В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Ее происхождение легче всего уяснить на примере нерелятивистского случая. Согласно т. П1, (135.8), коэффициент при сферической волне ехр(2~р~г))г в асимптотическом выражении волновой функции электрона в кулоновом поле имеет вид 595 1 нн РАссеяние ВО ВтОРОм ВОРнОВскОм пРивлижении что вектор Л должен быть направлен вдоль р+ р'. Исклгглгив теперь матрицы у с помощью равенств -~рп = (.уоя — т)и, й-1р' = й(уея — т), (пп') и =— В1п Я и=в Р соя О = пп Ф' Ф~' После этого амплитуда (121.11) представится в виде ') М~,) = 4лшм(Аг ~ + В( )иа)иб А(2) = — — юзгт2([(я + т) + (я — т) соя 0[я(.71 +,Р2) + 2тз +[(е+ т) — (я — т) соя 01т(31 — 12)), (121.12) В~~~ = — 'Я~па(Š— т) гип 0[я(Яг + 12) — пг(1г — 12)1.
2тз Амплитуда же рассеяния первого приближения в аналогич- ных обозначениях имеет вид М(,.) = 4тгь~м(АО) + В1Пист) нз, Агб = —,[(я + т) + (с — т) соя01, (121. 13) ВО~ = — г' — (я — гп) яшО, ч' где с1 = р — р. Сечение рассеяния и поляризацнонные эффекты выражаются через величины А = Агц + Агзг и В = Вгц+ В~2~ формулами, полученными в т. Ш, 8 140.
Так, сечение рассеяния неполяризованных электронов: йт = (~А~2+ ~В~~)г1о' гЬгО + 2(АО) КсАгз~ — 1В(П 1гггВгвй)г1о'. Определение величин .4 и В здесь соответствует определению в я 87 и в т. 11, я 140, н отличается множителем от определения в я 80. полу чим М1; — — — — Х о и(р')[у" а(.11 + 12) + т(31 — 12))и(р).
(121.11) Для проведения дальнейших вычислений перейдем (как и в 8 80) от биспинорных амплитуд и и й к соответствующим им (согласно (23.9) и (23.1Ц) 3-сиинорам ш и ю'. Прямым перемножением находим йи = ю'*~(я+ т) — (я — т) соя О+ авист(я — т) я1п 0)гн, й уоп = ю~*((я + т) + (я — т) соя 0 — 1ио (я — т) яш 0)ю, где 596 Гл. хп РЛДИВЦИОННЫВ ИОПРЗВКИ После подстановки (121.12),(121.13) простое вычисление дает Йп( ) = — 210',, ~(1 — ч Вгп -) Ве(.71+,72) + лгрг 21п~(д222) 2 + —, Ие(,71 — 12)~, (121.14) где ч = р22е скорость электрона, О угол рассеяния. В резуль- тате рассеяния электроны поляризуются, вектор поляризации конечных электронов 1 2 йе(АВ*) 2(.41'1 йе В121 — 1В1'1 11п А111) /А!2 -1- /В/2 1А12 Ь 1В12 или, после подстановки (121.12),(121.13), .1 4иегпр Мпз(д212) сев(дг12) 1 (121.
15) гггвг 1 — ег вгпг(дг12) Перейдем к вычислению интегралов,71 и 12. Оно облегча- ется применением метода параметризации по формуле (131.2). Интеграл,71 принимает вид 111 .11 = — 2 11'1116 л62116з 6(1 — 6 — 62 — 6з) П(р' — г)2+ дг)6 + Нр — г)2+ дг)62+ Тг — рг — 10)Ыз 000 Интегрирование по бо устраняет б-функцию; приведя подобные члены в знаменателе, получим 11 — 22 ЗЗ2 ЗВ зВ ( (дг(дг + дг) + рг(2д1 + 2дг — 1) — 2Г(д1 р' + дгр) + Гг — 10)з о о Введя вместо Г новую переменную (с = 1' — С1р' — С2р, сведем интегрирование по Г( 1 к интегралу вида ~зег 2 =1 †, (122 пг 00)3,103 ' так что ,)1 = 11 — Ег -' |' I' 1111 д62 2,/,l (рва + 622 2д1 2дг Р 1) -Р 26162рр' — 62(дг + дг) — 10)згг 0 0 Вместо 51 и С2 вводим симметричные комбинации: Гп = ~1+~2, у = = С1 — С2. Интегрирование по у (в пределах от О до т) элементарно РАссеяние ВО ВтОРОм БОРнОВскОм НРивлижении 597 1 121 и дает 2Ф~ [ Ьхг — 22 + 1 — — х — 201 Г(1 — х)2 — — х — 20] 2 + где Ь = 1 11 = совз —.
