В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 119
Текст из файла (страница 119)
22) В обратном, ультрарелятивистском случае полное сечение рассеяния неполяризованных фотонов ') сг = 4, 7сг' ( — ), бог» гпс2. (127.23) Наконец, укажем дифференциальное сечение рассеяния на малые утлы в ультрарслятивистском спучас; (127.24) гвыэ 0 гггс Это выражение справедливо с логарифмической точностью следующий член разложения содержит на единицу меньшую степень большого логарифма. Для перехода к пределу д = 0 (рассеяние вперед) формула (127.24) непригодна. Вместо нее имеем здесь Г1ГТ = — 1П4 — "э Г4О, й « — '.
(127.25) хв| ~э гвсв йьг Выражение (127.25) легко получить с помощью общих формул (127.18), положив в них 1 = 0 и заметив, что при а» 1 наиболее высокую (вторуго) степень большого логарифма содержит лишь функция ',тэ/ 4 тэ пг С этой точностью отличны от нуля лишь амплитуды Мэтт т — — М = Мт з. = — 16е 1п (ог/т). Мы видим, в частности, что в этом слу гае поляризация фотона при рассеянии не меняется. ) При переходе от гн к сг надо ввести множитель г7г, учитывагощий тождественность двух конечных фотонов. ) К происхождению этой зависимости и от ы мы еще вернемся в конце 3 134. РЛДИЛЦИОИНЫЕ ПОПРЛВКИ Гл. Кп 1040 10-' На рис. 24 изображен график зависимости полного сечения рассеяния от частоты (в логарифмической, по обеим осям, шкале). Сечение убывает в сторону как малых, так и больших частот и достигает максимума при 14В4 — 1,5гисз.
Излом кривой 10»всм при Г!Ли = н4с отражает из- э 100 менение характера процесса В СВЯЗИ С ПОЯВЛЕНИЕМ ВО1- можности образования реальной электронной пары. 10-' Случай малых частот. В случае малых частот (0В « « т) амплитуду рассеяния фотона па фотоне можно получить также и совсем иным Гк»7ш« способом, исходя из попра- вочцых членов в функции Лагранжа слабого электромагнитного поля (см, ниже, 0 129).
Малая поправка к гамильтониану взаимодействия Ъ отличается лишь:знаком от малой поправки к лагранжиану. Согласно (129.21) имеем Ъ" = — ~(Š— Й ) + 7(ЕЙ) ) !4~и. (127.26) Поскольку этот оператор.—. четвертого порядка по полю, оп имеет матричные элементы для интересующего нас перехода уже в первом приближении. Для вычисления надо подставить в (127.26) Е= — —, Й=гоЪА, (127.27) А = ъ'44Г~ (силеиле ' ' +~силекле ) ИЛ (Л номер поляризации), после чего элемент Я-матрицы вычисляется как Я1 — 1 (! ! Ъ Г" ' ~ 1 ) — 1(0)с44«л»с!44 л« Ъ Ж Г14 Л с~.х« ~0) (127. 28) (ср.
0 72, 77). При нормировке А, как в (127,27) ! амплитуда рассеяния М7, непосредственно определяется ио Ьу, со11пасно .07; = г(24Г)401~1(ГГз + Й4 — Й1 — Ит)М74 (127.29) (ср. З 64). Среднее значение в (127.28) вычисляется по теореме Вика с помощью (77.3)! причем свертывать надо, разумеется, только «внеп1ние» опеРатоРы сил, сил с внУтРенними А. 4 128 кО1 еРен'ГнОВ РАссеянив ФОТОНА В ПОгге г!ДРА 9 128. Когерентное рассеяние фотона в поле ядра гает-4 гт Г, ~ — ) гЬг Ог<<нг. пг (128.1) Зависимость от частоты находится, разумеется, в соответствии с общими заключениями 3 59.
Коэффициент в (128.1) нельзя вычислить с помощью функции Лагранжа однородного электромагнитного поля (как это можно было сделать для рассеяния света на свете). Причина заключается в том, что в данном процессе существенны расстояния от ядра г 1гт, на которых поле ядра нельзя рассматривать как однородное. Приведем результат точного расчета: г1г74 Ф вЂ” 41гг — 1, 004 10 (Яа) т ( — соь — 410, 4 (128.2) а, = 4, =8,81 10-4(К )4,')' — ") 81 4-'а. 'пг/ 2 ') См. Сомапапг 1А., Ре Тойм В., Ргегопг С.О14попо Сппепго. -1971. - У. 2А. - Р. 733; Ве Тойге В., Виегвпо1г М., Ргегогп С.7/'"4иопо Сппепго. - - 1976.- УА 32А.
— Р. 227. Другими (наряду с рассеянием фотона на фотоне) нелинейными эффектами, описывающимися квадратными диаграммами вида (127.1), являются распад одного фотона во внешнем поле на два фотона (и обратный процесс «слияния» двух фотонов в один) и рассеяние фотона во внешнем поле. Первому процессу отвечают диаграммы, в которых один из четырех внешних фотонных концов заменен линией внешнего поля.
