В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Классифицируя некомпактные вершинные части по числу содержащихся в них «двойных связей», можно представить полную Г в виде бесконечного ряда; р'- 'гГ = гГ + гГ гГ т гГ гТ гГ (125.9) где все внутренние сплошные жирные линии точные пропага- торы й (рггд такого вида часто называют лестничным). Чтобы просуммировать этот ряд, «умножим» его слева еще на одну Г '): ') Такое определение включает в себя все аномально большие диаграммы, но наряду с ними также и Некоторые «нормальные», Например диаграмггу (125.4,б).
) Т. е. умножаем все члены ряда на Г и две Ц и производим соответствуюгдее интегрирование по 4-импульсам новых внугренних связей. 617 1 12в УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ ОООГОЯНИЙ Тогда уравнение (125.12) примет вид 4[Д '(р )Х(р, — р+)6 1( — р+)] — Гга гт(Р— г Ч Р Р вЂ” г Чг Р4Хгг'(Чг Ч Р Р вЂ” ) 4 г т (125.14) в котором Г выступает как ядро интегрального оператора. Как уже упоминалось, Г может вычисляться по теории возмущений, то же самое относится, конечно, и к функции й Покажем, что в первом (по сг) приближении теории возмущений (125.14) сводится, как и следовало ожидать, к нерелятивистскому уравнению Шредингера для позитрония. В первом нерслятивистском приближении Г определяется одной лишь диаграммой (125.2,п) (диаграмма аннигиляциопного типа (125.2,6) обращается в этом приближении в пуль) ') .
Как и по аналогичному поводу в 2 83, фотонный пропагатор удобно выбрать в кулоновой калибровке (76.12),(76.13), причем достаточно оставить в нем лишь компоненту Т)ое. Тогда Гга вгп(Р— г Ч Рч- Р— г Чг Рч.) = Р Зггэтттгое(41 Р— ) = 2 О О о о с~(Ч Р вЂ” )744'уст г где 17(с1) = — 4пеа/Чя - компонента Фурье потенциальной энергии кулопова взаимодействия позитрона и электрона.
Уравнение (125.14) принимает вид 4Хгт(Р— г Рч.) = Сг(Р— )У Р вЂ” )Х( Р+ Р— ) ' г ( ~ ~ ~ О ~ ~ ! ~ ~ ~ < 2 ~ ~ 4 ~ > П ~ О ~ ~ ~ г 4 гт (125.15) где также заменены точные пропагаторы й пропагаторами свободных электронов С. Для последних имеем приближенные выражения (ср. (125.8)) 2 2 где выделены матричные множители, а д(р) -- скалярная функция: и(р) = (е — т — р /(2т) +10] '.
(125.16) ) Напомним, что скоРости частиЦ в позитРоиии ггггс сс В этом смысле разложения по о и по 1ггс взаимно связаны. 618 РАДИАЦИОННМВ ПОПРАВКИ 1Л. ХП При подстановке этих выражений в (125.15) замечаелл, что все отличные от нуля ма1ричные элементы к-Р 1' Е Ек — 1'~) (~ +к ~ — Г~ совпадают с элементами — г; . Поэтому матричное уравнение (125.15) эквивалентно уравнению для скалярной функции 1Х(Р-.
— Р+) = = — и(р )я(р+) У(с1 — р )Цд, 11 — р, — р ) ~,. (125.17) Введем теперь вместо рч, р переменные 2 (4-импульсы относительного движения частиц и позитрония как целого). В системо центра инерции Р = (Е+ 2т, О), где полная энергия обозначена через Е+ 2гп, т. е. Е --уровень энергии, отсчитываемый от массы покоя.
Выразив через эти переменные, перепишем (125.17) в виде 1Х(р Р) = = -к(к-к —,)к(-кк--) ) У(ч — к-ь(к- —, Р) — „'р = =-к(кк А)к(-кк —,) 1 Р(ч' — к)к(к', Р)„',,: В это уравнение Р входит уже только как параметр, а функция ,"С входит в правую часть равенства только в виде интеграла 4(с1) = с(7, Р) 17о.
