В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Тем самым во всяком случае МлрРр(О, О! О, О) = О. (127.6) Для конкретного выделения инвариаптных амплитуд целесообразно, однако, с самого начала выбрать определенную калибровку 4-векторов поляризации е — калибровку, в которой с~1 — — (О, е1), е2 — — (О, ез), (127. 7) Тогда М74 = М4ь1те11езьез1е4 (127. 8) Где М4ыт, трехмерный тон;1ор. В качестве двух независимых поляризаций выберем для каждого из фотонов круговые поляризации с противоположными направлениями врагцения, т, е, два спиральных состояния со спиральностями Л = ~1. После этого тензор М!и можно представить в виде Мгь!т = ~~~, Мл,л,л.л4е1, езь ез1 е4, ' (127.9) (Л!)4 (Л!)4 (Лз) (Л4) Л!Лзлзл4 16 величин МЛ,Л.,Л,Л4 являются функциями от з, Х, и и играют роль инвариантных амплитуд;.
не все они, однако, независимы. Величины Мл,лзл,л, тРехмеРные скалЯРы. ПРостРанственная инверсия меняет зйак спиральностей; инвариантные гке переменные з, ~, и остаются неизменными. Поэтому требование 4-теп;1ор Мл„,р (его называют те14зорол4 россеяятя, фотона нн фотоне) функция 4-импульсов всех фотонов. Если написать аргументы функций со знаками, отвечающими одинаковым направлениям внешних концов диаграммы, то в силу симметрии совокупности диаграмм (127.1) очевидно, что тензор 629 127 РАОСКЯ«НИК ФОТОНА НА ФОТОНЕ Р-инвариантности приводит к соотношеяиям МЛ,Л»Л»Л,(н, 15 и) = М Л вЂ” Л вЂ” Л вЂ” Л (в, 14 и).
(127.10) Обращение времени переставляет начальные и конечные фотоны, не меняя их спиральностей; переаленные н, 7О и снова остаются неизменными. Поэтому требование Т-инвариантности приводит к равенству МЛ,Л»Л,Л4(н 1 н) = МЛ,Л,Л,Л»(в 1 и). (127.11) Наконец, еще одно соотношение является следствием инвариант- ности амплитуды МХ4 относительно перестановки двух начальных нли двух конечных фотонов. Если произвести сразу обе перестановки (Й1 «-» Й2, Йз Р» йа), то переменные в, 1, и не изменятся, а перестановка в поляризационных индексах приведет к соотношению МЛ,Л»Л,Л.(в5 Х и) = МЛ,Л,Л,Л»(в41 14). (127.12) Легко убедиться, что в силу свойств симметрии (127.10)--(127.12) число независимых инвариантных амплитуд сводится к пяти; в качестве них можно, например, выбрать М,, ~5 М, 4 М~,5 М| 1, М,, (индексы «+ 5, « — » означают спиральности +1 и — 1).
Если подставить в (127.3) вместо МХ, одну из амплитуд МА4А,Л»А«, то мы получим сечение рассеяния с заданными поляризациями начальных и конечных фотонов. Сечение же, просуммированное по конечным и усредненное по начальным поляризациям,получится заменой ~2 +,,«4(2~М ~г+ 2~М Р+ 2~М ~2+ + 2(М««)2 + 8(М«, «)~). (127.13) Соотношения симметрии (127.10) — (127.12) связывают между собой различные инвариантные амплитуды как функции одних и тех же переменных. Дальней«пие функциональные соотношения возникают как следствие перекрестной симметрии (см. ~ 78) 4 если учесть, что амплитуда МХ4 во всех каналах описывает одну и ту же реакцию (взаимное рассеяние двух фотонов) и потому не должна меняться при переходе от одного канала к другому. Переход от в-канала (которому отвечает направление стрелок на диаграммах (127.1)) к 7-каналу осу.ществляется перестановкой 4-импульсов Й2 и — Йз (т.
