В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 114
Текст из файла (страница 114)
(123.8) Зяше 1 2м 24 б/ 4яш Смещение уровня дЕ, получим, усредняя ебФ(г) по волно- 00 вой функции невозмущенного состояния электрона в атоме, т, е. как соответствующий диагональный матричный элемент '): дЕА~ ~ = (1п — + — — — ) (Е)2.'гФ(з) — 7,— (в) 1з(УФ)з). Зппп Х 2м 24 б I 4ят (123.9) ) Подчеркнем отличие этой поправки к потенциалу от поправки, рассматривавшейся в з 114. Последняя включала в себя только эффект поляризации вакуума (диаграмма (121.2, аД для кулонова поля как такового. Поправка же (123.8) относится уже ко взаимодействию поля с электроном и включает в себя также и эффект изменения движения электрона (диаграмма (121.2,б)). э) Строго говоря, опрсделепныо в з 117 формфакторы относились к вере и шинному оператору при двух свободных электронных концах (р = р = т').
Для электрона же в атоме энергия Е, " уровень, вообще никак не связанный с р. Этим отличием можно, однако, пренебречь в области 1. В нерелятивистском случае, взяв г и д из (113.14) и (117.20), а для 1', подставив ('„из (123.5), получим 606 ГЛ. ХП РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОПРЛВКИ В первом члене достаточно использовать при усреднении не- релятивистскую функцию электрона. Во втором же члене такого приближения недостаточно: нулевое приближение по перелятивистским функциям обращается в нуль ввиду отсутствия у матриц у диагональных элементов. Поэтому здесь надо воспользоваться найденной в 2 33 приближенной релятивистской функцией 1р =, сохранив в ней малые (в стандартном представле- 1, Х /' пни) компоненты т.
Имеем Ф*'уФ= р' х — к' и, подставив из (33.4) 1 1 ;л = — 1тр1р = — о'л"'р 2ьч 2П1 ПОЛУ 1ИМ (в~ уTФ~Е) = — — ' 11р"(1тЧФ)(о~71р)+(~Г1р*.ст)(1г~уФ)1р)11вх = = — ~(1р*ллФ 1р — 2лгг р'~Я Ф л1р))д я 2т / (при преобразовании интеграла использовано тождество (33.5) и произведено интегрирование по частям).
Поскольку Ф = Ф(г), то лФ= — —, Г 1Ь и поэтому — 1о ('17Ф. '17) = — — 'о1, г 11г где Х = — г(г~7] оператор орбитального момента. Наконец, собрав полученные выражения и подставив в (123.9), найдем бЕ(') = ' (1и — '" + — ) (Е~ЬФ~Н) + ' (в~сг1- — ~е), (123.10) Зеплл Л 2н 30/ 4ет1 г йг где теперь уже в обоих членах усреднение производится по перелятивистской волновой функции. Низкочастотная часть сдвига. Для вычисления второй части сдвига уровней используем прием, основанный в конечном итоге на условии унитарности.
В силу возможности испускания фотона возбужденное состояние атома является квазистационарным (а не строго стационарным). Такому состоянию можно приписать комплексное значение энергии, причем его мнимая часть равна и/2, 1де и вероятность распада состояния, т. е. в данном случае полная вероятность испускания фотона (см. П1, 2 134). В нерелятивистском РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ 607 1 123 приближении излучение является дипольным, и согласно (45.7) имеем ~с1е, Р~Е Е,)3 * 2 ' 3 (где суммирование производится по всем нижележащим уров- ням,Е, ( Е,),или в эквивалентном виде: 1п1бЕ = ' ~,1., ~~,1,~21Е о В (123.11) откуда следует замена 1 1 о(Е — Е, — ец) = — — 1ш е Е,— Е, — ы+10 (123.12) (ср.
(111.3)). Подставив (123.12) в (123.11), найдем, таким образом, )3 /~ т, ~~ВВ~Й (Š— Е.') Зе / *' Е,— Е, — ы+10 о Искомое аналитическое продолжение получится теперь просто опусканием знака 1ш в обеих частях равенства. Нам надо, однако, выделить из бЕВ лишь ту часть, которая связана с вкладом частот в области П: ео ( Ае.
Для этого достаточно заменить верхний предел интеграла на Аг. Произведя интегрирование, получим в результате бЕО1) 2 ~ ~А ~с1 ~2(Е Е )31 и (123 13) и (в силу неравенства (123.4) на верхнем пределе мы пренебрегли разностью ń— Е, по сравнению с Ре). В дальнейшем нас будет Чтобы найти вещественную часть бЕ», следует рассмотреть Е, как комплексную переменную и произвести аналитическое продолжение.
