В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 125
Текст из файла (страница 125)
3 110). Если интеграл «обрезается», как это было сделано выше, на вспомогательном верхнем пределе Л, то затравоч~ый заряд будет его функцией, ее = ее(Л~), и в заключение должен быть произведен переход к пределу Л -+ оо. При таком способе подхода к задаче поляризационный оператор будет г»~~ 2) е, ~д 1„Л Згг )й'! (выражение (132.8) с ее вместо е), и соответственно р(у 2) 4гг 1 1 ~- — ' 1п —, Зк (Ье) Определив теперь физический заряд е согласно условию (133.2) полу чим (133.3) «1« 1 -» — 1и— Згг гп» или ее (133.4) е 3гг т« Если формально перейти в (133.3) к пределу Л -+ оо, то ез — » — 1 0 независимо от вида функции е~(Л).
Такая «нулификация» заряда означает, разумеется, невозможность строгого проведения перснормировки. Этот переход к пределу нельзя, однако, 666 лггимптотичкокик «оеммлы квлнтовой элвктгодинлмики гл. хш 133 сВЯзь межДУ «зАтРАВОчным» и истинным зАРЯДАми 667 произвести, не яарушив предположений, сделанных при выводе (133.3).
Из (133.4) видно, что по мере увеличения Л (при заданном значении е ) е,". растет; но уже при е,. 1 формулы теряют свою применимость, поскольку их вывод основан на предположении е,«1 (133. 5) как условия приьиенимости теории возмущений к езатравочномуа взаимодействию. Нарушение неравенства (133.5) при увеличении Л имеет важное принципиальное значение. Оно означает логическую неполноту квантовой электродинамики как теории со слабым взаимодействием. По существу это означает логическую неполноту имеющейся теории вообще. Действительно, ес аппарат связан именно с возможностью рассматривать электромагнитное взаимодействие как слабое возмущение. Все вычисляемые величины получаюггя в теории в виде рядов пп степеням е,, причем эти ряды являются в действительности асимптотическими.
Для придания этим рядам определенного смысла при не малых значениях е„во всяком случае, требовались бы до- 3 полнитсльные соображения, не следующие из общих принципов существующей теории. В то же время следует подчеркнуть, что в квантовой электро- динамике описанные трудности могут иметь лишь чисто теоретическое значение. Они возникают при фантастически огромных энергиях, не представля1ощих никакого реального интереса ') .
Можно ожидать, что в действительности уже несравненно раньше электромагнитные взаимодействия «запутываются» со слабыми и сильными взаимодействиями, в результате чего чистая электродинамика теряет смысл ') . В заключение этого параграфа покажем, каким образом формулы (133.3),(133.4) могут бьггь получены с помощью простых рассуждений, основанных па смысле понятия перенормировки и на соображениях размерности (М. СеП-Мапп, Г.
Ьош, 1954). Рассмотрим квадрат затравочного заряда как функцию параметра обрезания, е~(ЛЗ), и введем функцию с1, определяющую соотношение между значениями е,. при двух различных значениях 2 ее аргумента: е~( Л~ ~) = е~( Л~1 )а1. При Л1, Л~ ~>> гпп функция с~ не зависит от т„будучи безразмерной величиной, оиа может быть ') Так, равенство (о/х)!В(г~/ше) = 1 достигается при е 10езпи е) Противоположная ситуация имеет место в теориях, в которых взаимодействие между частицами осуществляется не электромагнитным полем, а так называемыми полями Янга Миллса.
Связь перенормированного заряда с затравочным в таких теориях дается формулой типа (133.4)., но с обратным Знаком в знаменателе, так что при заданном значении е затравочный Заряд е„уменьшается с ростом Л. Такое свойство теории называют асимптотической свободой. Разумеется, теория с асимптотической свободой принципиально отличается от теории с нулификацией заряда. е,(Л~) = ес(Л~)аг е,(Л1)г —,', ).