е. заменой переменных а «-> 1) и перестановкой индексов спиральностей Л2 «э — Лз. Аналогичным 630 РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОНРЛВКН Гл. хп образом, переход от в- к и-каналу осуществляется перестановкой )са и — к« (причем и еэ и) и заменой Ля «-> — Л4. Это приводит к соотношениям М« (в, 8, и) = М««тт(иэ 1! в), М«т(з, 1, и) = М« тт т(1, л, и), Ме ьт«(з, 1, и) = Мттт ь(а! и, 1), (127.14) М«.«(гч 1, и) и М««т полностью симметричны по переменным з, 1, и '). 11озтому достаточно вычислить лишь 3 из 16 амплитуд, например, Интегралы (126.4) логарифмичсски расходятся.
В соответствии с условием (127.6) их регуляризация осуществляется вычитанием значения при )41 = й~ = ... = О а) . Вычисление регуляризованных интегралов, однако, чрезвычайно громоздко. Наиболее естественный путь для вычисления амплитуд рассеяния фотона на фотоне основан на использовании двойного ) Здесь учтена также симметрия по отношению к паре конечных фотонов. Поскольку три переменные в, й и не независимы, достаточно было бы писать два аргумента (например, два первых); мы сохраняем все три лишь с целью более ясного выявления симметрии их перестановок. ) Отметим, что при суммировании вкладов всех диаграмм расходящиеся части интегралов сокращаются. В этом легко убедиться, заметив, что асимптогический (при а — 1 со) вид интеграла есть 14 Мл„'., «х / ВрЬлЬч)з ЬчУу,Ьч)у'Ь0)) (аа)4 По«ле усреднения по направлениям д (ср.
(131.10Ц след легко вычисг!яется Соотношения (127.10) (127.12), (127.14) относятся к полным амплитудам .- суммам вкладов всех трех диаграмм (127.1). Но сами зти вклады связаны между собой соотношениями, очевидными из сравнения диа! рамы, '1ак, диаграмма б получан1си из ДИаГРаММЫ а ЗаМЕНОй йа «-У вЂ” Й4, Еэ +Ф Е4, И ПОТОМУ ИХ ВКЛаДЫ в инвариантные амплитуды получаются друг из друга заменой переменных я 44 и и индексов Лз 44 — Л4; аналогично вклад диаграммы е получится из и заменой 1+4 и, Лз еэ — Л4. Вычисление амплитуд. Интеграл М,, отвечающий диа1а) грамме (127.1,а), имеет вид (126.4), причем 4 В ~') = —, БР( ( Уе«) (Уг) — Уйз + т) ( Уея) ( У«У + ш) х х ( уе4)(у«у — у14+ т)(уев)(уд — у)1 — -указ + т)).
(127.15) 631 1 127 РАСОВЯННК ФОТОНА НА ФОТОНЕ 12 се '= 1 =ч =т: 1~А = (д — Й1 — Й2) = гп; (127.16) эти равенства можно учитывать уже при вычислении следа (127.15). Но для дальнейшей подстановки в (126.22) нам фактически требуется значение А1,~ лишь при 1 = О. (Это равенство означает, что 1с = 1с' и Й2 = Йа.) Тогда интеграл (126.6) п1>инимает вид (127.17) 4 2 а 1 ((а — Йа)а — ггла]л (ср. вывод (115.10)). Введя угол д между с1 и 1с, получим (д — Й2) — т = — 2оз(1 — (с1) сов д) = — Туз ~1 — — в — 4тй сов д) . 2 2 1 2 Интегралы (127.17) фактически выражаются через элементарные функции. Вычисление же функции А2 (з, 1) согласно се 1а) определению (126.18) вообще не требует интегрирования, при этом выражение для В1а1 должно быть взято для значений 9 из (126.15), удовлетворяющих, помимо (127.16), также и условиям (д — Й2) = т , (д — ЙА) = т .