2рг 2 Для вычисления интеграла по х при д — г О разбиваем область интегрирования на две части: 1-62 1 — 6, В первом интеграле можно полгожи гь д = О; тогда ') 1 — 62 1 — 6, ... с(х= 1 (1 — х) 1 ( Я 1и 1п — '+ Йг . 2(1 — Ь) Ьхг — 2х -Ь 1 — 20 О 2(1 — Ь) ( 1 — Ь о Во втором же интеграле можно положить х = 1 везде, кроме члена (1 — х)2, а также положить д = О в первой скобке знаменателя. Тогда ') 62 1 ггх (х'2 — 62/рг — го) ж н 1 — 6', бгг р! 2 г1х .
/ ггх (х'2 — 62гг~ф) 2( (б'/~2 — х") 1 ~ 2)р)61 При сложении обоих интегралов величина дг, как и следовало ожидать, выпадает, и получается 71 2 1п( В1п ) ° г гг г'2(р) . 01 (121.16) 2(р!гг В1и (01'2) 6 2 ')Правило обхода (член 20) позволяет определить изменение аргумента выражения нод знаком логарифма при нереходе от 0 к 1 — бг. Ири обходе точки ветвления снизу аргумент меняется от 0 до -гг.
) И здесь правило обхода определяет знак корня нри переходе от положительных к отрицательным значениям подкоренного Выражения. 598 Гл. хп РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОПРЛВКИ Интеграл!,12 вычисляется аналогичным образом и равен г!' ~1 — В!В(В(2)~ 'ггг ,72 = 11 у в у 1и вш —. 1121.17) 4)р(2 сопг — яп — 2)р(2 сап!в 2 2 2 Остается подставить эти выра>кения в 1121.14),1121.15), и мы получим окончательные результаты: 1 ~2) = "'~",(1-.1 -')1', (121. 18) ЩЗ В;П 2 в в яп' — 1п яп— 2Хагп!р~ (121.19) сг ( '2): ,2 2 1 — и'яп - ! савв 2 2 (И'.
А. МВКт1гу, Н. РевМасЬ, 1948; Н. Н. Ра1212, 1950). В первом борновском приближении сечения рассеяния электрона и позитрона 1в одном и том же внешнем поле) одинаковы. Во втором приближении эта симметрия исчезает. Для рассеяния позитрона 1заряд +~е~) амплитуда первого приближения 1121.6) имеет обратный знак, знак же Му, не меняется. Поэтому сече- 69 пие 24а!~) г представляющее собой интерферепционный член между Му и Му., изменит знак. То же самое произойдет и с вы- Ю гг уг раженнем 1121.19) для вектора поляризации.
Вообще, переход от формул для рассеяния электрона к формулаъ! для рассеяния позитрона можно произвести формальной заменой Я вЂ” Э вЂ” Е. 8 122. Радиационные поправки к рассеянию электрона во внешнем поле Перейдем к вычислению радиационных поправок к рассеянию электрона во внешнем поле (Х ЯГЬгогпуег, 1949).
Соответствующая часть амплитуды рассеяния изображается двумя диаграммами 1121.2). Диаграмма а дает в амплитуду вклад — 1й у и) Р1 †с1 ) еФ(с1), где Р1 — с12) — поляризационный оператор, отвечающий петле в диаграмме. Вклад диаграммы б: — 1й Л и)еФ1с1)г где Ло — поправочный член в вершинном операторе 1Ги=З" +Л"); 599 1 гвг РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К РАССЕЯНИ1О согласно (116.6) Ао ог>г( 2) 11 ~ ол 2гп Сложив оба вклада, получим ') ЛХу,. = — (й У кар и)еФ(с1), (122.
