В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 121
Текст из файла (страница 121)
Она пригодна лишь при соблюдении условия ма- лости электрического поля; а « 1 (129.3) (не учтенного в (129.17) в явном виде). Это проявляется в том, что подынтегральное вы- ражение в (129.17) имеет полюсы при 11 = пп1а (и = 1, 2, ... ), так что в написанном виде интеграл, строго говоря, не имеет смысла. Поэтому (129.17) может, по существу, служить лишь для получения членов асимптотичсского (см, ниже) ряда по степеням а путем формального разложения с1я а.
Математически интегралу (129.17) можно придать смысл, об- ходя полюсы в плоскости комплексного 11. При этом у 1', а тем самым и у плотности энергии И" появляется мнимая часть. Ком- плексность энергии, как обычно, означает квазистационарность состояния '). В данном случае стационарность нарушается ро- ждением пар, а величина — 21птИ" есть вероятность и1 рожде- ния пары в единице объема в единицу времени; так как малые добавки к И' и А отличаются только знаком, то вероятность и, выраженная через Е и Н, равна просто П1 = 21шА'. (129.20) Очевидно, что она пропорциональна е п7' (см.
ниже (129.22)). Именно вследствие экспоненциальной малости 1ш И" при а « 1 имеет смысл асимптотический ряд по степеням а с сохранением в нем любого конечного числа членов. Рассмотрим предельные случаи формулы (129.17). В слабых полях (а « 1, О « 1) первые члены разложения: 71 п1 (а' — 6')'+ 7(аЬ) е (4У2 + 7изг) (129.21) 8пе 45 45 8пеп11 ') Направление обхода в интеграле должно быть выбрано таи, чтобы было 1ш 1т" < О. Этому требованию отвечает обычное правило замены массы 1и1 — ь пзв — 10 (в данном случае а — > а -Р 10). т29 пОпРАВки к уРАВньнитту| электРОмлгнитнО!'О пОля 645 В частности, при Ь = О относительная поправка Х а 4 о 464г Мнимая часть |' при а « 1 получается из интеграла (129.17) взятием полувычета в ближайшем к нулю полюсе котангснса, т.
е. При гта = я — 10. Согласно (129.20) она дает вероятность рождения пары слабым электрическим полем: 4 иг = ~~ аге — т 4„з илиг в обычных единттцах: пт = —, ( —,) — ( — ) ехр ( — ) . (129.22) В сильном магнитном поле (а = О„Ь » 1) исходим из формулы (129.13), записанной (ттостте замены Ьтт — + гт) в виде е При Ь » 1 в этом интеграле существенна область 1 « гт « Ь. В ней е гтто — 1, и можно пренебречь вторым членом в скобках, а интеграл обрезать (с логарифмической точностью) на пределах тт = 1 и гт = Ь.
Тогда (129.23) 244го (более точное вычисление заменяет 1ПЬ на 1пЬ вЂ” 2,29). В этом сл чае — = — 1п Ь. го Згг Отсюда видно, что радиационные поправки к уравнениям поля могли бы достигнуть относите.пьного порядка единицы .лишь в экспоненциально больших тюлях: Я- '" еЗЯ/а (129.24) Тем нс менее вычисленные поправки имеют смысл: они нарушают линейность уравнений Максвелла и тем самым приводят к паблюдаемымг в принципе, эффектам (ттапример, к рассеянию света на свете или во внешнем поле).
Связь напряженностей Е и Н с потенциалами А и гр остается, по определению, прежней-- (129.6). Поэтому не меняется также и первая пара уравнений Максвелла: с11чН = О, го1 Е = — —. дН 1129.25) а~ ' Рлдикционнык попглвки Гл. хп (129. 28) Для случая слабого поля, однако, имеется и более жесткое условие. Оно возникает из требования, чтобы член четвертого порядка (129.21) был велик по сравнению с квадратичной по производным поправкой к 1 о, в противном случае этот член потерял бы смысл. Так, для электрического поля, зависящего только от времени, это приводит к условию со « гп —, (129.30) гпз ' более жесткому, чем (129.29). Условие (129.30) не возникает, однако, при решении задачи о рассеянии фотона на фотоне, рассмотренной в последнем разделе 3 127. Там мы с самого начала интересуемся только четырех- фотонным процессом, описываемым членами четвертого порядка в функции Лагранжа, и вопрос об относительном зна ~енин ) См.
