В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 109
Текст из файла (страница 109)
В каждом из них «прогонима (с помощью правил коммутации матриц ум) множитель .урс направо, а ур -- налево; после этого можно заменить ур -+ т, урт — > — т, поскольку 11(р )"ур = ти(р ), урчи( — рт) = — ти( — рч). В получающейся в результате сумме — 4(рч..р )1уц + 2тР" — ЗР2 у" можно еще заменить РР эквивалентным ему (в обкладках!) выражением Рв -э 2т у" + о "'й, (ср. (116.5)). Наконец, выразив все величины через инвариант 1 = й~ (2р Рр = 1 — 2т2, Р = 4т2 — 1) и сравнив затем обе стороны равенства (117.7), получим следующие формулы для мнимых частей формфакторов; 11п8р(1) = ")' — ~ *)' ) 7[))= ',-и;-р Трр))-р ')) ' ', ~.
)И).м) )) — р ') иор р р ) .. ) 7))). 1)Э Л. Д. Лацлау и Е.М, Лифшиц, том 1)' 578 гл. хп Рлдиационныв попглвки Сами функции у (1) и 8(2) вычисляются по их мнимым частям с помощью формул (116.11),.(116.12). Интетрирование в этих формулах удобно произвести с помощью тех же подстановок, которые были исгюльзовапы в 8 113 при вычислении 'Р(1). Вы- раженные через переменную с (113.11) формфакторы определя- ются формулами 8Ю=-~е ~,, (117.16) + ~ — — — 1пв С вЂ” 2Г(5) + 2 1пС 1п(1+ С)~ ), (117 17) где г" (с) -- функция Спенса, определенная согласно (131.19). В нефизической области (О < 1/гпз < 4) надо положить С = = е'".
Тогда выражения для формфакторов могут быть приве- дены к виду и/2 )(~р) — 1 = — (1 — ) 1п ™ + ' 9с+ — т18тсЬ г ( ~ Си~с~ Л 2а1п~ а (117.18) 2к вп1с (117.19) Наконец, выпишем предельные формулы для малых ) 2 (: 1"(1) — 1 = (1п — — — ), н(1) = —, ~1~ << 4ш2, (117.20) 3шпе Л Л 8/ 2к' и для больших ~1~: Д1) — 1 = — — ~-1п — + 21п — 1п — ) + 2 ! Ц т~~ 2г 2 ьче Л тле .и 2 $ — 1п — ~ 1 )) 4тп, ~ (117 21) О, — 1 » 4тп2, 8(2) = — — 1п — '+ 1 ' ' ' (117 22) О, — 1» 4тпз. Формула (117.21) справедлива (в отношении Ве Д, как говорят, с дважды логарифмической точностью, т. е. с точностью до квад- ратов больших логарифмов ') . ') Выражение для верпгинного оператора в случае одного виртуального и одного реального электронных концов и реального фотонного концасм.
Атиевер А. И., Берсстецкпй В. В. Квантовая алектродинамика. -. М.: Наука, 1981. — П. 5.1.3. — С. 330. 579 118 АнОмАльныЙ мАГнитный мОмент электРОнА 9 118. Аномальный магнитный момент электрона Как уже было указано в 9 116, значение 8(0) определяет радиационнуго поправку к магнитяому моменту электрона. Если ставить себе целью вычисление лишь этой величины, то вычисление всей функции 8(2)г конечно, пе обязательно. С помощью 1117.14) и 1116.12) имеем 1 1 4 - 1 .зы г : 1 2., 4те 1 С учетом этой поправки магнитный момент электрона р = — (1+ — ).
1118.2) Эта формула была впервые получена Швиггвером 11949). В игедующем приближении ( о2) радиационные поправки в формфакторах изображаются семью диаграммами (106.10,в-- и). Определение даже одного только значения 8(0) в этом приближении требует очень сложных вычислений. Отсылая за деталями вычислений к оригинальным статьям, приведем лишь окончательное значение поправки второго приб.лижения '): 8А )(0)=Н ( — + — — — 1п2+ -~(3))= — 0,328 —, (118 3) так что магнитный момент электрона е ь р = — (1+ — — 0,328О ) (118.4) 2гпс ( 2т ть 1С. Боттег21ег41, 1957; А. Ре1егтапп, 1957). Остановимся особо на вкладе поляризации вакуума в поправку 80 ~(0).