1) б,)~. (Ч) = П вЂ” Ч') — 1 — — )з(-Ч2) + — 8( — Ч2) И Чз 2т Обсудим прежде всего вопрос об инфракрасной расходимости, содержащейся в формфакторе у( — с1 ), .а тем самым и в амплитуде рассеяния (122.1). Уже было указано (см. 2 98), что точная амплитуда чисто упругого рассеяния сама по себе равна нулю, т. е.
не имеет смысла. Физическим смькьтом обладает лишь амплитуда рассеяния, определенного как процесс, в котором может быть испущено любое число мягких фотонов с энергией каждого, меныпей некоторого заданного значения о> „, удовлетворяющего условиям применимости теории излучения мягких фотонов. Другими словами, имеет смысл лишь сумма М с)п = сигу„р+ псгу р с)ты+ «с'ущ> — / пп>м, с)ти, + ..., о о о (122.
2) где с)гг „„сечение рассеяния без испускания фотонов, Йю дифференциальная вероятность испускания электроном фотона частоты о>. При этом предполагается, что сЬ „р само вычисляется в виде ряда теории возмущений, т. е. в виде разложения по степеням сг ') . Тогда после сведения вместе членов каждого порядка по гх из всех слагаемых в (122.2) мы получим агу в виде разло>кения по сн каждый из членов которого будет конечным. В первом борновском приближении с)сг „р гт2.
Этот член, естественно, имеет смысл сам по себе. Если же мы хотим учесть следующую поправку в Йт „р (член сг ), то наряду с ней надо взять также и второй член в сумме (122.2); поскольку дго, сх, при умножении на Нгг пр ст отсюда тоже возникает величина 2 ') При преобразовании надо помиитгч что если ее = (О, Ч), то ел = (О, — Ч)! Поэтому о 'д = — Г Чз. >) Что касается вероятности Ню ., то необходимость учета радиационных поправок в ней зависит от ь>„„; предел ь> -> О отвечает классическому случаю, в котором радиационные поправки исчезают; поэтому выбором достаточно малого ы„„можно всегда сделать их малыми. 600 РАДИАЦИОНИЫВ ПОПРАВКИ Гл.
хп оз. Покажем, что при сложении этих двух ве.личин инфракрасная расходимость устраняется. Расходящийся член в формфакторе 1 согласно (117.17) имеет вид ') Соответствующий член в амплитуде (122.1); — Г1п — (й'у и)еф(с1), 2 Л а в сечении рассеяния (121.5): ! сстиифра оп" 1гс и1 ~йс.уои~2~еф(с1)~2 Л 16из Сравнив это с борновским сечением Йт~ ) = ~й у и~ ~еф(ч)~ найдем,что сСст""фР" = — ссР 1п ™ с1171 Л (122.3) С другой стороны, второй член в (122.2) с 1 суи1 из (120.11) дает о1ссупр Йю„, = стР 1и '" суст(~) . (122.4) Л о Наконец, сложив (122.3) и (122.4), получим д (ц. 27(~ч~11п 1п 'А 2ш/ 2ы„„, (122.5) ') В этом легко убедиться, использовав соотношение ~ч1 1 — 6 т Я между ~Ч~ и переменной б, с помощью которой написана формула (117.17).
Мы видим, что расходящийся вклад от мягких (~1с~ Л) виртуальных фотонов действительно сокращается с вкладом излучения таких же реальных фотонов. Та же ситуация имеет место в любом другом процессе рассеяния. В то же время появляется зависимость сечения рассеяния от сдша,. Эта зависимость следствие того, что величина щшак, входит в самое определение рассеяния как процесса, в котором может быть испущено любое число мягких фотонов. Естественно, 601 1 122 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К РАССЕЯНИЮ что сечение такого процесса будет тем мепыпе, чем ниже предел ып,дх частот фотонов., непускание которых мы егце относим к данному.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
