В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 120
Текст из файла (страница 120)
7) (О. А. Вейе, .Е 55ОЬР17сЬ, 1952). Таким образом, при больших о7 сечение когерентпого рассеяния стремится к постоянному пределу. 8 129. Радиационные поправки к уравнениям электромагнитного поля При квантовании электрон-позитронного поля (см. 8 25) мы видели., что в выражении для энергии вакуума появляется бесконечная постоянная, которую можно записать в виде ') с (-) со = — ~ер., (129. 1) ') Пишем здесь 8' вместо Е во избежание путаницы с напряженностью электрического поля. 638 Гл.
хп РЛДИЛЦИОННЫВ ПОНРАВКИ где ер„- отрицательные частоты решений уравпения Дирака. Сама по себе эта постоянная не имеет физического смьпша, так как энергия вакуума равна нулю по определению. С другой стороны, при наличии электромагнитпого поля уровни эпергии ср„ будут меняться. Эти изменения конечны и имеют определенный фи:зический смысл. Они описывают зависимость свойств пространства от поля и меняют уравнения электромагнитного поля в вакууме.
Изменение уравнений поля выражается в изменении его функции Лагранжа. Плотность 1 функции Лагранжа является релятивистским инвариантом и потому может быть функцией лишь от инвариантов Ев — Н" и ЕН. Обычное выражение То= — (Š— Н ) (129.2) есть первый члеи разложения общего выражения по степеням инвариантов. Мы найдем функцию Лагранжа в случае, когда поля Е и Н настолько медленно меняются в пространстве и времени, что их можно считать однородными и постоянными; тогда Т не содержит производных от полей. На формулировке необходимых для этого условий мы остановимся в конце параграфа. Однако для того чтобы поставленная задача имела смысл, необходимо еще предпо.тагать электрическое поле достаточно слабым. Дело в том, что однородное электрическое поле может рождать из вакуума пары.
Рассмотрение поля самого по себе как замкнутой системы допустимо, лишь если вероятность образовапия пар достаточно мала. Именно, должно быть (129. 3) (Е! «вЂ” (изменение энергии заряда е на расстоянии 6/(тс) должно быть мало по сравнению с тс ). Мы увидим ниже (см. также задачу 2), что в таком случае вероятность образования пар экспоиенцизлы!о к1ала. Если наряду с электрическим полем имеется также и магнитное, то, вообще говоря, можно выбрать систему отсчета, в которой Е и Н параллельны.
Тогда магнитное поле не влияет па движение заряда в направлении Е. Именно в этой системе (выбор которой будет подразумеваться в дальнейших вычислениях) и должно выполняться условие (129.3). Вычи1шеиие функции Лагранжа начнем с определепия изменения И" энергии вакуума. Величина И" дается изменением за счет поля «нулевой энергии» (129.1). Из этой величины, однако, надо еще вычесть средние значения потенциальной энергии 129 ПОПРАВКИ К УРАВНЬНИЯУ| ЭЛЕКТРОМЛГНИТНО!'О ПОЛЯ 639 РО ра где !)|р отрицательно-частотные решения уравнения Дирака (-9 в данйом поле. Будем предполагать,что интегрирование ведется по единичному объему, а волновые функции нормированы на 1 в этом объеме; тогда Ое есть энергия единицы обьема.
Согласно сказанному выше из Оо надо вычесть величину х ) 170 = ~ / Фр« ВРИ« д' |а| ,Э,Т где |р = — Ег потенциал однородного поля. Но согласно теореме о дифференцировании оператора по параметру (см. П1, (11.16)) ~4 = Е~ Г,),( )*~Й ( 11з* = — Е~ д~Р ! Едй к-'/ ~ дЕ ~ ~-' дЕ дЕ |! Т ра Таким образом, окончательно полное изменение плотности энер- гии вакуума И = (г, Е ) (~,-~ ) . (~Ю.Л) Свяжем И" с изменениелл плотности лагранжиана Ь'(Ь = = То + Ь'). Для этого воспользуемся общей формулой И'= ~9 — — 7„ .дЬ д|) где |7 «обобщенные координаты» поля (сы.