Это можно сделать, рассматривая О-функции как происходящие от полюсов. Правило обхода полюсов задается, как обычно, добавлением отрицательной части к массам виртуальных частиц, в данном случае — к массам т, электрона в промежуточных состояниях атома. Роль этих масс играют тВ = = па+ Е,, так что надо положить Е — 1 Е — г'О, 608 РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ гл. хп интересовать толг ко вещественная часть уровня: она получается заменой в (123.13) аргумента логарифма на гс(~Е, — Е,1 В выражении (123.13) преобразуем член с 1п гг, заменив матричные элементы дипольпого момента д = ег матричными элементами импульса р = тч и его производной Р: ~ 1с1,12(Е, Е )З ~1РЕ,12(Е, 1Е 'С ~ ((Р) агг Рвгк — Рви (Р) нв ) 21пг Заменив теперь Р согласно операторному уравнению движения электрона Р = -е'ьуФ, получим Х'~с1 .,~2(Е, — )3 = — " '>'И ),, — г( ), ~ = 2гпг х г (, ~р~уФ вЂ” ~уфой ) = й2~Ф~в).
(123.14) Поэтому люжно переписать (123.13) в виде 6Ег1 1 = (в)ЬФ(в) 1п — + — ~1 (г„г! (Ее — Е,)' 1п Зяте т Зх ' 2)Ег — Е, ( гг (123.15) Полный сдвиг. Наконец, сложив обе части, найдем шгедуюшую окончательную формулу для сдвига уровня: дЕ, = — ' ~~ ~гег ~2(Е, — Е,) 1и т + + — (в~ЬФ~в) + (в~а1 — — ~в) (123.16) (как и должно быть, вспомогательная величина гс из нее выпала) ') . Все матричные элементы в (123.16) берутся по отношению к нерелятивистским волновым функциям электрона в атоме. Для атома водорода (или водородоподобного иона) эти функции зависят только от трех квантовых чисел: главного квантового чис га ') Определение поправок следующего порядка в сдвиге уровной требует очень сложных вычислений. Наиболее полную сводку и сисгематический вывод таких поправок (вместе с соответствующей библиографией) можно найти в статьях: Еггсймоп С.
'11г., Уеппне 22. 22.ОАпп. оу РЬув." 1965." Ъ". 35. — Р. 271, 447. РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АГОМНЫХ УРОВНЕЙ 609 1 123 и, орбитального момента 1 и его проекции лп, (но не от полного момента у), соответствующие же уровни энергии зависят только от п,. Введем обозначение ') г ~го Епл = ~ ~(п')'пг'~г~п1гглЯЕп — Е„)3 1п ™" ) 2т(Лег)л 2 ~ń— Е„) пгЛ'пг' (123.17) Уровни энергии пропорциональны (Яе ), а характерный разклер атома пропорционален Яе: поэтому определенные согласно (123.17) величины Епл от Я не зависят.
Эти величины могут быть найдены численно. Дезлее рассмотрим отдельно сллучаи 1 = 0 и 1 ~ О. При 1 = 0 последний член в (123.16) исчезает. Во втором члене воспользуемся уравнением еЬФ = 4я_#_е~б(г), которому удовлетворяет потенциал кулоглова поля ядра. Отсюда (п)гп~, ~ФЯп) = 4г1~е ~фплт(0)~ = 1) ' ) ~ О' (см. (34.3)). В первом же члене вводим обозначение (123.17) и еще раз используем равенство (123.14); )(гл'1'лп')г)п00))2(ń— Еп)'л = (пОО(ЬФ)пОО) = и'Гт' В результате получим следующее выражение для сдвига з-тернов: (123. 18) (обычные единицы). Числовые значения нескольких величин Ьпе. п= 1 2 3 4 оо Епе = — 2,984 — 2,812 — 2,768 — 2,750 — 2,721 Невозьлущенньле уровни Еп = — лпс2(ЯЕЕ)2/(2п2); поэтому отно- сительная величина радиационного сдвига ОЕо 2 3 1 -г ')п —.
Е о г. ' (123. 19) 20 Л. Д. Ландау и Е.М, Лифшиц, том 1 г' ) Матричные элементы от г диагона,льны по числу л и от г не зависят; поэтому суммирование по и в (123.16) сводится к суммированию по и, 1, т. В силу изотропии пространства суллма (123.17) не зависит, конечно, и от квантового числа т. 610 Гл. Кп РЛДИЛЦИОННЫВ ИОНРЛВКИ В случае 1 ф 0 в (123.16) исчезает второй член.
Третий же вычисляется с помощью формул, приведенных в 8 34. В этом члене имеется зависимость также и от числа 11 В результате получим 4тс х а' (Т ЗУ(1+1) — !(11-1) — 314~) 3ли' ( ' 8 1(1-~-1)(21Ч-1) (123.20) Таким образом, радиационный сдвиг снимает последнее вырождение, оставшееся после учета спин-орбитального взаимодействия, вырождение уровней с одинаковыми значениями п и у, по разными 1 = у ~ ~1!2. Так, числовое значение Х21 = +0,030 и из (123.18)-.(123.20) получается гледующая величина для разности уровней 2з л! и 2рл12 атома водорода; 2 В Езе ! 12 — Е21 !)2 — — О, 411ис о (этой разности отвечает частота 1050 МГЦ).
8 124. Радиационное смещение уровней мезоатомов В конце 3 118 была выяснена существенная роль, которую играет эффект поляризации электронного вакуума в радиационной поправке (второго приближения) к магнитному моменту мюона. Еще важнее этот эффект для радиационного сдвига (уже в Г!ервом приближении) уровней )л-л!езоводорода--водородоподобной системы из протона и )л-х!езона (А. Д. Галанин! И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