Проинтегрировав обе стороны равенства по к(е, получим из него замкнутое уравнение для ук; =-;.'. У ("() (-"()"У"- ",:.': где Е р' 8(~Р + — ) = ~~е + — — — + 10) 2 2 2ик 126 дВОйнОе дисперснОннОВ ОООтнОшенив Замкнув путь интегрирования по т1Е, скажем, в верхней полу- плоскости комплексного е, вычислим интеграл по вычету в соответствующем полюсе и окончательно получим (~ — е)Р(р) Р1 Р(ч — р)Ф(ч) Рт = Р. (Р26 18) Это и есть уравнение Шредингера для позитрония в импульсном представлении (см. П1, (130.4)).
Ксли бы мы ограничились для Г диаграммами (125.2), но учли бы в них (а также и в й) следующие члены разложения по 1/с, мы получили бы уравнение Брейта (см. 8 83). Учет же диаграмм из (125.4) (вместе с дальнейшими членами разложения по 1/с) дает радиационные поправки к уровням позитрония; однако вычисления становятся очень сложными. Приведем вычисленную с этими поправками разность основных уровней орто- и парапозитрония '): 4 ту Я1~О1) — Е('Яв) = пв — ', ( — — ( — + 1п21 — — г' — 1. (125.19) 2ЯР 6 ~9 /рт 29 Первый член в фигурных скобках -- тонкое расщепление (сеь задачу 2, 8 84).
Второй член -- радиационная поправка к разности уровней. Мнимая же часть разности связана с вероятностью аннигиляции парапозитрония (сеь (89.14)), т. е. с комплексностью уровня Яв, для парапозитрония ширина уровня оказывается того же порядка величины, что и радиационная поправка к его вещественной части. 8 126. Двойное дисперсионное соотношение Следующим по сложности за вершинной частью с тремя внешними линиями является блок с четырьмя концами.
В квантовой электродинамике возможны три такие простейшие диаграммы: (126.1) Первая из пих описывает рассеяние фотона на фотоне. Остальные представляют собой отдельные члены радиационных поправок — к рассеянию фотона на электроне (диаграмма б) и к рассеянию электрона на электроне (диаграмма в). ') Катр1ир Л., К1ми А.ОРЬув. Реч. — 1982, — У. 87. — Р.
848. 620 Гл. хп Рлдилционные попгавки Этот параграф посвящен изучению некоторых общих свойств диаграмм такого рода. Но для упрошеиия и конкретности мы будем вести изложение применительно к определенной диаграмме (126.1са). Импульсы линий такой диаграммы обозначим следующим образом: Йс=Й~+Йе — Йз Йг 1г (126.2) д-Йс д-Йс д-Йс-Йя Йв Йс 4-импульсы Й1, Й2, Йз, Й4 отвечают реальным фотонам, так что их квадраты равны нулю. Отделив зависимость от поляризаций фотоиов, амплитуду Мс„соответствуюпйую диаграмме (126.2), можно выразить через несколько скалярных функций 4-импульсов фотонов. Это иивариантные амплитуды, о которых шла речь в д 70; конкретное выделение их для рассеяния фотона иа фотоне будет произведено в ыедуюпгсм параграфе. Будучи скалярными, оии зависят лишь от скалярных же переменных, в качестве которых можно выбрать, например, любые две из ве.личип в = 1Й1 + Й2), с = (Й1 — Йз), и = (Й1 — Й4), в + с + н = 0; (126.3) ниже мы выбираем в качестве независимых в и й Каждую из инвариаптвых амплитуд (которые мы обозначим здесь той же буквой М) можно представить иитегра,лом вида М сдам сГ'д )де — тефд — Йс)' — тЯЦ(д — Ас — )сс)е — сгсс~[(д — )сс)Я вЂ” т") ' спз — 1 сп — г0, (126.4) где В некоторая функция всех 4-импульсов; множители в знаменателе происходят от пропагаторов четырех виртуальных электронов.