УП1, з 75. При сравнении надо помнить, что а макроскопической злектродинамике среднее значение микроскопической напряженности магнитного поля обозначаетсл через В, а не Н, как здесь. Вторая же пара уравнений получается путем варьирования действия Я = (Т,О+ Ь')д'Х по А и у. Они могут быть записаны в виде го1(Н вЂ” 4хМ) = — (Е + 4яР), (129.26) д1 г11т(Е+ 4пР) = О, (129.27) где введены обозначения: Р= —, М= —. дК дН Но форме уравнения (129,25)-.(129.27) совпадают с макроскопическими уравнениями Максвелла для поля в материальной среде ') . Отсюда видно. что величины Р и М имеют смысл векторов электрической и магнитной поляризации вакуума.
Отметим, что Р и М обращаются в нуль для поля плоской волны, в котором, как известно, оба инварианта Ез — Нз и ЕН равны нулю. Другими словами, для плоской волны нелинейные поправки в вакууме отсутствуют. Остановимся, наконец, на условиях применимости полученных формул. Для того чтобы поля можно было считать постоянными, их относительные изменения на расстояниях или промежутках времени 1/гп должны быть малы; этим обеспечивается малость связанных с производными поправок к 1 е по сравнению с самим 1 о. Так, если поле зависит только от времени., это приводит к естественному условию со « вь (129.
29) 130 попРлвкн к УРАВньниЯУ| элвктРОмлгнитнО!'О пОлЯ 647 илв е| 2О е, 2 2 225ят«г«) (3) Нелинейную по е| поправку в СЗ) следует отличать от линейной поправки в |114.6), связанной в конечном счете с неоднородностью кулонова поля. Поправка 13) более высокого порядка по О, но медленнее убывает с расстоянием и быстрее растет с увеличением е|.
2. Непосредственно оцепить вероятность рождения пары в слабом однородном постоянном электрическом поле в квазиклассическом приближении с экспоненциальной точностью сР. Баи!ег, 1931). Р е ш е н и е. Движение в слабом поле Е !медленно меняющийся потекцивл З2 = — Ег = — Ег) ква|икласси п«о. Поскольку в амплитуду реакции волновая функция конечного пезитрона входит в виде начальной «отрицательно-частотной» функции, рождение пары можно рассматривать как переход электрона из «отрицательно-частотного» в |нюложителыю-частотное» состояние. В первом из них при наличии поля квазиклассический импульс определяется равенством .
= -,Р|*! 1 |,|Е., а во втором ° =+Я!! "+| и*, |2) Переход из первого состояния во второе есть переход через потенциальный барьер собласть мнимого рсг)), разделя|ощий области зависимостей 11) и 12) с вещественными рсг) при заданном а Границы этого барьера г| и 22 лежат при рсг) = О, т, е. г= — т-Ь)с|Его г=-ьт4-)е(Е22. Вероятность перехода через квазиклассический барьер 1 1 тг ш сс ехр( — 2 / ~р|г)~ с)г) = ехр( — 4 — / »21 — 62 сК), еЕ откуда |!т 1Ю СС ЕХР( — — ), |е|Е что в согласии с 1129.22). других членов в Ь~ не имеет отношения к делу. Поэтому достаточно было потребовать выполнения лишь условия 1129.29). Задачи 1.
