В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 113
Текст из файла (страница 113)
процессу рассеяния. Найдем теперь полное выражение для радиационной поправки к сечению рассеяния. Поступая по сгандартным правилам (см. (65.7)), находим для сечения, усредненного по поляризациям начального и просуммированного по поляризациям конечного электронов: й = йа~0 + ОРА = ~ЕФ(с1) ~ 8р(( ур + си)( / + у с2р,д)(ур+ т)(у +с2р,д у )1 —,. (122.6) Согла2 но (122.1) сАРАд — — а+57с1, ар, — — 7 с2 р, У = а,+6"Ус1, — а а = ~( — с1 ) — 1 — — Р(-с1 ), 6 = — 8(-с1 ). 2 2 1 2 ч' 2П2 С точностью до членов, линейных по и и 5, след в (122.6) равен — Бр1...
1 = 2(е~ — ч ) (1 + 2а) — 26гт~~. 4 Л 4/ Поэтому йЪ, = 2 Я вЂ” с12) — 1 — — Р( — с12) — ~ д( — с1~) /1 0)2 чг 422 — Ч2 (122. 7) где Ы ~ борновское сечение рассеяния неполяризованных электронов (80.5), :формфактору /" приписан индекс Л для напоминания о том, что он «обрезан по массе фотона Л2К Остается прибавить к (122.7) сечение испускания мягких фотонов. Если представить /Л в виде /л( — с12) = 1 — — Е( ~ 1 1п — +с2Рг, (122.8) 2 ~гш/ Л то согласно (120.11) это добавление сведется к замене в (122.7) /Л на /' „„„ = 1 — — Е ( — ~ 1п + — Р2 + гсвг.
/ ~ч~ Л О 2 2П2 2~2 А 2 С этой заменой (122.7) дает окончательный ответ. 602 Гл. хп Рлдилционнык !1Опрлвки Отметим, что в яерелятивистском пределе ') 7; „,„, = 1 — ~ (1п + — ), с12 << тз. (122.10) Обратим внимаяие на то! что специфика внешнего поля входит в радиационную поправку к сечению только через посредство !1!!11); множитель же в фигурных скобках в (122.7) имеет универсальный характер. В нсрслятивистском приближении ! г сЬраз! — — — с1!тр! — ! 11п + — ), с12 « тя (122.11) Зя тэ 2ш к 30/ (сюда входят вклады от всех членов в (122.7)). В обратном же, ультрарелятивистском! случае основной вклад вносит только член с 7" .,„„— 1 и получается с1сгр,л — — — сЬ!Н вЂ” 1п 1, 1и, с12 » тз.
(122.12) 7Г же Отметим в заключение, что рассмотренные здесь радиационные поправки пе приводят к появлению каких-либо поляризационных эффектов., отсутствующих в первом борновском приближении (в отличие от поправок второго борновского приближения, рассмотренных в 3 12Ц. Дело в том, что специфика первого борновского приближения в конечном счете связана с эрмитовостью Я-матрицы.
Это свойство, однако, сохраняется и при учете рассмотренных радиационных поправок, поскольку в этом приближении отсутствуют какие-либо реальные проллежут очные состояния в канале рассеяния (так что правая часть соотношения унитарности обращается в нуль) ') . 9 123. Радиационное смещение атомных уровней Радиациопные поправки приводят к смещению уровней энергии связанных состояний электрона во внешнем поле (так называеь!ое смещегсие Лзл!ба).
Наиболее интересный случай этого ро- ) Это выражение отличается от нерелятивистского (117.20) заменой 1и Л -э 1п 2ш,„„„— 5/6. !) Вычисление радиационных поправок к процессам, появляющимся лишь во втором приближении теории возмущений, значительно более громоздко и в этой книге не будет воспроизведено. Ограничимся лишь некоторыми литературными сСылками: радиационные пОправки к рассеянию фотона на электроне . Вгошп Ь. М., Реупшап В.!!Р1!уа Вет. -1952..
Л!. 85. — Р. 231; к двухфотонной аннигиляции пары - Пегги,1., Вгошп В. М.ОРЬуз. Кет. — 1957. — Л!. 105. — Р. 1656; к рассеянию электрона электроном и позитроном- Вийеи!1 М.,!,!Ргос. Воу. Бес. 1953. У. А220. — Р. 219; Половин Р. ВЛ/УКЭТФ. - - 1956.
- Т. 31.. — С. 449: к тормозному излучению - - Фомин П. И.!!)~КЭТФ. — 1958. — Т, 35 — С. 707. РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АГОМНЫХ УРОВНЕЙ 603 1 12з да -- смещение уровней атома водорода (или водородоподобг>ого иона) ') . Пош!едовательный метод вычисления поправок к уровням энергии основан па использовании точного электронного пропагатора во внешнем поле (см. 9 109). Но если (123.1) Ъ «1, то можно воспользоваться более простым способом, в котором внешнее поле рассматривается как возмущение. В первом приближении по внешнему полю радиационная по!травка во взаимодействии электрона с постоянным электрическим полем описывается теми двумя диаграммами (121.2), которые уже рассматривались нами в связи с задачей о рассеянии электрона в таком поле, переход от одной задачи к другой требует лишь простой переформулировки (см.
