В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 101
Текст из файла (страница 101)
(108.4) Величину бм можно вычислить и как изменение пропагатора под влиянием этого поля. С точностью до величин первого порядка по бу это изменение изобразится, очевидно, одной скелетпой диаграммой: 1ч 1 ««1 +, 1 = «« — Х»- р4-0 р Здесь жирная штриховая линия -- эффективная линия внешнего поля, т. е. ей1 сопоставляется множитель (см. (103.15)) бА(В) (д) + бА~') (44) (Ч) ь рв(д). 4я 534 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ гл. х1 Но 4-вектор 5ААе~ (д) продолен (по отношению к д), а тензор 7РА поперечен.
Поэтому второй член здесь обращается в нуль, так что остается ! )Д ! [108.5) Рд,)= а р-Ро р где тонкой лптриховойг линигг сопоставляется обычным образом просто поле бА~е~. В аналитической форале: о6 = е6(р+ 9)Г'"(р+ д, р; д)Д(р) БА~'). [108.6) Подставив сюда [108.4) и сраншлв с [108.2), находим соотно- шение М + Ч) — йр) = — 6[р + 9) Г [р + Ь р; <Й)6[р) . Чи или для обратных матриц 6 ~(р+д) — 6 ~(р) = с7,„ГР(р+ 9, р: д) [108.7) (Н. Я. Сгееп, 1953).
Устремив в этом равенстве д -+ 0 и сравнив коэффициенты при бесконечно малом ди в обеих его сторонах, получим ' О-л[р) =Г [р,р; 0) ар, Это -. так называемое таооюдсстео Уорда, [Х С. Магд, 1950). Мы видим, что производная по импульсу от Д [р) совпадает с вершинным оператором при нулевой передаче импульса ').Производная же от самой функции Д(р) — — л9(р) = лДр)[ — лГ" (р, р: 0)1лЯ(р).
[108.9) дРР Аналогичным образом можно было бы найти также и высшие производные, проводя вычисления с точностью до членов более высоких порядков по дт. Нам такие формулы, однако, не понадобятся. Рассмотрим теперь ~лроизводную д7Р(г;)/днд от поляризационного оператора.
В отличие от функции 6(р) величина Р(к) калибровочно-инвариантна и не меняется при введении фиктивного внешнего поля (108.4). Поэтому производную от 7э нельзя вычислить тем же способом. Однако и для нее можно получить определенное диаграммное выражение. [108.8) ') В нулевом приближении, т. е. для пропагатора свободных частиц, это тождество очевидно: С [р) = ур — т, и потому дС /дре = тР. 535 1 108 ТО>КДЕСТВО УОРДА Для этого рассмотрим первую из диаграмм, входящих в определение Р, диаграмму второго порядка (108.10) Сплошным линиям в ней отвечают множители гС(р) и Ж(р+ Й). Дифференцирование по Й заменит второй из них на дС(р+ й)/дй, а согласно тождеству (108.9) такая замена эквивалентна добавлению лишней вершины на электронной линии: (108.11) 1в д'Р 4л.
д18 Мы видим, что в первом неисчезающем порядке искомая производная выразилась через диаграмму с тремя фотонными концами (ефотонная треххвосткар). Сразу жс подчеркнем, что эта диаграмма сама по себе отнюдь не дает амплитуду превращения одного фотона в два. Амплитуда такого процесса выразилась бы суммой диаграммы (108.11) и другой такой же диаграммы с измененным направлением обхода петли; согласно теореме Фарри эта сумма обращается и нуль. Сама же по себе диаграмма (108.11) не равна нулю. Подобным образом можно дифференцировать и более сложные диаграммы, последовательно добавляя вершины с й' = 0 на все электронные линии, зависящие от 1'е Существуют, однако, диаграммы, в которых зависимость от Й имеется и во внутренних фотонных линиях, например диаграмма ш>ева на рисунке Производная от графика в фигурной скобке представлена здесь в диаграммном виде путем введения нового графического обозначения -.
фиктивной трехчастичной фотонной вершины--. точки, 536 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. Х1 в которой сходятся три штриховых линии и которой сопоставляется величина 4яг = 21А:и = пя. (108.12) дЬР Теперь можно дифференцировать любой график, добавляя иа зависящие от Й линии вершины пи или уи и вычисляя далее по — — — = РИЛ (108.13) где ге РРА, сумма внутренних частей всех полученных указанным способом «фотонных треххвосток». Для дальнейшего нам понадобится еще и вторая производная поляризационного оператора. Аналогичным образом дифференцируя еще раз равенство (108.13), имеем 1 д РР— = ~„~,Р+ Д~, „ 4П дА'дА (108.14) где ге и' сумма внутренних частей всех «фотонных четыреххвосток» вида Я' (108.15) Рй их вь (разумеется, с включением и графиков с фиктивными трехфотонными вершинами (108.12) ) .
й 109. Электронный пропагатор во внешнем поле Если система находится в заданном внешнем поле А~'~(т), то точный электронный пропагатор определяется той же формулой (105.1), но в гамильтониан Й = ЙВ + Р, осуществляющий преобразование к гейзенберговскому представлению операторов, входит также и взаимодействие электронов с внешним полем: 1т = е А А1ПР1зх + е А~~~~у~иг1зх.
