 4 < 0 (тогда знаменатель в области интегрирования не обращается в нуль и мнимую добавку 10 можно опустить). Выраженный через переменную с результат интегрирования имеет вид Р(с) = ( — — + — (с+ — ) + (с+ — — 4) 1п~~. (113.12) Аналитическое продолжение этой формулы определит функцию Р(4) и в области 4 > 4тз: для этого надо положить в ней С = Се'" (при этом логарифм дает вклад в мнимую часть: 1гтс = 1пс + + 4п) ') . Для нефизической области надо положить с = е'т, и тогда Р(2) = ~ — — ьш — — 2 + ( 1 + 2 вш — ) ~р с$6 — ~, 2отп 1 10 ° 2 Ут г' 2р1 З 1 З 2 2 2 (113.13) 2 Ф = е1п 4тп' 2 В предельном случае малых ~ 1 ~ (С вЂ” Р 1) эти формулы дают Р(1) = — — ', ~ 4 ~ << 4пг . (113.14) 1бтт п! В обратном же случае болыпих ~1~ (с -т 0), получим — — )1)1п —,, — 4 » 4т, о 2 Зк тпе — 2(1п — — зл), 4 » 4т .
Зтг г тпе Р(1) = (113.15) По смыслу теории возмущений полученные формулы справедливы до тех пор, пока Р((4х) « Р ' = 1/(4л). Поэтому условие применимости формул (113.15): — 1п — « 1. (113.16) Зк пт ') Осуществляемое таким образом аналитическое продолжение есть, как и требуется, продолжение на верхний берег разреза, поскольку полукруг на плоскости 4 соответствует именно верхней полуплоскосги К Радиациоппые поправки, содержащие о 1П(~ 1 ~ /т), называют ло- гарифлтическими.
562 РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОПРЛВКИ Гл. хп 3 114. Радиационные поправки к закону Кулона Ф(1 ) — ~М)(1 ) 4 ~12 С учетом радиационных поправок это поле заменяется еэффективным полем»: реЛ 4к 4к (ср. (103.5)). Второй член и дает искомую добавку к скалярному потенциалу. В первом приближении теории возмущений для 1э(к. ) надо взять полученное в предыду- щем параграфе выражение, а функцию ю(к ) заменить ее нулевым приближением '0(к~) = 11(к~) = — 41Г/1г~ Таким образом, радиационная поправка к потенциалу поля 41Ге1 ~>( (ье)е Рис. 20 (114.
2) Для определения вида этой поправки в координатном представлении надо произвести обратное преобразование Фурье: дФ(г) = е'~'дФ(1г) . (114.3) Поскольку дФ(1г) функция лишь от 1 = — 1г2, то, произведя интегрирование по углам, получим 5Ф(г) 1 / ЛФ(1) и ~"ъ~ 4) Х( — Х) = 1 1 ЛФ( — у )е'Ги 1, 4ке / 44ГГ11- о — ОО (в пои1еднем преобразовании использована чстность подынтегрального выражения как функции от у = лГГ:7). Теперь можно сместить контур интегрирования в верхнюю полуплоскость комплексной переменной р, совместив его с разрезом функции Исследуем па основании полученных формул радиациопиые поправки к закону Кулона. Эти поправки можно наглядно описать как результат поляризации еакурлеа вокруг точечного заряда. Ьез учета поправок поле неподвижного центра (с зарядом еГ) дается кулоновым скалярным потенциалом Ф=Аее — — е1/г. Ком1е) поненты его трехмерного разложения Фурье: 563 РАДИАЦИОННЫВ ПОПРАВКИ К ЗАКОНУ КУЛОНА 1 114 БФ(г) = — / 1юбФ(х )е "хб)т.
2П'7. 27П Наконец, возвращаясь к интегрированию по 1 = т, имеем окон- 2 чательно: БФ(г) = / 1П15Ф®е ™сЫ. 2ЛЗР / 47ПЗ (114.4) Мнимубо частб 1пз 5Ф(1) = — — ' 1ш Р(1) 17 бе ем из (113.8) и после очевидной замены переменной находим ер.м и 7ббб) 117 / с(1, ) б() (114.
5) (Е. 1)ей)бпу, В. Яегбег, 1935). Входящий сюда интеграл может быть вычислен в двух предельных случаях. Рассмотрим прежде всего малые г (тб « 1). Разобьем интеграл от первого члена в круглой скобке на два: СС 41 77Ю вЂ” 2тгг уГУ71 ~~ ~~ + ~~ 77 + 77 42 1 1 Сб причем 7,1 выбрано так, что 17'(тг) » Г1 » 1. В силу зтого в первом интеграле можно положить г = О, и тогда Сб Г,lг / 47 1 В 12 можно, напротив, пренебречь единицей под корнем: СО СΠ— 27ПРс74с 1 ~ — зппсб + 2 — 2тгг) Сб Сб Р( — у2) (рис.