Лг'/ (133.6) От этого функционального соотношения можно перейти к дифференциальному уравнению. Для этого напишем равенство (133.6) для бесконечно близких значений Лс~ и Л~~. Обозначив Л~г = С и положив Л~ ~—— с + агбг полУчим длЯ фУнкции сто(с) = е~(Л~с) следующее дифференциальное уравнение: дст, = эз(сг,) — ~. д~ (133.7) Здесь введено обозначение ггз(сто) = с-гс ~ (133.8) и учтено, что, по определению (133.6), д(сгс, 1) = 1. Интегрируя уравнение (133.7) в пределах от с = Л~1 до с = Лз~, получаем езСЛзз) ~2 1п —, = Л,' / уг(а) (133. 9) езСЛе) Во всей области интегрирования е~ мало. Поэтому можно воспользоваться для эз(сг) выражением, отвечающим первому приближению теории возмущений.
Поправка к затравочному заряду, е„дается величиной е,)сзР(Р ). Взяв для поляризационного оператора, его первое приближение (132.1), найдем 2 Лг/ Зх Л Зх после чего интегрирование в (133.9) приводит к результату л — 1п — ' = Зт Лег е8(Лег) егз(Лез) (133.10) При Л~с -+ гпй затравочный заряд ес(Л~с) стремится к истинному заряду е, и тогда (133.10) совпадает с (133.3),(133.4).
') ) Систематическое развитие метода, основанного на использовании функциональных свойств пропагаторов и вернгинньгх чаСтей (так называемый метод ренорлгализационной группы), дано в книге: Боголюбов Н. Н., Ширкое Д, В, Введение в теорию квантованных полей. — Ъ|.: Наука, 1984. 668 асгимптотичвокик оогмклы квантовой элвктгодинлмики гл. хш фУнкцией только безРазмеРных же величин е~(Л~с) и Лзз/Л~с: 1 ~ЗА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 3 134.
Асимптотическое поведение амплитуд рассеяния при высоких энергиях Рассмотрим вопрос об асимптотическом (при высоких энергиях) поведении амплитуд и сечений двухчастичных процессов рассеяния (1 + й — Р 3 + 4). Для основных электродинамических процессов в первом (по о) неисчезающем приближении ответ на этот вопрос может быть найден, исходя из полученных в предыду1цих главах конкретных формул, справедливых при любых энергиях. Здесь, однако, мы рассмотрим этот вопрос с более общей точки зрения, которая позволит находить такие асимптотики прямым способом. Как и в 3 66, введем инвариантные переменные в = (р1 + р2), 1 = (р1 — рв), и = (р1 — рЛ) (134.1) (причем р~ + рв = рз + р4); обозначения соответствуют реакциям в в-канале, которые мы и будем рассматривать.
В улырарелятивистском случае, когда энергии много больше масс частиц, в системе центра инерции энергии обеих частиц приближенно одинаковы. Обозначив через е сумму энергий сталкивающихся частиц, получим в этой системе р~ = (е/2, р~), р2 = (в/2, — р~), ра = (е/2, рз), рА = (е/2, — рз), р~~ — — рз з— — в~~14, и тогда в = Е2, ~ = — — (1 — совВ)1 и = — — (1+совй), (134.2) 2 2 где 0 угол между р1 и р2. Рассмотрим сначала асимптотику сечения реакции при некотором фиксированном значении угла рассеяния О. Тогда все три переменные в, 1, и пропорциональны друг другу и устремляются к бесконечности вместе.
В ультрарелятивистском случае массы частиц не могут войти в ответ, и единственной величиной размерности длины является 1/е(= йс/е). Поэтому уже из соображеяий размерности следует, что дифференциальное сечение двухчастичных реакций уменьшается с ростом энергии по асимптотическому закону ЙРР/Йо сх 111в при в, ~ 1 ~, ~и~ — Р оо. (134.3) Если относить сечение не к элементу телесного угла Йо, а к дифференциалу Й и то (поскольку Йо 1х Ж/в) Йп/Й2 с~ 1/в2. (134. 4) Сечение выражается через амплитуду рассеяния (в ультрарелятивистском случае) как Йп(Й2 ос ~М11~2/в --.см. (64.22),(64.23).