(109.1) Поскольку внешнее поле нарушает однородность пространства и времени, то пропагатор Ц(х, х') будет зависеть теперь уже от обоих аргументов Рв и т в отдельности, а не только от их разности / Если перейти обычным образом к представлению взаимодействия, то получится обычная диаграммная техника, в которой наряду с виртуальными фотонными линиями будут фигурировать также и липин внешнего поля.
Такая техника, однако, неудобна в тех случаях, когда внешнее поле нельзя рассматривать электРОнныи пРОНАГАТОР ВО Внешне»1 пОле 537 109 как малое возмущение, прежде всего . когда частицы в поле могут находиться в связанных состояниях. Между тем электронный пропагатор во внешнем поле необходим в первую очередь как раз для изучения свойств связанных состояний, в частности для определения уровней энергии с учетом радиационных поправок.
Для построения такого пропагатора следуел исходить из представления операторов, в котором внешнее поле учитывается точно, уже в нулевом приближении по электрон-фотонному взаимодействию ( И; Н. ги1ту, 1951). В дальнейшем мы будем предполагать внешнее поле стационарным, т. е. Не зависящим от времени. Требуемое представление у1-операторов дается формулами (32.9) вторичного квантования во внешнем поле: у1(е)(1, г) = ~л (а„у1('1(г)ехр( — 1е( )1)+б~у1( 1(г)ехр(»е( 11)), (109.2) 1)11е)(1, г) = ~ (а„'ь~„, (г) ехр(1е~~~1) + б„ф„(г) ехр( — 1е( 11)), где у1Н (г) и е„- волновые функции и уровни энергии соот- Ф) Ж ветственно электрона и позитрона, являющиеся решениями «од- ночастичной» задачи уравнения Дирака для частицы в поле.
Легко понять, что операторы (109.2) являются ф-операторами в некотором представлении (предсп1авлении Фарра), как бы про- межуточном между гейзенберговским и представлением взаимо- действия. Их можно записать в виде у1(')(1, г) = ехр(1Йфф(г) ехр( — 1Н11), (109.3) ф~А~(1, г) = ехр(1Н~б)ф(г) ехр( — 1Йф, где Н, = Н0+ е ф>(х) 'н(~)11зт Оператор же электромагнитного поля Ан, разумеется, коммутирует со вторым членом в Й~, .и потому для него представление Фарри совпадает с представлением взаимодействия. Электронный пропагатор нулевого приближения в новом представлении определяется как С~"~(х, т') = — 1(О~Тф~'~(я)ф~' (т')~0).
(109.4) Оператор 91~в)(~, г) удовлетворяет уравнению Дирака во внешнем поле [ ур — е уАОО(ш) — тЯ ' (5 г) = О, (109.5) ГЛ. Х3 538 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ а функция С(') .соответственно уравнению [ур — е уА~')(х) — тп1С®(л, х') = б (т — т'), (109.6) (ср. вывод (107.5)).
Диаграммная техника, выражающая точный пропагатор 6 в виде ряда по е2, строится путем перехода от гейзенберговского представления к представлению Фарри в точностгт так, как мы производили ранее переход к представлению взаимодействия. Мы получим в результате диаграммы того же вида, причем сплошным линиям будут соответствовать теперь множители гС~') (вместо 3С). Незначительное отличие в правилах записи апвчтитических выражений диаграмм возникает лишь в связи с тем, что в координатном представлении С~") -функция не только от разности т — т,'. В постоянном внешнем поле, однако., сохраняется однородность времени, и потому моменты 2 и 1' по-прежнему будут 3— входить лишь в виде разности 2 — 2 = т, так что С(') = С~')(т, г, г').
Переход к импульсному представлению осуществляется разложением Фурье по каждому из аргументов функции: С~В)( г г)= еЦР" ш" '~)С(е, р2, р1) — Р' гт. (109.7) Каждой линии, которой отвечает множитель тС ' (е, р2, рт), т3(е)~ должно приписываться теперь одно значение виртуальной энергии е но два зна тения импульса начальный рт и конечный рв. ') 3С~')(е, р2, рт) =с= —— (109.8) В результате получается правило записи аналитических выражений диаграмм, в которых обычным образом производятся интегрирования по де,У(2я), а по т1арт,У(2тт)а и д3р2,У(2я) интегрирования производятся независимо, с учетом сохранения импульса в каждой вернтине.
Например, Š— Ы е2 С(')(е р р") у"С(')(е — ш, р" — 1с, р' — 1с) х ~3 ! ~3 О х 'С(')(е р' рт)11, (ш, 1с) — — ~ — '" . (109.9) (233)3 (23т)3 (23т)3 ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ВО ВНЕШНЕМ ПОЛК 539 1 109 Важно отметить, что в излагаемой технике необходимо учитывать также и диаграммы с «замкнутыми на себя» электронными линиями, которые в обычной технике отбрасываются как связанные с «вакуумным током». При наличии внешнего поля этот ток уже не должен обращаться в нуль в связи с вызываемой полем «поляризацией вакуумам Так, в диаграмме (109.10) Р Р+1с ~ О,й=Р"-Р 1 Р9 Р Р Р1 верхней петле отвечает множитель .1» г С~'~(Ш, р+ 1с, р) 1' —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