После вычисления функций А1„А1м А2 дисперсионное соотношение (126.22) дает амплитуду непосредственно в виде одно- и двукратных определенных интегралов. Приведем здесь окончательный результат для трех инвариантных амплитуд, достаточных, согласно сказанному выше, для и дает Ча ' Суммирование по диаграллмалл означаот симметризацию этого выражения по индексам Л, р, и, р, н результате чего оно обращается в пуль. Подчеркнем, однако, что зто сокращение имеет в известном смысле случайный характер и не устраняет необходимости регуляризации,хотя анан сводится при этом к вычитанию конечной величины.
дисперсионного соотношения (В. 17е 7'ОПЫ, 1964). Этот метод наиболее полно учитывает симметрию диаграмм и почти полностью исключает трудности интегрирования. ФУнкЦиЯ Ага (э, 1) (и аналогично Аи ) ДлЯ кажДого заДан(а1 (а) ного набора спиральностей Л1, Л2, Лв, Л,1 вычисляется согласно (126.6). Ввиду наличия под интегралом двух б-функций нам нужно знать значение В(а) лишь при 632 Рлдилционные попРлаки гл. Хп определения также и всех остальных амплитуд '): аЛХ4 тт, — — — 1 — (2+ — ) В(1) — (2+ — ) В(и)— — ( — -~ [Т(1) + Т(и)] + — (1 — -) 1(в, 1) + 4 ( 2) 1( ) (2(124-гг~) 16 4 4 8~ (127.18) —,М4 тт — — 1+ (-+ — + — ) [Т(в) +ТЯ + Т(и)]— 1 11 1 11 8ае е 1 и — 4( — + — )1(в,1) — 4( — + — )1(в, и) — 4( — + — )1(1, и), 1 М4 т — — 1 — — 1(в, 1) — — 1(вг и) — — 1(1, и).
8 8 8 аког и еа Здесь введены следующие обозначения: В(в)= 1 — — АгаЬ ' — 1, в<0, — 2 Т(в) = (АРЕЬ вЂ” ') г в < О, 1 1(в, 1) = — 1 " (1п[1 — гΠ— 89(1 — у)] + 1 др р(1 - р)— о вг (127.19) ') Некоторые детали прсобра:гоааний интегралов, различные прсдстааления трансцендентных функций В., Т, 1 и их предельные аыражеаия — см. Ре Тойм В.О74пого Сппепго. — 1964. ГД 32.
- Р. 757; 1965. -17. 35. -.Р. 1182; Сонапйаг Г, Ре 7оИгг В., Ргггоги С./151пото С1паепго. —. 1971. — . Ъ". 2А. — Р. 733. + 1п[1 — 10 — гд(1 — У)]). выражения же в областях 0 < в < 4 и в ) 4 получаются из (127.19) путем аналитического продолжения по правилу в — г в+ + гО, т. е. через верхнюю полуплоскость этих переменных. (Для упрощения записи в формулах (127.18),(127.19) г и только в нихг буквы в и 1 обозначают отношения в/т21 1ггт2.) Сечение рассеяния Предельному случаю малых частот (аг « т,) отвечают малые значения переменных в, 11 и.
Первые члены разложения инвариантных амплитуд по этиал переменным: 11е' 2 11е' 2 11е 2 Мт,ьт- в, Мт л- 1, Мт т — и, ,1ог„4' 4осп~4 4огп4 4 (127.20) ЛХт4. — — (в +1 +и ), Мттт -О. 151п4 633 1 127 РАОСГВЯНИВ ФОТОНА НА ФОТОНЕ Подставив эти выражения в формулу (127.3), получим сечения рассеяния поляризованных фотонов. Дифференциальное же сечение рассеяния неполяризованпых фотонов вычисляется согласно (127.13) и равно (в обычных единицах) г1сг = сх г (3+ сов В)г1о, (127.21) 4хгг90)г с а полное сечение ') сг = сг г, ~ —,) = 0,031о г„, ~ — ), ))сс << тс . 973 2 2 7 аьг 1 2 2 7 Ьгс 1 2 10123х гвсв Е пгсе (127.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