Поэтому закон (134.3) означает, что в асимптотическом пределе амплитуда рассеяния не зависит от вп Му; = сопв$. (134.5) 670 асимптотичвскив тогмълы квантовой элвктгодинамики гл. хш Как ясно из характера вывода, эти результаты относятся не только к первому неисчезающему. но и к высшим (т, е, с учетом радиационных поправок) приближениям теории возмущений, если только не обращать внимания на логарифмические (вида 1гг(з/гп~)) множители; зависимость от безразмерных логарифмов, разумеется, не может быть выяснена из соображений размерности ') . Иная ситуация возникает, если увеличивать з при фиксированном 1, т. е, при фиксированном квадрате передаваемого импульса.
Другими словами, рассматривается рассеяние на л1алые, убывающие с ростом энергии углы: з — ь оо, ~ ~ ~ з0~ = сопв~, 0 (~1~/з) н'. (134.6) В таком случае соображения размерности позволяют утверждать лишь, что суммарная степень 1/в и 1/т в г1а/гй равна 2 (а в амплитуде Му, — нулю) ') . Поэтому для нахождения наимснес быстро убывающей с ростом в части сечения надо выделить множитель, зависящий от 1/~ в наиболыпей степени. Но такие множители возникают, лишь если фейнмановскую диаграмму можно разделить между концами 1, 8 и О, 4 на две части путем пересечения линий виртуальных частиц. Суммарный 4-импульс таких линий равен рг — рз, от чего и возникает зависящий от 1 = = (рг — рз) множитель. Таким образом, асимптотика диаграммы в области (134.6) зависит от характера возможных пересечений диаграммы в 1-канале.
Аналогичным образом асимптотика в области з — ь оо, ~и~ з(зг — 0)э = соггэ1ч ~зг — 0~ (~и~/з) ц', (134.7) отвечающая рассеянию па углы, близкие к зг, определяется характером возможных пересечений диаграммы в и;канале (т, е. между концами 1, 4 и О, О), Простейший пример рассеяние электрона на электроне, описывающееся диаграммами (73.13) и (73.14). Из них рассечение в 1-канале по линии виртуального фотона допускает первая; она и определит асимптотическое поведение амплитуды рассеяния в области (134.6). Линии виртуального фотона отвечает В-функция, пропорциональная 1/й Поэтому асимптотики ам- 1 ) Суммирование рядов, содержащих логарифмические поправки, может привести к зкспоненциальной зависимости от логарифмов, что означает изменение показателя степенной зависимости.
Это изменение, однако, мало в силу малости сь е) Значение ~ г ~ >> гпе здесь мы предполагаем постоянным. Получающиеся таким образом результаты остаются справедливыми — в смысле зависимости от а (т. е, от энергии) — и при ~ П тп . 1 134 АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 671 плитуды и дифференциального сечения рассеяния: Мг сс В,144, с(4Г сс Г444414 441. (134.8) Асимптотика же в пределе (134.7) (вблизи направлеяия назад) определяется «обменной» диаграммой (73.14); в этом пределе М71 сх В(и, с(о сс Г1и) и .
Рз Р1 +Ч (134. 9) Рз-Р -Ч !Ч 1 Р4 Рз — Ч Р2 Соответствующая этой диаграмме амплитуда рассеяния отличается от амплитуды, отвечающей диаграмме (73.13), заменой множителя 1,11 на (7(рз + Ч))( 1(рз — Ч)) 4 (Р 4- Ч)'(Рз — Ч)'Ч'(Рз — Р— ЧР с последующим интегрированием по п14д. Существенная область интегрирования та, которая приводит в результате к наименьшей степени 1/». Для этого во всяком случае д должно быть мало по сравнению с р1, рз. Отбросив малые в этом смысле члены (а также члены р~~ — — р~ ~— — тз), перепишем это выражение как (-а») Ьрз) (Р|Ч)(Р2Ч)Ч (Рз Р~ 41) Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
