В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 110
Текст из файла (страница 110)
545) опускаем поправки к перенормировочной константе Яг (см. 9 110). Соответствуюпгие интегралы логарил[гмически расходятся. Если ввести «параметр ооре:запия» Л» тл, р", ограничив область интегрирования по И«1 ус юанем Аг < Лг, то эту поправку можно вычислить в явном виде. Вычисление приводит к репудьтату г, =14-3,О', (119.7а) Уг = — — ~ — 1п — Ч- 1и —, О Г1 Лг Л 91 2к 2 гггг тг 4 (здесь использовано также тождество ре — т2 = ( ур — т) ( ур+т) ) .
Сразу же произведем игутегрирование по с[ а. Предположив, что 4 р2 — т2 ( О, и воспользовавшись (131.14), получим 1 1 — гп — агх лая е / / ( ур + пф2т — ( ур)(1 — х)]х(1 — х) 2к / / пггхг + Лг(1 — х) + (тг — рг)х(1 — х)2 О О Теперь остается, опустив временно множитель ( ур — т), вычесть такой же интеграл с заменой (119.6); после простых приведений получим 584 Гл. Хп РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОПРЛВКИ ЛВ, так как инфракрасной расходимости будет отвечать расходимость при х — + 0). Интегрирование в (119.8) (сначала по В, затем по т) довольно длинно, но элементарно и приводит к следующему окончательному результату: (119.9) где обозначено т' — В1 Р= (11.
Ка1р1ив, Я. М. Кго11, 1950). Интеграл вычислен в предположении р > О, причем р» Хата. В соответствии с правилом обхода полюсов, при аналитическом продолжеяии выражения (119.9) в область р < 0 фаза логарифма определяется заменой Гп — > гп— — 10; при этом р — э р — 10, так что 1пр при р < 0 надо понимать как 1пр = 1п ~р~ — 1к, р < О. (119. 10) Рассмотрим поведение массового оператора при р~ >> Гп~. Имеем тогда — р — р /Гп» 1 и с логарифмической точностью г М(р) = — ф '(р) — С (р)] = — (ур) 1п ~ . (119.11) Как и в случае фотонного пропагатора (ср, формулы (113.15), (113.16) для поляризационного оператора), поправка к С ~ оказывается малой только при не сэсгппком болыпой энергии, именно и эи — 1и — « 1.
Сс 4к п1 В данном ю1учае, однако, логарифмический рост в известном смысле фиктивен, оп может быть устранен надлежащим выбором калибровки, т. е. функции Р~О в фотонном пропагаторс (Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, и. М. Халаптников, 1954). Именно, для этого надо положить (в обозначениях 8 103) ФО=О, (119.12) между тем как формула (119.9) получена в калибровке 11% Д (119.13) Это свойство калибровки (119.12) делает ее особенно удобной для исследования характера теории при р~ >> 1и~, что и будет использовано ниже, в 8 132. 585 119 ВЫЧИОЛЕИИЕ МАССОВОГО ОИЕРАГОРА ~(0( ) АА2'1 4е 5 ( з) 9' 192)'-' (119.14) Для доказательства сделанного утверждения за,мечаем, что если мы интересуемся только членами ез, то преобразование от калибровки (119.13) к калибровке (119.12) можно считать бесконечно малым.
Соответственно этому можно прямо воспользоваться формулой (105.14), положив в ней "'м=--., =- — ', 92 192)2 ' а также заменив, с требуемой точностью, функции й в подынтегральном выражении на С. В интеграле по 4444) будет существенна область 4)» р, при этом С(р — 4)) в подынтегральном выражении много меньше С(р), и им можно пренебречь. Тогда ВМ = — С (у)5Я1р) = — 2е С (р) 41~ )(4)) —. (Ря) 4 ' Наконец, применив преобразование (113.11),(113.12),. получим ,„) г— — «2 1 4 441 — 92) «2 Л2 4е / 92 19 ' где Л вЂ” вспомогательный верхний предел, расходимость на котором устраняется перенормировкой. Последняя состоит в вычитании того же выражения при р — т, так что окончательно имеем бй ' = — '(а)1 4е 2и« Это выражение как раз сокращается с разностью й — С из (119.
11) . Наконец, .остановимся на вопросе о причинах, приводящих к необходимости введения конечной «массы фотона» Л при регуляризации интеграла (119.2), тесно связшшой с его поведением при р — «гп . Прежде всего отметим, что сам по себе этот интеграл с Л = 0 конечен при р = т (для устранения несущественной в данном аспекте расходимости на больших Г« полагаем при этом, что интеграл берется по большой, но конечной области й-пространства). Необходимость же введения Л возникает при вычитании перенормировочного интеграла, который без этого расходился бы при р~ = тз. Выясним 1юэтому, как вел бы себя при р~ — ) 1п нерегуляризованпый массовый оператор.