Это - диаграмма 1118.5) содержащая фотонную собственно-энергетическую часть. Она отличается от диагралгыы (117.1) первого приближения лишь тем, что вместо фотонного пропагатора О(Г'2) = 4я/Т"2 в неи стоит произведение ру2) г' 12 ) ру2) 4л Рггу' ) 4т ) Проведение вычислений по методу унитарности-- см.
Терентьев М. В.о ЖЭТйк — 1962. — Т. 43.— С. 619. 19* 580 гл. Лп РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОВРЛВКИ где Р(~Я) - - вычисненпый в 3 113 поляризациош1ый оператор в первом ( а) приближении. Частично повторив (с этим изменением) произведенные в предыдущем параграфе вычисления, получим для «поляризационной части» поправки ,й *.Ч,' причем (118. 7) (см. (117.6)).
Вычисление этого интеграла, а затем интеграла (118.8) Лт1 приводит к значеии1о 8йоя~яр(0) =, ( ) = 0~016 .,~ (118.9) оно составляет 5% всего значения (118.3). Мы уже отмечали (в конце 3 114), что определенный вклад в радиационные поправки могут вносить также и эффекты поляризации вакуума других частиц. Вклад мюонного вакуума в аномальный магнитный момент электрона мы получим по тем же формулам (118.6).
(118.8), в которых (в том числе в определеиии переменной ( ) гп есть по-прежпему масса электрона (гпя), но в качестве параметра т, входящего в выражение Р(Я, должна быть взята масса мюона (гпи). Величина Р(Я(~Я есть функция только отношения ~~/т~~. В интеграле же (118.8) существенна область зпачепий 1 (а потому и Я, сравнимых с п1~~; так что отношение )'з/т~~ (т,~ти)~ << 1 и для оценки интегралов можно воспользоваться предельной формулой (113.14), согласно которой Р(71) а Р 1.5., Я Отсюда видно, что вклад в 8(з~(0), обязанный мюонной поляризации вакуума, имеет ливший малый множитель (гп„/ти) .
Обратная ситуация возникает, однако, при Нахождении поправок к магнитному. моменту мюоиа. Поскольку в (118.3) масса, частицы не входит, это значение 84 )(О) отпосится и к мю- .(2) ону, причем в нем учтен вклад поляризации мюонного же вакуума.
Но вклад поляризации вакуума других частиц -электронов оказывается в даином случае значительно больше. Он 581 1 119 ВЫЧИОЛВВИЕ МАССОВОГО ОПЕРАТОРА 44мнюн = (1 + — + О, 76 — ). Р (118.11) Заметим, что вклад поляризации мюонного вакуума (118.9) составляет 2% всего значения 8421(0).
Вклад такого же порядка (ввиду близости масс) дала бы и пиоппая поляризация вакуума, которая вообще не может быть вычислена точно. По этой причине не имело бы уже смысла и вычисление поправок а к з магнитному моменту мюона. 9 119. Вычисление массового оператора На приъ1ере вычисления массового оператора продемонстрируем метод прямой регуляризации интегралов Фейнмана. В первом неисчезающем приближении массовый оператор представляется петлей в диаграмме Р— У4 (119. 1) Ей отвечает интеграл — 1М(р) = ( — 4е) уВС(р — й)у Р „(й) —; (2В)4 подставив пропагаторы и сведя вместе множители у" ...
уи с помощью формул (22.6), получим 4 А( ) 8В1 2 1 2т (7Р) Ч (тн) 14й (119 2) (2н)4',У ((р-й)В- РВ)(Ь9 — Л4) вычисляется по формулам (118.6)-(118.8), в которых надо теперь заменить т,ути, а в качестве Р(1) подставить электронный поляризационпый оператор. В противоположность предыдущему случаю теперь будет существенна область значений /2/ш~~ (тп/тн)2)>1 и в качестве Р(/2) нужно взять предельное выражение (113.15): Р(1') О ~У'~ = — 1п —.