П, З 32). Для электромагнитного поля роль величин 9 играют потенциалы А и |р. Поскольку Е = — А — ~7|д, Н = го1 А, (129. 6) то из числа «скоростей» д в Т входит лишь А, а дифференциро- вание по А эквивалентно дифференцированию по Е. Поэтому И" = Š— — 1,'. дЕ (129. 7) электронов в «состояниях» с отрицательной энергией. Последнее вычитание означает просто, что полный заряд вакуума по определению равен нулю.
Нулевая энергия при наличии поля: РАДИАЦИОННМВ ПОИРАВКИ ГЛ. ХН Сравнив (129.5) и (129.7), найдем [6) ее)Е=Н=О) . (129.8) Таким образокл, вычисление Н сводится к вычисг)ению сумклы (129.1). Рассмотрим сначала случай, когда имеется лишь магнитное поле. «Отрицательныерг уровни энергии электрона (заряд е = = — )е)) в постояннолл однородном поле Н, = Н вЂ” е и=0,1,2, ...;ел=+1 (129.9) (см. задачу к 8 32). Для вычисления сутлмы учтем, что число состояний в интервале гррр есть )е)Н др. 222 2гг (см. П1, 8 112); первый множитель есть число состояний с раз- личными значениями р, от которых энергия не зависит. Кроме того, все уровни, за исключением лишь уровня с и = О, = — 12 двукратно вырождены; совпадают уровни с п, ег = +1 и и+ 1, гг = — 1.
Поэтому 00 00 — е = — 1 (~ ррлр2А (222) 2,/ 0=1 (129.10) Расходимость интегралов в (129.10) устраняется при вычислении Ь' (129.8) вычитанием значения суммы при Н = О. Для проведения этой «перенормировки» удобно вычислить сначала сходящееся выражение д»де )е)н (дт2)2 2(22г)2 0'Г 00 1() 'рр)) '.32А( 'р2))н,рр)) ')лр,= О 0=1 )е)Н) 1 х»р 1 — — — +2~ 8222 ( тр "-' т»+ 2~)е~)Нп 0=-1 Суммирование в фигурных скобках можно свести к суммирова- 129 пОпРАВки к УРАВнениЯМ| электРОмигнитнО!'О пОлЯ 641 пню геометрической прогрессии следующим способом: оо оо ф = — ~~~~ е "'|и 2 ~ е — 2~и нип 6 .и ,/ о =о ||и) ' ( | о — — е ~ "ОСЬ(/е/Нй)119.
(129.11) о Для пахождопия Н надо теперь дважды проинтегрировать Ф по т ., после чего вычесть значение получающейся величины при Н = О. Находим 2 О' = — —,, (9)е)Н с111((е)Н) — 1)|19+ г! + 121|1, о (129. 12) где с| и с2 зависят от Н, но не зависят от т .
2 Из соображений размерности и четности по Н очевидно, что Ь как функция от Н и т должна иметь вид ь = ьа 1( —,). Поэтому членов, нечетных по т2, в Н вообще пе может быть, так что с2 = О. Коэффициент же с| определяется из условия, чтобы ра1ложение Н по степеням Ня начиналось с члена Н|.
Действительно, член Н в Л означал бы просто изменение 2 | коэффициента в исходном лагранжиане Хе = — Н2/(8П). Но это было бы, по существу, изменением определения напряженности поля, а тем самым и заряда. Поэтому устранение членов Н2 означает перенормировку заряда. Легко проверить, что для этого надо положить Н|е! 1 е с| = 1 — !Бр 3 8иа / |1 о наконец, произведя еще в (129.12) замену переменной 1пвц -э 9, 21 Л. Д, Лаииау и Е.М, Лифшиц, том 1!' 642 Гл. хп РАДИАЦИОННЫЕ ИОИРАВКИ получим окончательно 9(н; В = 9) = — "' 1 (-99К2999 гг-; — ") + (12912) а где 6 = (е)Н)гпг . Вернемся к общему случаю, когда наряду с магнитным имеется также и параллельное ему электрическое поле Б, удовлетворяющее условию (129.3).
