В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 124
Текст из файла (страница 124)
Продемонстрируем это для случая бесконечно малого сдвига )с — 2 Й + 51, вычистив разность тр )' Й' Й"-~-4)' ),)4р ) р ц)2 2)2 )) г „г)2) С точностью до членов первого порядка по Я „, и / / 4ке(йй) Н" ) „4 / ) 1)22 ог)2 1ьг, 2)2) В первом члене усреднение по направлениям заменяет числитель на )сто)и (ср. (131.9)), после чего находим ') 2 (131. 18) (ьг „2)2 660 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ гл. хп !П(1+ Х) о (131.19) (ее называют иногда функцией Спенса).
Отметим здесь для справок некоторые ее свойства: Р®+Р( — ) = — + — 1п (, (131.20) .г'( — ~) + 14'( — 1+ ~) = — — +1П(1П(1 — (), 6 Е(1) = —, 1Р( — 1) = — —. (131.22) Разложение при малых ~: (131.21) ~2 ЕЗ ~4 Р(~) = ~ — — + — — — + 4 9 16 (131.23) В окончательных выражениях для радиационных поправок часто фигурирует трансцендентная функция, определяемая ин- тегралом ГЛАВА ХГП АСИМПТОТИЯЕСКИЕ ФОРМ асЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 3 132. Асимптотическое поведение фотонного пропагатора при больших импульсах В 9 113 был вычислен первый (по сл) член разложения поляризационного оператора Р(а2) и было найдено, что при )й2( >) ту с логарифмическолл точностью он иллеет вллд Р(ьз) = )с211! ~" ~, (132.1) Там же было указано, что по смыслу вывода этой формулы (как поправки первого приближения к пропагатору 4лтВ л = аз) предполагается выполненным условие — 1п — « 1, (132.
2) Зл нла чем ограничивается применимость формулы со стороны больших ~й~~. Покажем теперь, что в действительности выражение (132.1) остается справедливым и при гораздо более слабом условии — 1п — < 1. (132. 3) зХод доказательства состоит в следующем ') . Прежде всего, замечаем, что хотя при условлли (132.3) вклад в Р(к:2) может возникать, в пригщипе, от членов всех порядков (по сл) ряда теории возмущений, но в каждом (и-ал) порядке надо учитывать только члены оп1глн(~)с2~/т2), содержащие большой логарифм в той же степени, что и о; члены с более низкими степенями логарифма заведомо малы в силу неравенства ст « 1. Далее, исследование ряда теории возмущений для Р можно свести к исследованию рядов для й и Г" с помощью уравнения Дайсояа Р(1с2) = л4™ яр / ~я(р+ )с)Гр(р+ к,.
р; к) й(р) — Р (1324) 3 / (2к)л ) Излалаемая постановка вопроса н результаты принадлежат Л. Д. ЛанлЛау, А. А. Абрикосову и и. М. Халатанвкову (1954). 662 Асимптотичвскин лоеммлы кнлнтонов элвктгодинлмики гл. хш Рви® вЂ” 19игг . ) (132.5) (Р(0 = 0 в (103.17)). Оказывается, что в такой калибровке ряды теории возмущений для м и Ги вообще не содержат членов с нужными степенями логарифмов. Поэтому в (132.4) достаточно подставить для м и Ги их нулевые приближения: й = С, Ги = 7". Тогда выражение (132.4) сводится к интегралу 44 Р(Я = г' яр у„С(р+ к)7РС(р) Р . (132.6) Это..
интеграл Фейнмана, отвечагощий диаграмме (113.1) первого (по о) приближения, который и приводит (после соответствующей перенормировки) к формуле (132.1). Приступая к доказательству сделанных утверждений, проследим прежде всего за происхождением логарифма в интеграле (132.6). Легко видеть, что логарифмический член возникает от области интегрирования р »~й ~ при ~й ~>>ш. (132.
7) Действительно, формально разлагая С по степеням 1/( ур), имеем С(р) = — '= —,, 1 тР тр Р" 1 1 1 1 1 1 1 С(р — 1с) — — + — уй — + — 71г — 7К вЂ” = тР— тй -а зй Ю а тР Р тР + (чР)(чЫ(тР) + (зРЯиЯР)(зИчР) Рг ( г)г (,г)г При подстановке в (132.6) первый член, .не зависящий от й, выпадает в результате регуляризации (в соответствии с условием Р7"кв -+ 0 при и' -э 0). Второй член обращается в нуль при интегрировании по направлениям р. Третий же интеграл логарифмически расходится по р; взяв его в пределах от р ~й ~ (нижний предел области (132.7)) до некоторого вспомогательного «параметра обрезания» Лг, получим г — — Й 1п —.
(132.8) Згг )Ьг) Для регуляризации следует вычесть из Р/1л его зна гение при кв = О. Но поскольку логарифмическая точность предполагает (см. (107.4)). Поскольку функция Р(кг) калибровочно-инвариантна, при ее вычислении можно выбрать любую калибровку для величин й и Г. Наиболее удобна для этой цели калибровка Ландау, в которой пропагатор свободных фотонов имеет вид (76.11): ФО'ГОННЫЙ ПРОПАГАГОР 11РИ БОЛЬШИХ ИМПУЛЬСАХ 663 1 122 условие )Й ) » т, при вычислении с этой точностью регуляризация осуществляется вычитанием значения при ()с ) т, в .2 2 результате чего Л в аргументе логарифма заменяется на т и 2 мы приходим к (132.1).
