В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Следует, однако, иметь в виду, что формула (126.10) имеет лишь символический смысл. Дело в том, что область в > О, 1 > 0- нефизическая. Соответственно в этой области величины 1м 12, ... при вещественных Ч оказываются, вообще говоря, 623 1 126 двойнок диспкгаионнок соотношении 2 2 2 2 2 11 = 12 = 1з = 14 = ™ . (126.13) Из условий 12 = 121 —— т2 получаем, как и в З 115, 61 =ш — т.
о = ю, О (126.14) ') При 1 > О: (1с — 14') < О, т. е. вектор 14 — 14' мнимый. Это затруднение, однако, легко обойти, раскрыв есе векторные выражения при 1 < О и произведя затем аналитическое продолжение к 1 > О. ) Такой способ интегрирования автоматически учитывает лишь по одному из нулей аргументов б-функций. комплексными; понятие же д-функции при комплексных зна 1е- ни11х аргумента нс является полностью определенным.
Точнее было бы говорить прямо о взятии вычетов в соответствующих полюсах исходного интеграла (126.4). В нашем случае это, одна- ко, не играет роли. Условие обращения в нуль четырех знаме- нателей в (126.4) или четырех аргументов б-функций полностью определяет компоненты 4-вектора д. Переходя к интегрирова- нию по 11, 12, ... (см. ниже) и формально оперируя с интегра- лом (126.10) по обычным правилам, клы найдем (с точностью до знака) выражение для Аз. Для дальнейших вычислений выберем систему центра инер- ции (в к-канале). Тогда Й1 = (ш, 14), Й2 = (ш, — 14)., йз = (ш, 1с ), Й4 = (ш, — 14 ), (126.11) я = 4о1~, й = — (1с — 14')2 = — 4шя 61п2(д/2), (126.12) и = — (1с+ 14') = — 4шз сок~(д/2), где д угол между 14 и 14' (угол рассеяния).
Ось х пространствен- ных декартовых координат направим по вектору 14+ 14, а ось р —— по 14 — 14' ') . Преобразуем теперь интеграл (126.10), выбрав квадраты 11., 1~, ... в качестве новых переменных интегрирования (вместо четырех компонент о). Имеем — = 211„, ..., дф) дог поэтому якобиан преобразования дРм 14, 1з, 14) д16' ч. Ог ь ) где Т) — определитель, составленный из 16 компонент 4-векторов 11, 12, 11, 14.
Интегрирование в (126.10) сводится просто к замене функций В и 0 в подыптегральном выражении их значениями при ') Рлдиационные !1опгавки Гл. хп Остальные два условия дают (~ — 1:4) г — гпг = -2д~4 = — 2ыг — 2Чй' = О (д — йг) — гпг = — 2сог — 2с11с = О, так что Ч1с = Ч1с = в/4 или в компонентах: а я Я =М. Дя= 7р —— О, 2(в -Ь г) д =ь/ — г-Р=ьп ""' "] . (12615~ 4(я -'г й) Таким образом, интеграл (126.10) равен Аг(л, 1) = — '~~~ ( — 1В), (126.16) где суммирование производится по двум:значениям Ч из (126.15).
Определитель Р можно записать с помощью единичного ап- тисимметричного тензора; ерири11121з14 еририч ~4~2~1 УиРгриРи — ерири(д — й1)р(й~ — й~) (йг — й1) й, (при преобразованиях использована антисимметрия ер,ри). За- метив, что нз четырех множителей временную компонейту имеет только йы находим Р = — огЧ[(1с + 14') (1с — 1с')]. Раскрыв это выражение при 1 < 0 и затем продолжив к ~ > О, получим Р = — ол7,ъ~в + 1~/ — 1 — ~ ~-(в4~яй — 4гп~(я+ 1)]) и'. (126.17) 4 Выбор знака в этом выражении можно произвести на осно- вании следующих соображений.
Положим для простоты В = 1. Тогда видно, что в физической области (я > О, 1 < 0) имеем Ам(я, ~) < О. Действительно, .оба знаменателя в подынтеграль- ном выражении в (126.6) имеют одинаковый (отрицательный) знак: (д — Й4)г — тг = — 2ог~ — 2с11с' < — 2ог(ог — ]с1]) < О, (д — йг) — т~ = — 2ы~ — 2с11с < — 2со(оз — ]Ч]) < 0 (здесь использовано, что, в силу наличия двух б-функций в числителе, имеет место (126.14) и потому ]с1] < оз) ') .
Из (126.7) 1 ) Разумеется, ято не случайно. Отрицательность Ам в действительности следует из условия унитарности, что особенно ясно при г = О, когда Ам определяет полное сечение. 625 1 126 дВОЙнОе диспегсионнОВ ОООтнОшение видно тогда,, что отрицательна должна быть и функция А2(6, 4) при в > О, 1 > 0 (если учесть, что, согласно (126.16), зта функция знакопостоянна). Это значит, что в (126.17) надо выбрать верхний знак, так что окончательно (126.18) (»1)61 — 4ш»(В -»1))) И' Так как по своему сл1ыслу функция А2(В, 8) должна быть вещественна, то кроме положительности в и 1 имеется еще условие положительности выражения в квадратных скобках в знаменателе: 61 — 4т,~(в + 1) > О, 6 > О, 1 > О. (126.19) Этн неравенства определяют область, по которой должно производиться интегрирование в двойном дисперсионном интеграле (126.8) (зап1трихована на рис. 23).