Определить поправку к полю малого неподвижного заряда е|, связанную с нелинейностью уравнений Максвелла. Р е ш е н и е. При Н = О имеем из |129.21) 2 % дЕ 99хгт« В центрачьно-симметричном случае из |129.27) находим СЕ; — 4ЯР)г = сове! = е| с2) 1постоянная определена из условия,что при г †1 поле совпадает с кулоновым полем заряда е|). Приближенно решая |2), получаем е| 2ое, 2 гг 1 4бхп1«г«)' 648 РЛДИЛЦИОННЫВ ПОПРАВКИ Гл. ХП 8 130. Расщепление фотона в магнитном поле Нелинейные поправки в уравнениях электромагнитного поля приводят к ряду специфических эффектов при распространс нии фотонов во внешних полях.
С целью придания этим уравнениям более обычного вида (ср. примеч. На с. 646), будем обозначать в этом параграфе напря- женности электрического и магнитного полей буквами Е и В; буквами же П и Н обозначим величины П=Е+41ГР, Н= — 4ПМ, Р= —, М= —. дА' дЬ' дЕ' дВ Тогда уравнения (129.25)-(129.27) примут вид с11ч В = О, го1 Е = — —, дВ дс ' сйчо = О, го1В = —. дВ дс Рассмотрим распространенгсе фотона в постоянном однород- ном магнитном поле Во. Обозначив величины, относящиеся к слабому полю электромагнитной волны, буквами со штрихом, будем иметь для них уравнения [1сН'] = — ы1Э', [1сЕ'] = И1В', 1сВ' = О, 1с1Э' = О, (130.2) (130.1) 2е 2/ 7 е,ь = 61А+ ' Во~ — 61А+ — Й,.ЙВА], 45тс 2 2В' 2 / р1А' = 61'ь + ' "4 [61А + 26сд А 1 45т" (130.4) где Ь = Во/Во.
Напомним, что частота фотона предполагается малой: ы « т (утловие (129.29)). Отметим, однако, что характер структуры тензоров е;в и р,ь не связан с этим предположением, а является Г 1едствием уже инвариантносги квантовой электродинамики относительно пространственной инверсии и зарядового сопряжения. Так, первая запрещает появление в 1Э' членов вида сопвФ В' и сопВФ Во[ВВВ') (инвеРПИЯ менЯет знак Е и П пРи неизменных Н и В), а вторая запрещает появление в е1Р и р,в аптисимметричных и нечетных по ВВ членов виДа сьнВщ (заРЯДовое сопРЯжение меняет одновременно знак всех полей). причем 01 = е1ВЕВ~, В~ = р;вН~ (130.3) тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости вакуума являются функциями внешнего поля Вш Предполагая это поле слабым в смысле ] е~ВВ/тв << 1, найдем из лагранжевой функции (129.21)1 1 1зо РАСШВПЛКНИЬ ФОТО44А В МАГНИТНОМ ПОЛВ Ввиду наличия в рассматриваемой задаче избранной плоскости плоскости, проходящей через )с и Ь, в качестве двух независилиых поляризаций фотона естественно выбрать линейные поляризации в этой плоскости и перпендикулярно ей.
Будем отмечать индексами ) и 0 поляризации, при которых вектор В' соответственно перпендикулярен плоскости )с, Ь или лежит в ней. В случае перпендикулярной поляризации вместе с вектором В' перпендикулярен плоскости )с, Ь также и вектор Н~; В' = (1+ — "В2)Н' Векторы же Е' и П' лежат в плоскости 1с. Ь.
В этом случае из уравнений (130.2) получаем закон дисперсии фотонов в виде а = = глтоз с «показателем прсломленияя (обычные единицы) д =1+ ВОа О, 7ей 2. 2 90пллсг (130.5) пе = 1+ Вв з)п О. 44 айлплс« (130.6) Отметим, Гто пт > пр Знак равенства достигается при О = О, когда пт = пе = 1. Наиболее интересным проявлением нелинейности уравнений Максвелла с учетом радиационных поправок является расщепление фотона на два фотона во внешнем магнитном поле (О. Л. АГ11ег, Х Х Вайса)1, С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