ниже). Легко понять, однако, что таким способом можно найти только ту часть сдвига уровня, которая обусловлена взаимодействием с виртуальными фотонами достаточно болыпих частот. Действительно, рассмотрим, например, следующую (по внешнему полю) радиационную поправку к амплитуде рассеяния электрона: ! ! ! ! ! у ! й р' р (123.
2) ') Сдвиг водородных уровней впервые вычислил Бете (В. А. ВЕШе, 1147) с логарифмической точностью на основе нерелятивистского рассмотрения; этот расчет послужил толчком для всего последующего развития квантовой электродинамики. Ргюность уровней 2э>, и 2р> (в первом неисчезающем приближении теории возмущений) была точно вычислена Кроллем и Лэзгбом ()У. М. Кто)1, Иг. Е. Ьитй, 1949), а полная формула для сдвига уровней была найдена Войскопфом и Фрон"!ЕА! ()г.
И'е!ээйору, э'. В. Ггепс!г, 1949). (в отличие от (121.2,б) эта диаграмма содержит две вершины вношнего поля). В той области интегрирования по г14й, где 1со достаточно велико, эта поправка содер>кит лишнюю степень Уст и поэтому несущественна. Но введение в диаграмму второй вершины внешнего псшя вводит в нее также и еще один электронный пропагатор С(у). При малых а (и нерелятивистских внешних концах р и р ) оказываются существенными импульсы виртуальных электронов )', близкие к полюсу пропагатора С()'). Появляющийся в результате малый знаменатель компенсирует лишний малый множитель Ягт.
То же самое относится, очевидно, 604 гл хп Рлдилционныв попглвки и к поправкам всех вообще порядков по внешнему полю. Другими словами, в области малых частот виртуальных фотонов внешнее поле должно учитываться точным образом. Разобьем искомый сдвиг уровня 6Е» ') на две части: бЕ» = бЕ1В+ 5Е~П1 (123.3) происходящие соответственно от взаимодействия с виртуальными фотонами частоты в областях 1) йо ) з«, П) йо <»г. При этом выберем з«так, чтобы было (Ът) т « »г « ьч (123.4) (У сг т порядок величины энергии связи электрона в атоме). Тогда в области 1 достаточно учитывать поле ядра лишь в первом приближении. В области же П надо учитывать поле ядра точным образом, но зато (в силу условия»г « пт) можно решать задачу в нерелятивистском приближении - пе только по отношению к самому электрону, но и для всех промежуточных состояний.
При условии (123.4) области применимости обоих способов расчета перекрываются, что и позволяет произвести строгую «сшивку» обеих частей поправки к уровню. Высокочастотная часть сдвига. Рассмотрим сначала область 1. В ней можно воспользоваться поправкой к амплитуде рассеяния (122.1), из которой, однако, необходимо предварительно исключить вклад виртуальных фотонов, относящихся к области П. Такие фотоны вносят лишь малый вклад в формфактор д, который поэтому не нуждается в изменении. В функцию же 1 виртуальные фотоны малых частот вносят болыпой вклад изза инфракрасной расходимости. Поэтому в качестве 1 в (122.1) надо подставить функцию ~, из которой область Йо <»г уже исключена.
Такое исключение можно было бы произвести прямым способом, вычитая из у" интеграл по области йо <»г. Требуемый результат можно, однако, получить без новых вычислений, используя результаты 3 122. Для этого заметим, что исключение частот Йо <»г можно рассматривать как один из возможных способов инфракрасного обрезания. Результат же для поправки к сечению рассеяния не может., разумеется, зависеть от способа обрезания при условии, что таким же образом обрезается и вероятность испускания реальных мягких фотонов, т.
е. в понятие «упрутого» рассеяния включается испускание с частотами лишь от»г до заданного мп,ах. Если выбрать сп,в, = »г, то явный учет испускания фотонов станет излишним. Отсюда ясно, что / получается из опре- ' ) В этом параграфе Е, обозначает энергию электрона в атоме, не включающую в себя его энергию покоя. Индекс в--совокупность квантовых чисел, определяющих состояние атома. РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АГОМНЫХ УРОВНЕЙ 605 1 12з деленной в 8 122 фУнкции 1" „„„пРосто заменой ыша, на эг.
В частности, в нерелятивистском случае (123.5) Преобразуем теперь поправку (122.1) к амплитуде рассеяния, представив се как результат соответствующей поправки к эффективной потенциальной энергии электрона в поле. Сравнивая амплитуду (122.1) — е(и"Яр дФи) с борцовской амплитудой рассеяния (121.6) — е(и *Фи), мы видим, что роль такой поправки играет (в импульсном пред- ставлении) функция ебФ(Ч) = ЕЯрад(Ч)Ф(Ч). (123.6) от(Ч) = ( ., (гп —, — —,) Ч'у) (Ч) Соответствующая функция дФ(г) в координатном представле- нии '): бФ(г) = (1п — + — — — ) схФ(г) — г' — Э %'Ф(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