20). Этот разрез начинается от точки 2мн и идет вверх по мнимой оси (причем физическому листу соответствует левый берег разреза). Введя вместо у новую переменную, соглас- но у = гх, найдем 564 гл. Хп РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОПРЛВКИ В экспоненте и нижнем пределе интеграла можно положить 1',1 = = О. Сделав после этого замену переменной 2тг1,' = т, получим 72 = — 1п(2~~) + 1п — + е х1пждж = — 1п(2~1) + !п — — С, гпх / гл г о где С = 0,577 ... постоянная Эйлера.
В интеграле же от второго члена в 1114.5) можно сразу положить 1 = О: 1 — — '" 111, =— /',/Р' — 1 2/ С«б 1 Складывая все три интеграла (причем вспомогательное число 1',1 сокращается), получаем ФЯ = — ' ~1+ — ()п — — С вЂ” -~И, г << —. (114.6) Зя' т~ б)1 Ш Нри тг » 1 в иятеграле существенна область 1', — 1 111тг) « « 1. Заменой 1, = 1+ С и соответствующими пренебрежениями оц сводится к интегралу - )',-'--1 г,э111 = 3 2 8бпг) ме о Таким образом, в этом случае ') Ф(г) = — '(1+ — ), т » —. (114.7) Мы видим, что поляризация вакуума искажает кулоново поле точечного заряда в области т 1/пг (= 5/(тс)), где бч масса электрона.
Вне этой области искажение поля убывает по экспоненциальному закону. Сде11аем еще одно замечание, имеюгцее общий характер. Мы подразумевали до сих пор, что радиационпые поправки происходят от взаимодействия фотонного поля с электрон-позитронным. Так, приписывая внутренние замкнутые петли в фотонных собственно-энергетических диаграммах электронам, мы учитывали тем самым взаимодействие фотона с «электронным вакуумом».
Но фотон взаимодействует и с полями других частиц; взаимодействие с «вакуумами» этих полей описывается такими же собственно-энергетическими диаграммами, в которых внутренние ') Происхождение множителя е 1'"' в бФЯ понятно ужо из вида исходного интеграла 1114.4)1 при больших г в нем сушественны значения 1 вблизи нижнего предела. Другими словами, показатель экспоненциального множителя определяется положением первой особенности функции дФ(е). ~ 11а вычислкник мнилюй члсти полякиэлционного опкглтогл 565 петли приписываются соответствующим частицам.
Вклады таких диаграмм по порядку величины отличаются от вкладов электронных диаграмм некоторыми степенями отношения т,(гп, где т масса данной частицы, а т„масса электрона. Ближайшие по массе к электрону частицы мюоны и пионы. Численно отношения т,(гпл и т,/гп близки к и. Поэтому радиационные поправки от этих частиц должны были бы учитываться вместе с электронными поправками следующих порядков. Но если для мюонов вычисление радиационных поправок с помощью существующей теории в принципе допустимо, то для пионов (являющихся сильно взаимодействующими частицами) это невозможно. Это обстоятельство в принципе ограничивает возможность точных расчетов конкретных эффектов в существующей квантовой электродинамике.
Рассмотрение же в сколь угодно высоких приближениях поправок от одного лишь фотон-электронного взаимодействия было бы превышенном допустимой точности. Рассмотренные в этом параграфе радиационные поправки к закону Кулона простираются, как мы видели, в области расстояний г < 1/т,. Мы можем теперь добавить, что полученные формулы недостаточны на расстояниях г < 1(тп (или 1/т ), где становятся существенными также и эффекты поляризации вакуума других частиц. я 115.
Вычисление мнимой части поляризационного оператора по интегралу Фейнмана При прямом вычислении по диаграмме (петля на диаграмме (113.1)) поляризационный оператор в первом приближении теории возмущений давался бы интегралом .ри — + — е / Бр улС(р) у'С(р — Й) . (115.1) 4к (2к)4 Однако этот интеграл, взятый по всему четырехмерному р-пространству, квадратично расходится и для получения конечного результата должен быть регуляризован по описанным в 3 112 правилам. Мы не будем воспроизводить здесь полностью такой вывод, но покажем, каким образом можно вычислить по интегралу (115.1) мнимую часть поляризационного оператора (которая была определена нами в З 113 с помощью условия унитарности), этот вывод содержит в себе ряд поучительных моментов. Мнимая часть интеграла (115.1) не содержит расходимости и не требует поэтому регуляризации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
