В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Степень расходимости может увеличиться при наличии внутренних блоков с г' > О. Отметим, что так как Л'А и Х целые положительные числа, из (112.1) видно, что существует лишь несколько пар значений этих чисел, при которых г > О. Перечислим простейшие диаграммы каждого из таких типов, но сразу же исключим из них 555 1ыг РегуляРизАция интеГРАлов ФейнмАИА случаи Лт, = Л1т — — 0 (вакуумные петли) и Лт, = О, Х, = 1 (среднее значение вакуумного тока), поскольку они не имеют физического смысла и соответствующие диаграалалы должны просто отбрасываться, как уже было указано в 5 103. Остальные случаи таковы; ! т=2 т=1 Р4 Р2 Г=О В первом из этих случаев расходимость квадратичная, а во всех остальных (г = 0 или т = 1) -- логарифмическая.
Диаграмма а первая поправка к вершинному оператору. Она должна удовлетворять условию (110.19), которое запишем здесь в виде и(р)Л" (р, р; 0)и(р) = О, р = т~. (112.3) где Л =à — зи. (112.4) Обозначим интеграл Фейнмана, записанный прямо по диаграмме, через Л (рг, р1, .к).
Этот интеграл логарифмически расходится и сам по себе условию (112.3) не удовлетворяет. Мы, однако, получим величину, удовлетворяющую этому условию, образовав разность Л~(рг, р1, .)с) = Л (рг, рб )с) — Л (р1, р~, .0)~„2 2. (112.5) Главный член расходимости в интеграле Л (рг, рб )с) получится, если считать в подынтегральном выражении 4-импульс виртуального фотона 1 сколь угодно большой величиной. Он имеет вид ') 4нрег Т ( ~7)т" (77) 1 121212 тг )4 и пе зависит от значений 4-импульсов внешних линий. Поэтому в разности (112.5) расходимость сокращается и получается конечная величина.
О такой операции устранения расходимости путем вычитаний говорят как о регуллриаайип интеграла. ') Полное выражение лля интеграла записано в г 117 (см. (117.2)). 556 ТОЧНЫЕ ПРОПА1'АТОРЫ И НЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ Х1 Подчеркнем, что возможность регуляризации интеграла — И Л (рз, рб й) путем одного вычитания обеспечивается тем, что в данном случае расходимость --лишь логарифмическая, т. е.
наименее сильная из всех возможных. Если бы в интеграле содержались расходимости различных порядков, то одно вычитание при А = 0 могло бы оказаться недостаточным для устранения всех расходящихся членов. После определения первой поправки в Г" (первого члена разложения Л") первая поправка в электронном пропагаторе (диаграмма (112.2,6)) может быть вычислена по тождеству Уорда (108.8), которое можно записать также и в виде ''4(г) = — Л (р, р; О), (112.6) дгР введя массовый оператор М вместо и' и Л" вместо Гич Это уравнение должно быть проинтегрировано с граничным условием и(р)М(р)и(р) = О, рз = тт, (112. 7) следующим из (110.20).
Наконец, для вычисления первого члена разложения поляризационного оператора обратимся к тождеству (108.14); после упрощения по двум парам индексов оно дает уравнение 3 д1Р 2д 4х дв дЬ связывающее скалярные функции Р = ~,(ТРЕН и ТР' = гРНР ч Обе эти функции зависят только от скалярной же переменной нз поэтохиу находим 2~2Р11(~2) + Р1(А12) 4ПР(Л2) (112.8) где штрихи означают дифференцирование по А . Ввиду условия д Р'(0) = 0 из этого уравнения ясно, что должно быть и Р(0) = О. (112.9) В первом приближении теории возмущений Р('Ав) определяется диаграммой (112.2,д) (с 4-импульсами концов й, й, О, 0).
Соответствующий интеграл Фейнмана (обозначим его через ЯА )) расходится логарифмически, и его регуляризация осуществляется одним вычитанием по условию (112.9): 6(12) = йй2) — йО) 557 з 112 Рвл'улягизхция интьтгллов Фейнмлнл После этого Р()сг) определяется решением уравнения (112.8) с граничными условиями Р(0) = О, Р (0) = О. В следующем приближении теории возмущений поправка к вершинному оператору (Лд ) определяется диаграммами сй) (106.10,в — и). Из них неприводимая (106.10,г) вычисляется такой же регулярнзацией интегралов с помощью одного вычитания согласно (112.5), как и при вычислении поправки первого приближения Лр . Содержащиеся же в приводимых диаграммах 1л) внутренние собственно-энергетические и вершинные части более низкого порядка сразу заменяются известными уже (регуляризованными) величинами первого приближения (Р11), Мсл), Лд~ ), (!) после чего получившиеся интегралы регуляризуются снова согласно (112.5) ') .