При достаточно малых в и 8 амплитуды М вещественны (точиее, могут быть сделаны таковыми надлежащим выбором фазового множителя). Действительно, малость в обеспечивает невозможность рождения фотонами реальных частиц (электрон-позитропной пары) в в-канале, а малость 2 такую же невозможность в 2-канале ') . Другими словами, в обоих каналах отсут- ') Изображенные на диаграмме П2б.2) направления внешних линий отве- 621 1 126 ДВОЙНОЕ ДИСПЕРОИОННОЕ СООТГ'НОШЕНИЕ ствуют реальные промежуточные состояния, которые могли бы, согласно условию унитарности, привести к появлению мнимой части амплитуды. Будем теперь увеличивать з при фиксированном (малом) значении 1.
При з ) 4т у амплитуды ЛХ появится мнимая часть, 2 связанная с возможностью рождения пары двумя фотонами в з-канале. Поэтому для М можно написать дисперсионное соотношение «по переменной зз: И( 1) = ' /' ' (' ') ~ ° к,/ з' — з — зО где А1з(з, 1) обозначает мнимую часть ЛХ(з, .6). Каке и для всякой диаграммы вида (126.5) А1з(з, 1) вычисляется по правилу (115.9) заменой в интеграле (126.4) соответствующих полюсных множителей д-функциями: ( з) = (2 ')2 ) 1В6(Ч вЂ” зн )6((ч — й~ — Ез) — сп 1 ~4 „/ ((д — й,)' — шз)((9 — йг)е — т-") (126.6) причем интегрирование производится по половине о-пространства, в которой п~ > О. Мы можем сделать существенный дальнейший шаг, заметив, что интеграл (126.6) имеет структуру (в смысле своих полюсных множителей) того же типа, что и амплитуда реакции, изображающейся диаграммой вида Поэтому и аналитические свойства А1з(6, 1) как функции от 1 подобны анапитическим свойствам этой амплитуды.
В частности, у функции А1,(з, 1) может появиться (при увеличении 1) чают з-каналу. В Ьканале входящими должны быть линии 1 и 3, так что 4-импульсами на тальных фотонов были бы Ь~ и — ьз. Физические области для рассеяния фотона на фотоне в переметпзых з, й и — заштрихованные секторы на рис. 8 (с. 299). Так, з-каналу отвечает область, в которой з > >О, 1<0, и<0. 622 Гл. хп РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОНРЛВКИ мнимая часть только тогда, когда оба множителя в знаменателе буду"г одновременно обращаться в нуль. Это, однако, не произойдет сразу же после достижения значения 1 = 4тз порога рождения пары в 1-канале.
Дело в том, что наличие в'-функций в подынтегральном выражении ограничивает область интегрирования в Ч-пространстве, которая может оказаться несовместимой со значением 1 = 4тз. Протяженность области интегрирования зависит от значения в (аргументы д-функций содержат Й1 и 122). Поэтому зависит от в и грашичцое значение 1 = ~е(в), за которым функция Аы(в, 1) становится комплексной.
Подобно тому как функция М(в, ~) выражается через свою мнимую часть Ам(в, 1) формулой (126.5), функция А1,(в, 1) в свою очередь выражается через Аз(в, 1) = 1шАы(в11) дисперсионным соотношением «1по переменной га: (126. 7) 1 Е Подставив теперь (126.7) в (126.5), получим двойное дисперсионное соотношение, или предсп1авление Мандельстима для амплитуды ЛХ(в, 1): ~(в, ) = —,, / / ' ' 111'сЬ', (126.8) К2,/,/ (в' — Я вЂ” 20)(н — ~ — 20) 2 1 (В.МапвеЫат, 1958). Функцию Аз(в, 1) называют двойной спектральной плотностью функции М(в, 1). Ее можно получить из интеграла (126.6) повторным применением к нему правила замены (115.9). Обо'1значив для краткости 11 = Ч, 12 = Ч вЂ” К4, 1з = Ч вЂ” къ 14 = Ч вЂ” к1 — кг, (126.9) получим (22) Ав(в, 8) = = (2я2) 2ВИ(11 — тв)в(1~ ~— т2)б(1з — т )й(1~~ — тз)11~Ч1 (126.10) причем интегрирование производится по области ЧО > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