Для вычисления Ь' в этом случае нет, однако, необходимости решать заново задачу об определении уровней энергии ер электрона в поле. Достаточно заметить, что если искать волновую функцию - решение уравнения второго порядка (32.7) - в виде произведения Ф = Фн(е)Е*Р"*х (у), где 9(п - волновая функция в магнитном поле при Е = О и р, = = О, то масса т и поле Н войдут в уравнение для Фн(е) лишь в комбинации т2+ ~е~Н(2п + 1+ ег). Если теперь учесть, что суммирование по р (от которого уровни энергии не зависят) по-прежнему даст множитель ~Е~Н/(29г), то из соображений размерности величину Ф(Н, Е) = можно записать в виде ( гп + (е) Н(2п -Р 1 -)- е) ) Ф(Н,Е)= — ~ ~Н Г 8х2 ~ ~-~ гп2-)- ~е~Н(2п-~-1-Р гг) п=а гг=А1 (1 -г 2)гп) = — — (г(1) .92А -, = (129.14) п —.— 1 (каждый член этой суммы есть производная — (1 ер /(Ыт ), просуммированная по всем квантовым числам, кроме и).
Здесь Е - неизвестная пока функция,. которую мы найдем из соображений релятивистской инвариантности. Действительно, Ф должно быть функцией скаляров Н2 — Е2 и (ЕН)2 = (ЕН)2) Ф(Н Е) = ~(Н вЂ” Е2 (ЕН) ) попРлвкн к уРАВньнит|а| электРОмлснитного пОля 643 1 129 Поэтому. Ф(0, Е) = ~( — Е, 0) = Ф(|Е| 0). Но функция Ф(2Е, 0) получается из (129.11) заменой Н вЂ” > 2Е; после переобозначения переменной интегрирования найдем (129 15) Ф(2Е, 0) = —, е "5" с1951|4тр 8хг / о Сравнив это выражение с пределом Ф(Н вЂ” ~ О, Е), вычисленным из (129.14), мы сможем найти функцию Е.
Переход к пределу Н вЂ” т 0 в (129.14) производится путем замены суммирования по п интегрированием по 51и = Г1х/(2Ь): 8л2,/ '5 о, / 1-|- т 8лг,/ р о 1то Приравняв выражения (129.15) и (129.16) и продифференциро- вав это равенство по 15|а: — з, получим — = — т е 21с1851ЙЬ В() / о После этого суммирование в (129.14) снова сводится к суммированию геометрической прогрессии, и дальнейшие вычисления аналогичны произведенным выше: выражаем Ф через из, Е и Н, 2 интегрируем дважды по т, вычитаем значение при Е = Н = 2 = 0 и определяем постоянные интегрирования, как при выводе (129.13). Окончательный результат '): 2 Ь~ = — — / — 1 — (51ас1ит1а)(51Ьс1а туЬ) + 1 — ~ (а — Ь )~с|51, 8||2 3 о (129.17) ) Этот результат был впервые получен Гсйзет|йергем и Эйлером (И'.
Не|гспйетй, Н. Ви1ет, 1938). В изложенных вычислениях использованы закже идеи вывода, предложенносо Войскоп45ом ( 15. 'т!'етггйор~, 193б). 21* Гл. хп РЛДИЛЦИОННЫВ ПОПРАВКИ Параметры а и б можно записать в инвариантном виде а = —,((У+16) 2 — (У вЂ” гД) 2 ), (129.18) Н 1(т.+,д) 2 „(т-;д) 2 ) ч' 2пзе где У' и Д обозначают инварианты: У = — (Н вЂ” Е ), 6 =ЕН У жг6 = — (НжЕ)~. (129.19) 2 2 После того как формула (129.17) выражена через инварианты У и 0, она тем самым становится применимой в произвольной системе отсчета (а не только в той, где Е О Н). Сразу же отметим несколько условный характер записи фор- мулы (129.17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
