В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 122
Текст из файла (страница 122)
С. Са))ап, М. Ж. КозепЫН1)4, 1970). В постоянном и однородном поле этот процесс идет с сохранением энергии и импульса е) . При распаде фотона 14 на фотоны 1«1 и 1с2 имеем со(1с) = а4(1с~) + ол(1с2), 1с1+ 1ся = 1с. Для фотонов в вакууме в отсутствие внешних полей о4 = 74 и равенства (130.7) могут выполняться лишь для трех фотонов, движущихся в одном направлении.
Но и в таком случае распад ') Выразив В' через Н' во втором из уравнении П30.2), подставилл из него Н' в первое уравнение, после чего спроецируем последнее на направление Ь. Произведение )ГЕ' выражается через ЬЕ' из уравнение )слэ' = О.
) Сохранение импульса связюю с пространственной однородностью поля, но имеет место, конечно, лишь для процессов с незаряженными частицами. В лагранжеву функцию заряженных частиц входят не только напряженности,но и потенциалы поля, зависягцие от координат и в однородном поле. где Π— угол между 1с и Ве ') . Во втором случае векторы В и Н лежат в плоскости )с, Ь, а векторы Е' и 1)' перпендикулярны ей. Для показателя преломления получается 650 Гл. хп Рлдилционныв !1Опгяяки строго запрещен инвариантностью относительно зарядового сопряжения в силу теоремы Фарри (см.
3 79) сумма диаграмм с тремя фотонными внешними концами обращается в нуль. Наличие внешнего поля делает распад фотона возможным (он изображается диаграммами с тремя фотонными концами и одной или более линиями внешнего поля). Но эта возможность оказывается связанной с характером поляризации фотонов. дту связь можно установить уже из анализа законов сохранения (130.7) с учетом изменения закона дисперсии фотона в магнитном поле. Запишем закон дисперсии в виде о2 = )с+ Я1<), (130.8) где Я)с) малая (в слабом поле) добавка. Ее наличие делает, в принципе, возможным выполнение равенств (130.7) для импульсов 1<«, 1ся, лежащих в некотором узком конусе вблизи направления 1с.
Ввиду близости направлений всех трех векторов 1<, )с1! 1с2 можно в малых членах (3(1с) положить их все направленными вдоль 1с и считать, что 1с! + к2 = )с. Тогда закон сохранения энергии запишется как Р(«гк) Р! («гк1) Р2(яг(" к! )) = )с1 + ~1с — 1с« ~ — к (хг = 1с,«'Й); поскольку закон дисперсии зависит от поляризации фотона, функции («, Д!Д2 могут быть различными. У |итывая, что ~1с — 1с«~ = ((й — й«) + 2«;й!(1 — сов д)) н' — г; — )с! + ' д~ 2(Ь вЂ” я!) (д -- малый угол между 1с и 1с1), имеем Яяг)с) — А (ж!"1) — «и!2(ягЯ вЂ” !!с«)) = ! > О. (130.9) 2(к — 1!) Это неравенство определяет необходимые для распада свойства закона дисперсии.
Для частот ш « т закон дисперсии дается формулами (130.5),(130.6), так что )3(1с) — — к(п(хт) — 1], где функция г«(яг) зависит от направления, но не от величины вектора )с. Тогда должно быть й«п«(хт) + (й — й«)г«2(хт) — йн(«с) > О. (130.10) Поскольку и ! > п р этим условием сразу исключаются распады (т « "~~ +7~ '«т « ~~ +'72 где символ 7 означает фотон, а индексы ( и 0 отвечают двум определенным выше поляризациям ') .
) Численные расчеты показыяа!от, что неравенство пт > п1 нерио не только при ы « «и (когда справедливы выражения (130.5),(130.6)), но и при всех ь«< 2т (порог для рождения пар фотоном). 651 1 сзо РАСШЕПЛЬНИЕ ФОТОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Для распадов »'ут+ й.! у~ +'у~+ у~~ левая часть неравенства (130.10) обращается в нуль, поскольку функции п, пг,п2 одинаковы. Для выяснения вопроса в этом с11учае необходимо учесть зависимость коэффициеита преломления от й, появляющуюся по мере увеличения о1. Требуемое неравеиство: йгп(м, й!) + (й — й!)п(»с, й — й!) — йп(»г, й) > О.
Уже из общих соображений можно утверждать, что гс(»г, й) "-- возрастающая функция й, и потому это неравенство ие может быть выполнено, так что рассматриваемые распады тоже иевозможпы (действительно, заменив п(й — й!) и п(й!) Па п(й), мы заведомо увеличим всю сумму, между тем как после замены она станет лишь равной нулю). Сделанное утверждение относится к любым прозрачным средам и является шгедствием формулы Крамерса- Кроиига для показателя преломления (ср.
У111, ~ 84). В данном случае внешнее поле представляет собой «прозразную среду» для фотонов всех частот сп ( 2т вплоть до порога рождения пар, т. е. появления поглощения фотонов. Таким образом, единственными разрешенными процессами распада оказываются 7~~ » 'Ут + 7 ' (130.11) "7~~+7 (130.12) Уже бы,по отмечено, что импульсы 1«1 и 1ся направлены под малы- ми углами д к импульсу начального фотона 1с. Если пренебречь этими углами, т. е, считать импульсы всех фотонов параллель- ными (будем называть такое приближение коллииеариым), то распад (130.12) окажется невозможным, как это видно из шгеду- ющих рассуждений.