Поправки Р19) и М1й) могут быть затем вычислены с помощью уравнений (112.6) н (112.8). Описанная систематическая процедура дает, в принципе, возможность получить конечные выражения для Р, М и Лр в любом прнближенилл теории возмущений. Тем саллым становится возможным и вычисление амплитуд физических процессов рассеяния, описывающихся диаграммами., в которые блоки Р, М, Лд входят как составные части. Мы видим, таким образом, что установленные выше (см.
8 111) физические условия оказываются достаточными для однозначной регуляризации всех встречающихся в теории диаграмм Фейнмана. Это обстоятельство является отшодь не тривиальным свойством квантовой электродинамики и носит название перенврмируеллвсшлл ') . Для фактического вычисления радиационных поправок описанная выше процедура может, однако, оказаться нс наиболее простым и рациональным путем.
В следующей главе мы увидим, в частности, что целесообразный путь может начинаться с вычисления мнпмолл части соответствующих величин; эти части даются интегралами, не содержащими расходимостей. Вся величина в целом определяется затем путем аналитического продолжения с помощью дисперсионных соотношений. Тем самым оказывается возможным избежать громоздких вычислений, требуемых для прямой регуляризации путем вычитаний. 1 ) В диаграммах же еще более высоких приближений может оказаться необходимым заранее заменять уже регуляризованными значениями также и «четыреххвостые» блоки й. ) Другой подход к теории перенормировок в квантовой электродипамике изложен в книге: Боголюбов Н. Н., Шоркоо Д.
В. Введение в теорию квантованных полей. — Мс Наука, 1984. ГЛЛВЛ ХП РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ й 113. Вычисление поляризационного оператора Приступая к фактическому вычислению радиационных поправок, начнем с вычисления поляризационного оператора (Х ЯсЬпвпуег, 1949; Л. Р. Реуптап, 1949). В первом приближении теории возмущений оп дается петлей в диаграмме (113.1) Как уже отмечалось, задача облегчается, если начать ее с вычисления мнимой части искомой функции.
В свою очередь это вычисление проще всего осуществляется путем использования соотношения унитарности. При этом линии виртуального фотона рассматриваются как отвечающие воображаемой «реальной» частице векторному бозону массы М~ = к~, взаимодействующему с электроном по тому же закону, что и фотон. Тем самым (113.1) становится диаграммой «реального» процесса., чем и оправдывается применение к ней условия унитарности. Таким образом, рассматриваем (113.1) как диаграмму для амплитуды перехода бозона самого в себя (диагональный элемент Я-матрицы) через распад на электрон-позитронную пару.
Крестики на диаграмме (113.1) показывают, по каким линиям она должна быть рассечена на две части так, чтобы показать промежуточное состояние., фигурирующее при применении соотношения унитарности. Это состояние содержит электрон с 4-импульсом р = р и позитрон с р» — — — (р — Й). Соотношение унитарности с двухчастичным промежуточным состоянием (71.4) при совпадающих начальном и конечном состояниях дает 1.М.,= " ~ 1~Ж~" Р»4) (4я)»« поляр Здесь амплитуда Мгб составленная по диаграмме (113.1), есть гМ„= ч'4яе*ъ'4яе,' (113.3) 4к ВЫЧИСЛВНИВ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПВРАТОРА 559 1 из где ел 4-вектор поляризации бозона,; согласно (14.13) он удовлетворяет уравнению е Й"=О. И Амплитуде же Мпи отвечает диаграмма распада бозона па пару: Соответствующее выражение имеет вид М н = — еъ'4яеи1", 1'" = и(р ) 7ии( — рь).
Подставив (113.3),(113.4) в (113.2), получим „о ~ поляр (113.4) (113.5) При этом р = р = — ре и е = НР + е = 2РР - .импульсы и суммарная энергия пары в системе ее центра инерции; интегрирование производится по направлениям р, а суммирование по поляризациям обеих частиц. Усредним теперь обе стороны равенства (113.5) по поляризациям бозона. Усреднение осуществляется формулой ереи = — (9ии ) (ср. (14.5)). Приняв во внимание поперечность тепзора РРР и вектора ~" (Р"~М = О, ~М = О) и использовав, что РР— — ЗР, получим в результате П Р= — ' — "~)Н,'и..
12л Р поляр (113.6) 21РПР = ее ~ Бр 7НЯр +ьп)7"(7р., — гп) = = — е ~~ ~(рьр + 2ьпз) ЗГ Введем переменную 1 = йз = (РР + Р )~ = 2(ш~ + РРР ). (113.7) Суммирование по поляризациям производится обычным образом, интегрирование по до сводится к умножению на 4я, и в результате находим 560 РЛДИАЦИОННМВ ПО11РАВКИ Гл. хп Тогда е =1, р =1114 — т и окончательная формула для 1плР принимает вид 1шР(1) = — — 1 (1+ 2т ), 1 > 4т . (113.8) ЗЧ 1 Р(1) = 9, 1 < 4' (113.9) По этой же причине в рассматриваемом приблллжении разрез для функции Р(г) в плоскости комплексного 1 простирается лишь от точки 1 = 41и на вещественной оси, и эта точка долж- 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