Ее границей является кривая И вЂ” 4т (в+1) = 0 с асимптотае1и 6 = 4т и 1 = 4гп2. Дисперсионные соотношения в форме (126.5) и (126.8) еще не учитывают условий перенормировки, и при буквальном их применении интегралы оказались бы расходящимися и требовали бы регуляризации. Условие перенормировки для амплитуд М(в, 1) заключается в требовании М(0, 0) = О. (126.20) Действительно, амплитуда рассея- 4»п ния фотона на фотоне должна обраП1ат! ся В нуль, когда к1 = к2 = кз = 4 = й6 = 0 (а потому и В = й = 0), поскольку й = 0 озна1ает постоянный во времени и пространстве потенциал, которому не отвечает никакое физическое поле (мы еще обсудим это условие более детально в следующем параграфе). Для автоматического учета этого условия надо написать дисперсионное соотношение «с вычитанием» (подобно переходу от (111.8) к (111.13)).
Мы придем к такому соотношению естественным образом, произведя сначала тождествегшое преобразование соотношения (126.8) с помощью тождества гл. хп 626 РАДИАЦИОННЫЕ ИОПРАВКИ Подставив его в подьштегральное выражение в (126.8), получим ~~ А,1', Г')л.'лГ' --ll ("- И вЂ” »' -.! (8-8) + + ',1 а(")"'+С, / Π— к)н где У( ) = —,' ')а71, а(1) = — '~','~)4,', С= ' /'/'"~'')А ж ЛГ,/,/ 8 ЧУ Последние равенства, однако, имели бы смысл лишь при условии сход1лмост17 всех интегралов. В противном же случае функциям ~(8), ф1) и постоянной С должны быть предписаны заранее заданные значения, соответствующие условию перенормировки. Именно надо положить С = О, /(8) = А~,,(8, 0), ф1) = АГГ(0, 1)7 где Ап — мнимая часть М(8,1), появляющаяся при увеличении 8 и и заданном малом 87 подобно тому как А», мнимая часть, появляющаяся при увеличении 8 при заданном малом +. Пер о.
пр из этих равенств очевидно; С = М(0,0) = О. Второе (и аналогичным образом третье) следует из сравнения равенства ' /'/(")" 7Г / 78 — 8)8 с однократным дисперсионным соотношением (126.5), написанным «с вычитанием», отвечающим условию (126.20)1 М(„1) = ' (" 1'' '),Ь. (126.21) 7Г / '18 — 8)8 Таким образом, окончательное двойное дисперсионпое соотношение «с вычитанием»: Г' 1 1 (8' — 8ИГ-' — П8ч' / А1,78', 0) 87 7 1 / А17(0, 1') 187 7126 22) 7Г / (8 — 8)8 Л / Π— 8)Г Если значения 87 й сами лежат в области инте1 рирования, то интегралы (126.2Ц,(126.22), как всегда, надо понимать как предел при (126.23) 8 — 8 8 + 10, 1 — + 8 + 70 627 1 127 РАСОВЯНИВ ФОТОНА НА ФОТОНЕ 9 127. Рассеяние фотона на фотоне 14 744 9 9-94 9-92 р д — 94 — Фе кв йз (127.1) и еще три диаграммы, отличающиеся от этих лишь изменением направления обхода внутренней электронной петли. Вклад этих последних совпадает с вкладом диаграмм (127.1), и потому полная амплитуда рассеяния М .
= 2(М(а) + М(б) + М(вз) (127.2) где М~в14 М~о~4 М~в~ вклады диаграмм а, б, е. Согласно (64.19) сечение рассеяния 1 ~ ~2 до' (127.3) где до' -. элемент телесных углов для направления 1с' в системе центра инерции. Угол рассеяния в этой системе обозначим через Й. Инвариантные амплитуды.
Выделив поляризационные множители четырех фотонов, представим Меч в виде Л Р Р* Р 4,4 МП = е1с2 еэ еи Мл„вр. (127.4) ') В предольном случае малых частот этот процесс был впервые рассмотрен Эйлером (Н. Еи1ес, 1936), а в ультрарелятнвнстском случае А. И. Аиивзервм 11937). Полное решение задачи дано Карплусвм н Нойманом сл, Котр1ив, М, Евип4апп, 1951). Рассеяние света на свете (в вакууме) является специфически квантовоэлектродинамическим процессом; в классической электродинамике оно отсутствует из-за линейности уравнений Максвелла ') .
В квантовой электродинамике рассеяние фотона на фотоне описывается как результат рождения двумя начальными фотонами виртуальной электрон-позитронной пары и последующей аннигиляции этой пары в конечные кванты. Амплитуда этого процесса (в первом неисчезающем приближении) изображается шестью 4 квадратными» диаграммами со всеми возможными относительными расположениями их четырех концов. Сюда относятся диаграммы 628 РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОНРЛВКИ Гл. Кп Млрир(Л!1, Л2, — !434 — !44) будет симметричен по отношению к любым перестановкам четырех аргументов вместе с одновременной такой же перестановкой его четырех индексов. В силу калибровочной инвариантности амплитуда (127.4) не должна меняться при замене е 4 е+ сопв1 й. Другими словами, должно быть Л !! ~1 МЛИра ~2 МЛррР (127 5) Как легко сообразить, .отсюда ! тедует, в частности, что разло- жение тензора рассеяния по степеням 4-импульсов Й1, Й2, должно па 1ипаться с членов, содержащих четверные произведе- ния их компонент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