Аналогично (127.14), представим амплитуду рас:нада в виде Л дз и« М7! = Юлике е! еэ, где е, ес! ея 4-векторы поляризации фотонов, определенные, как обычно, по их 4-потенциалам А. Выбрав трехмерную кали- бровку потенциалов, е = (О, е), перепишем это выражение в виде Му! = ЛХ1ыесе*с»ез!. Две независимые поляризации определяются ортами ') (130.13) е ~ Ц [1сЬ]! ел Ц [Ц1ЕЬ]].
) Индексы ~~ и з соответству1от определенным выше поляризациям. Надо помнить, что орты е определяют направления векторного потенциала А (и тем самым поля Е') и перпендикулярны направлению В'. 652 гл. хп РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОНРЛВКИ Легко видеть, что в разложении ~л~* [л1~ бь1~ Мнн = ~~' Млл,л,е,; лл,л, (индексы Л, Лы Лз пробегают значения 1., //; ср.
(127.9)) векторы е1 должны встречаться в каждом члене четное (О или 2) число раз. Действительно, амплитуда МВ инвариантна относительно преобразования СР, а поскольку потенциалы А (а с ними и е) СР-инвариантны, то должен быть СР-инвариантен также и тензор М,ы. При СР-преобразовании е~ — ~ е10 е1 — ~ — е1 (зарядовое сопряжение меняет знак Ь, а инверсия меняет знак 1с, оставляя аксиальный вектор Ь неизменным). Поэтому если в каком-либо члене разложения вектор ел входит один раз, то соответствующий скаляр Млл1л, должен быть СР-нечетен.
Но из единственных двух (в коллинеарном приближении) векторов 1с = 1с1 = 1сз и Ь, которые оба меняют знак при СР-преобразовании, нельзя составить СР-нечетного скаляра, чем и доказывается сделанное утверждение. Таким образом, в коллинеарном приближении распад (130.12) запрещен. Более детальная оценка показывает, что отношение амплитуды этого процесса к амплитуде разрешенного в коллипеарном приближении распада (130.11): М~ьл дз г(йо ) (130.14) лх, „~в„„(' где )Е( 1, (Е)6 (углы д оцепившогся из (130.9) как де п1 — п1).
Тот факт, что из всех распадов оказывается возможным (в главном приближении) лишь распад з) — + 71 + 71, означает, что в неполяри:зованном пучке фотонов, распространяющихся в магнитном поле, в конце концов устанавливается перпендикулярная (1.) поляризация. Перейдем к вычиа1ению амплитуды распада МВ = Мтт ~ по теории возмущений, т.
е. в предположении Во « В р. Первые (по а и по внешнему полю) неисчезающие фейнмановские диаграммы имеют вид (130.15) 653 1 1ЗО РАсшепление ФОтОИА В магнитнОм пОле (со всеми возможными перестановками концов), где три концевые линии отвечают фотонам, а одна внешнему полю. Но в коллинеарном приближении соответствующая этим диаграммам амплитуда обращается в нуль.
Действительно, в силу калибровочной инвариантности внешнее поле может войти в амплитуду процесса лишь в виде 4-тепзора его напряженностей г'„г, а 4-векторы поляризации фотонов лишь в антисимметричных комбинациях ,)ди йреы йиер с волновыми 4-векторами. Окончательное выражение для амплитуды строится из тензора внешнего поля г' „тензоров 1„„)1„„ )яре трех фотонов и их волновых 4-векторов йю й1ю йаб при этом оно должно быть линейным по каждомУ из тензоРов )р„ а для диаграмм (130.15) линейным и по г'„Р. В коллинеарном приближении 4-векторы й1 и йз сводятся к й: й1 = йы1/ы, йв = = йыз/оь В этих условиях всякое скалярное произведение, построенное указанным образом, обращается тождественно в нуль: легко сообразить, что такое произведение будет содержать по крайней мере один равный нулю множитель й или йе.
Таким образом, в коллинеарном приближении первый отличный от нуля вклад в амплитуду распада возникает лишь от шестиугольных диаграмм вида (130.16) с тремя линиями внешнего поля ') . Отвечающая таким диаграммам амплитуда строится уже с тремя множителями Гр,. Такио скалярные произведения могут быть отличны от нуля. Но все отличные от пуля произведения содержат волновые векторы фотонов только через посредство тензоров 1"„,;легко сообразить,что добавление еше и других множителей й приведет к появлению в прои,зведении равных пулю множителей й~ или йе.
Но компоненты тензора Др, совпадают с компонентами напряженностей Е' и В' поля фотона. Это значит, что если амплитуду распада, отвечающую диаграммам (130.16), представить как матричный элемент некоторого оператора, то этот оператор, будучи выражен через операторы напряженностей полей фотонов, не зависит ) Поправки жЕ, свяоанаые с учетом неколлинеарности в диаграммах (130.5), дали бы в амплитуде вклад следующего порядка по О по сравнению с вкладом от диаграмм (130.1б). гл. Хц Рлдиационнык попгавки от их частот. В свою очередь, отсн>да следует, что вычисление амплитуды распада (отвечающей диаграмме (130.16)) с помощью лагранжиана (129.17) даст правильный ответ, не ограниченный условием гц « пн В конце 3 127 было объяснено, каким образом гамильтониан взаимодействия получается из найденной в 3 129 лагранжевой функции Т. Теперь речь идет о процессе с участием трех фотонов, и соответствующий оператор взаимодействия получается из членов разложения Л, содержащих тройные произведения полей фотонов Е', В', При этом надо рассматривать только член вида (В Во)(Е Во)~, (130.17) в который каждый из векторов В' и Е' входит умноженным скалярно на Ве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