Зн то~ Вычисление интегралов приводит к значению [84~1(0)),н „= ( — ) (- 1п — "'" — — ") = 1,09"— (118.10) (Н. Яиига, Е. Н. 111с11тп11п, 1957; А. Реуегтапп, 1957). Сложив (118.10) со (118.3), получим для магнитного момента мтоона Гл. хп 582 РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОНРЛВКИ вЂ” 84!! 2 ) ~4~ / 1 2И4 — ( !р) ь (ул) (2р!)4 / / [(!4 — рх)! — а»)4 ' (119.3) а,!пзх2 (р т2)х(1 х) + Лв(1 х) (119 4) Замена перемен1юй л — Г у«+ рх привод1лт подынтегральное выражение в (119.3) к виду, в котором его знаменатель зависит только от л2. При этом однако, согласно (131.17),(131.18), к интегралу добавится аддитивная постоянная: ! М(р)= — ев 414л ~41х,( ~Р)( ) — — ( ур) ! (119.5) (2;Г)" [ / / (໠— ао)» 4 о член с (уй) в числителе теперь опущен как обращающийся в нуль при интегрировании по направлениям 4-вектора й (ср.
(131.8)). Регуляризация этого интеграла заключается в таких вычитаниях, которые привели бы его к выражению вида (110.20). Последнее обращается в нуль при умножении на волновую амплитуду и(р)! если р 4-импульс реального электрона. Пе вводя и(р) явно, можно сформулировать это условие как требование обращения М(р) в нуль при замене (ур) — + т, рв — ~ т . (119.6) Форма интеграла (119.5) удобна при этом тем, что 4-вектор р входит в него только в виде ур и р (а члены вида у«р отсутствуют).
Вычтя из (119.5) такое же выражение с заменой (119.6), по- лучим -',:3 "1'* --- -*[,.',1 —,.',.)- о 1 '2 — 6'К Г[х (ур — т) — — '( ур — т), (119.7) / (В1 — ~1)» 4 о (чертой над букво14 М мы обозначаем нерегуляризованное значение интеграла). В фотонный пропагатор введена фиктивная «масса фотона» Л с целью устранения (как и в 8 117) инфракрасной расходимости. Преобразуем интеграл с помощью формулы (131.4), понимая в ней под а! и а2 два множителя в знаменателе (119.2). После простой перегруппировки членов в знаменателе нового интеграла получим 583 ВЫЧИОЛЕНИЕ МАССОВОГО ОПЕРАГОРА 1 119 где ао — — т х +Л (1 — х). 2 2 2 2 Для окончательной регуляризации, однако, должно быть произведено еще одно вычитание: согласно (110.20) при замене (119.6) должно обратиться в пуль не только М(р) в целом, по и оно же без одного множителя ур — т.
Соответствующим вычитанием целиком отбрасываются второй и третий члены в фигурных скобках в (119.7) ') . Первый же интеграл предварительно преобразуем, введя еще одно вспомогательное интегрирование с гюмощью формулы (131.5), положив в ней и = 2 и понимая под а и 6 соответственно а2 — а2 и А2 — ао~. Тогда выражение (119.7) принимает вид 1 1 ) 1бггг 2 / 14гн / [ 1 д (ур 4- гп)[2»п — (ур)(1 — х))х(1 — х) (2х)~ / / / [Ьг — аг+ (рг — пгл)х(1 — х) )г о о М(р) = (ур — т)2 — ' х 2х(1 + х)2 Г (1 2) ( ур + )(1 )2[1 *' 4- (Л! )' х с[х/ Ь г 4 ( г (119.8) О О (в общем знаменателе опущен член с Л, так как это пе приве- 2 дет здесь к расходимости; в другом месте Л (1 — х) заменено на 2 ') Тем самым мы в процессе «перенормировки на ходу» (см. с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