Поскольку же это поведение существенно зависит от выбора калибровки, рассмотрим общий случай произвольной калибровки (между тем как интеграл (119.2) написан уже при определенном выборе (119.13)). Воспользуемся снова преобразованием (105.14). Представив 444 ) В ВИДЕ 586 Гл. Хп РЛДИЛЦИОННЫЬ ПО11РЛВКИ (119. 16) Согласно определению (119.14) функция а,(д2) совпадает с отно- шением Р(1)1Р. Поэтому калибровка (119.13), к которой относит- ся (119.17), отвечает а = ао = 1. Потребовав совпадения (119.16) и (119.17) при этом значении по, полу.чим С = 3. ') Чтобы получить (119.17), нет необходимости производить вычисления заново.
Член 1в р в (119.9) как раз и получен в предположении р » Л, допускаюшем переход Л -1 О. Член же 1п(Л/т) возникает из--за вычитания перенормировочного интеграла и в исходном интеграле (119.2) отсутствует. Это вычитание не затрагивает, как легко видеть, членов 1пр. будем считать, что да - вариация функции п(дв), существенно меняющейся лишь на интервалах д т, и конечной при д — т . В подынтегральпом выражении в правой стороне (105.14) в разности Др) — й(р — д) при малых д оба члена близки и интеграл сходится.
Поскольку при малых д й(р — д)- 1 р2 — те — 2рд ' Д(р — д) можно опустить по сравнению с Д(р) при д»(р — т )/т. Интеграл же б0(р) =1е~Я(р) г16)(д) — ~ = — — ' 'и(р) Оа(д ) логарифмически расходится в области (р — т )2т «д «т . С логарифмической точностью имеем поэтому — = — — оа(ги ) 1п 4х р2 п12 Это равенство можно проинтегрировать.
Заметив, что при ав = е э О точный пропагатор й должен совпадать с пропагатором свободных частиц С, получим д(р) = ' ( ' ) ." "', (11915) где ае = а.(т ), С некоторая постоянная. Для определения по- 2 следней сравним выражение д 1(р) = (ур — т) [1+ — (С вЂ” аа) 1пр|, 2х получающееся из (119.15) в первом приближении по ст, с аналогичным выражением, получающимся из интеграла (119.2) при Л=О '): 0 '(р) = (Чр — 1а) [1+ —" 1пр~. (119.17) ~ ьзо ИСПУСКАНИИ МЯГКИХ ФОТОНОВ О НБНУ51ВВОЙ Л1АОСОЙ 587 Таким образом, окончательно находим следующее предельное выражение (и1»фракрас»1ую асимитотику) непсренормированного электронного пропагатора при р -+ т: д(р) = ',"+, (,"',) ~ ~ (119.18) (А.
А. Абрикосов, 1955). Подчеркнем, что справедливость этой формулы связана лишь с неравенствами о « 1, ~ 1пр~ >> 1, между тем как формулы теории возмущений требовали бы также и условия сл~ 1пр~/2к << 1. Отметим также, что знак разности р — т здесь не существен, так как мнимая часть выражения (119.18) все равно находилась бы за пределами его точности. Перснормированный пропагатор должен иметь при рз = т простой полюс.
Мы видим, что (119.18) удовлетворяет этому требованию только в калибровке, в которой 010 = З.О (119.19) (так что ае = 3). В этом случае регуляризация интеграиа Фейнмана (имеющая целью устранить его расходимость на верхних пределах) не будет требовать введения конечной Фмассы фотона».
В других же калибровках нулевая масса фотона приводит к возникновению при р = т точки ветвления вместо простого полюса, и устранение этого Фдефекта» требует введения конечного параметра Л. й 120. Испускание мягких фотонов с ненулевой массой При вычислении электронных формфакторов в э 117 мы столкнулись с расходимостью интегралов на малых частотах виртуальных фотонов. Эта расходимость тесно связана с обсуждавшейся уже в ~ 98 инфракрасной катастрофой.
Там было указано, что сечение любо1о процесса с участием заряженных частиц (в том числе рассеяния электрона внешним полем, изображаемого диаграммой вида (117.1)) имеет смысл не само по себе, а лип1ь при учете одновременного излучения любого числа мягких фотонов. Как будет подробно объяснено ниже (см. ~ 122), в суммарнол1 сечении, учитывающем излучение мягких фотонов, все расходимости сокращаются. При этом, разумеется, для получения правильного результата предварительное «обрезание» расходящихся интегралов во всех складываемых сечениях должно производиться одинаковым образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