Второму же процессу отвечают диаграммы с двумя внешними линиями реальных и двумя виртуальных фотонов. К последней категории относится, в частности, когерентное (упругое) рассеяние фотона в постоянном электрическом поле неподвижного ядра. В общем случае вычисления приводят к очень громоздким формулам (содержащим кратные квадратуры) ') . Мы ограничимся здесь лишь некоторыми оценками. В силу требований калибровочной иявариантности амплитуда рассеяния при нг — 1 0 должна содержать произведения компонент 4-импульса начального 1Й) и конечного 1Й') фотонов (подобно тому как разложение амплитуды рассеяния фотона на фотоне начинается с четверных произведений компонент 4-импульсов всех фотонов). Другими словами, амплитуда рассеяния фотона малой частоты пропорциональна ш2. Учитывая также, что эта амплитуда содержит вне.шнее поле (поле ядра с зарядом Яе) во втором порядке, заключаем, что сечение рассеяния 636 Гл.
хп РЛДИЛЦИОННЫВ ПО11РЛВКИ Индексы «+гг и « — Р обозначают здесь (как и в 9 127) спиральпости +1 или — 1 конечного или начального фотонов; 0 угол рассеяния в системе покоя ядра ( И Сов1ипХгпг, В. 11е ТНИгн, С. Ргв1опгг 1971). Для оценки сечения при высоких частотах воспользуемся оптической теоремой (см.
3' 71). Промежуточное состояние, фигурирующее в правой части соотношения унитарности, является в данном случае состоянием электрон-позитронной пары (ему отвечает рассечение диаграмм по двум внутренним электронным линиям между фотонными концами). Поэтому оптическая теорема связывает амплитуду упругого рассеяния фотона на нулевой угол с полным сечением образования пары фотоном в поле ядРа гти р, ОпРеделив амплитУдУ 7' 1ьгг О) РассеЯниЯ на Угол 0 так, чтобы сечение рассеяния было сЬ = ~)'~211о (ср.
(71.5)), будем имРТЬ 1ш,ггггьг 0) = оплр ° 4гг Сечение аилр отлично от нуля, разумеется, лишь при ы > 2т. В ультрарелятивистском случае, взяв гтп„р из (94.6)г получим ~п(ы) = 1ш 1(ыг О) = — (Хсг)~г,— ~1п — — — 1, ы >> т. (128.3) 9гг гп[ гп 421 Вещественная часть амплитуды рассеяния определяется по мнимой части дисперсионным соотношением. Это соотношение должно быть написано вгс одним вычитаниеыгг, т. е. его надо писать для функции 7,гг (где 1 = ш2), поскольку при ы — г О амплитуда 7' сс ш (ср, с соотношением «с двумя вычитаниями» 2 (111.13) ) . Выделяя вещественную часть дисперсионного интеграла (для чего достаточно понимать интеграл в смысле главного значения) и перейдя от интегрирования по 1 = ш к интегрированию по ьг', имеем (128.4) 2гп При ы » пг в интеграле существенны значения ш' ьг » пг, так что для 1'п(иг') можно использовать выражение (128.3); при этом нижний предел интеграла можно заменить нулем.
Гтгавное значение интеграла можно представить как полусумму интегралов по путям, проходящим по верхнему и нижнему берегам правой вещественной оси в плоскости комплексной переменной ьг', в свою очередь, эти пути можно затем повернуть в плоскости ьг' до совпадения соответственно с верхнсйг и нижней мнимыми ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИ57М ЭЛЕКТРОМАГНИТНО!'О ПОЛЯ 637 1 122 полуосями. В результате у ~(о5) представится в виде 17( ) ше / у (74)+у ( — 76 ~с 7(ю )2пь 2 / 7)6 а и окончательно В.е 1(о7, О) = — (юо)~7,—. (128. 5) 18 7П Обратим внимание на то, что вещественная часть амплитуды, в отличие от мнимой части, пе содержит большого логарифма. Сумма квадратов выражений (128.3) и (128.5) дает сечение рассеяния на нулевой угол: йт = — (юо)~г~ ( — ) ~177~ ' + — ~71о (128.6) (Р.
ЛПЬ717сЬ, Л. Х. 6175сйабегп, 1952). Полу.ченный для рассеяния строго вперед результат (128.6) пригоден и в некоторой области малых углов. Можно показать, что условие его применимости 0 « (т/о7)2. Эта область, однако, вносит лишь малый вклад в полное сечение рассеяния. Основной же вклад в полное сечение дает область углов 0 < т/о7; это легко понять на основании общего (пе на нулевой угол) соотношения унитарности, связывающего друг с другом амплитуды рассеяния фотона и образования пар фотоном. В этой области, однако, логарифмический член отсутствует, так что полное сечение рас- сеяния ,2 и - (г )' , '( — ) 0' - (го)7гя 7П (128.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