Так как интересующие нас поправки в й и Г" имеют логарифмический характер, го с их учетом й и Ги будут отличаться от С и уд медленно меняющимися логарифмическими множителями. Поэтому и в точном интеграле (132.4) будет существенна та же область (132.7), что и в приближенном интеграле (132.6). Тем не менее положить просто а = 0 в ГР(р+ к, р; гг) нельзя: ввиду квадратичной расходимости интеграла его регуляризация требует рассмотрения также и двух следующих членов разложения Гд(р+й, р; к) по степеням й.
Мы, однако, ограничимся здесь обсуждением поправок к Г" (р, р, 0), достаточно ясно демонстрирующим роль выбора калглбровкн и разлглчие в характере интегралов, возникающих от диаграмм разных типов. Отметим также, что в аналогичном исследовании для й нет необходимости, поскольку поправки в Г и й связаны друг с другом тождеством Уорда (108.8) . Первой (по сг) поправке к Г(р, р; 0) отвечает диаграмма )й=б и соответственно интеграл ') Г"(') = — го у~С(р,)тРС(р,)7 Т)А.(р — р,) "' .
(132.9) (2;г) 4 В обычной калибровке имеем 411 АгЛР(Р— Р1) = 9ЛР (р — р1)г и в интеграле сугцественна область р2~ >> р2, в которой он логарифмически расходится. Вычислив ийтеграл Г"О) = — 4ггго (132.10) (р1)г (2 )4 ') Во избежание недоразумений при сравнении с результатами 2 117 напомним, что в 2 117 оба электронных конца диаграммы предполагались физиче- г, г скими, между тем как здесь предполагается р » ~Ь ~ >> иг, т, е, обе линии заведомо не физические.
664 лоимптотичвакик тоеммлы квантовой элвктгодинлмики гл. хш и регуляризовав логарифм, получим ГР~1) — — 7и 1п Р 4я гн В калибровке же Ландау вместо (132.10) получим интеграл Произведя усреднение по направлениям Р1 и приведение матриц у, найдем, что этот интеграл обращается в нуль, так что логарифмический член в Г"(1) выпадает ') .
В поправках второго (по ст) порядка рассмотрим диаграмму !в=о Соответству ющий интеграл; ГР42) = — ~2 -~ЛС(Р2) ~'С(Р~ )т" С(Р1) у" С(Р2)у х д Р14 Рв х Пир(Р2 Р1)1)ля(Р Р2) При обьггпой калибровке П-функций этот интеграл содержит член с квадратом логарифма, происходягций от области интегрирования (132.11) Р1 » Р2 » Р .
Действительно, .после пренебрежения Р2 в аргументе функции Ю р(Р2 — Р1) интегрирование по с1 р1 становится таким же, как в (132.9), и дает 1пр22, последующее же интегрирование по с( Р2 4 снова имеет логарифмический характер и приводит к квадрату )п(Р~~(т2). При выборе же для 11-функций калибровки Ландау при обоих интегрированиях логарифмические члены выпадают. 1 ) Поправки к С в обеих калиоровках, найденные из поправки Г с О1 вомогдью тождества (108.8), согласуются, конечно, с ревулюатами 1 119. 133 сВЯзь межДУ зАтРАВОч55ым» и истинным злР55ДАми 666 Такая же ситуация имеет место для всех других диаграмм, входящих в скелетную диаграмму (132.12) Диаграммы же других типов, с пересекающимися фотонными линиями, например, входящие в скелетную диаграмму (132.13) (ср.
(106.11)), вообще не содержат членов с нужной степенью логарифма ни в какой калибровке (в них нельзя выделить такую область значений переменных., в которой интеграл сводился бы к нескольким последовательным логарифмическим интегрированиям). Эти рассуждения (и аналогичные для следующих членов разложения Г по степеням й) подтверждают, что в калибровке Ландау не возникает поправок к й и Г с нужными степенями логарифма, так что выражение (132.1) действительно справедливо и при условии (132.3). Функция ь5(!с ), соответствующая поляризационному оператору (132.1), имеет вид Т1(~2) 47г 1 (132.14) 1 — — !В— 37Г т2 В силу условия (132.3) разлагать это выражение по степеням о нет необходимости.
3 133. Связь между А5затравочным» и истинным зарядами Применимость формулы (132.14) ограничена, однако, со стороны болыпих !А5в! в связи с уменыпением ее знаменателя. Действительно, вывод этой формулы основан на пренебрежении диаграммой (132.13) (и другими, с еще болыпим числом жирных фотонных линий) по сравнению с диаграммой (132.12). Но добав- ление каждой такой линии привносит в диаграмму множи- тель е~Хг с точным пропагатором ег. При этом роль малого па- раметра играет, вместо о = е г величина о )и! « 1.
(133.1) 1 — — 1п— 3 ге гп-' Когда, по мере возрастания ~И~, эта величина по порядку сравнивается с единицей, из теории, по существу, вообще исчезает малый параметр. Возникающую ситуацию можно понять более ясно, если при выводе (132.14) производить перенормировку не «па ходу», а путем предварительного введения «затравочного» заряда электрона е„который в дальнейшем подбирается так, чтобы привести к правильному наблюдаемому значению физического заряда е (смг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
