В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Такому потенциалу вообще пе соответствует никакое физическое поле (частный случай калибровочной инвариантности), так что он не может вызвать никакого изменения электронного тока. Другими словами, в рассматриваемом пределе ток перехода ЙГИ должен просто совпадать со свободным током й уи1 Й(р)ГН(р, р; 0)И(р) = У~и(р)Г"и(р) = и1р) у"и1р). (110.18) 111 лналитичвокие сВОЙОТВА Фотонного ПРОИАГАТОРА 549 Это требование есть, по существу; тоже выражение определения физического заряда электрона. Легко видеть, гто оно автоматически выполняется вне зависимости от значения Я1.
Действительно, подставив 6 1(р) из (110.10) в тождество Уорда (108.8), найдем Гд(р, р; 0) = Я1 у" — у"уу(р)(ур — т) — ("ур — т)р(р) у"., и равенство (110.18) удовлетворяется в силу уравнений (.ур — гп)п = 0 и(-ур — 'т) = О. Мы видим, что при составлении амплитуды физического процесса «перенормировочная постоянная» Яг вообще вьшадаот. Мало того, воспользовавшись неопределенностью, возникающей из-за расходимостей при вычислении Г, можно просто потребовать, чтобы было (р)Г'(р, уй 0)и(р) = (р) у" (р), р' = '; (110 10) т. е.
положить Я1 = 1. Удобство такого определения состоит в том, что отпадает необходимость во введении поправок во внешние электронные липин: имеем просто И(р) = н(р). В этом можно убедиться и негюсредственно, заметив, что при Я1 = 1 массовый оператор (110.11) уьт = (ур — т)8(ур — т) (110.20) и второй член в (110.12) очевидным образом обращается в нуль. Таким образом, не будут требовать «перенормировки» внешние линии всех реальных частиц как фотонов, так и электронов ') . 8 111. Аналитические свойства фотонного пронагатора Исследование аналитических свойств фотонного пропагатора удобно начать с изучения свойств функции П(ай). Дело в том, что прямое использование для этой цели определения (103.1) затрудняется калибровочной неоднозначностью операторов Ад(ш) и проистекающей отсюда неопределенностью их свойств. ) При перевормировке фотоввого пропагатора уьшовие л = 1 возникало как необходимое физическое требование, а после этого исчезновение поправок к внешним фотонным линиям происходит уже автоматически.
С формальной точки зрения, однако, ситуации для фотонных и электронных ввешиих линий аиалогичвы: при Я ~ 1 волновая амплитуда ее реального фотона с учетом поправок умиожшгась бы ва чгУ. 550 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ Гл. хс Исходя из выражения собственно-энергетической функции фотона через матричные элементы калибровочно-инвариантного оператора тока в з 104 было получено интегральное представление функции П(й~) (104.11).
Обозначив переменную й~ через 1 '), рассмотрим свойства функции П(л) в плоскости комплексного 1. Из интегрального представления П(1) = (111.1) ,/,, о видно, что на отрицательной вещественной полуоси функция П(с) весцественна, а во всей остальной плоскости удовлетворяет соотношению симметрии П(1') = П*(4). (111.2) Функция П(б) может иметь особенность лишь в особых точках функции р(г). Последние лежат при значениях 1 = й~, являющихся пороговыми для рождения виртуальным фотоном различных совокупностей реальных частиц. При этих значениях евступают в игру» новые типы промежуточных состояний в сумме (104.9). Вклад от этих состояний равен нулю ниже порога и отличен от нуля выше порога, что и приводит к особенности функции в самой точке порога.
Эти пороговые значения, разумеется, вещественны и неотрицательны ') . Поэтому и особые точки функции П(л) лежат на положительной вещественной полуоси переменной 1. Если провести разрез по этой полуоси, то функция П(1) будет аналитична во всей разрезанной таким образом плоскости. еПссн +гО в знаменателе подынтегрального выражения в (111.1) показывает, что полюс т' = б должен обходиться снизу. Иными гловалси, под значением функции П(л) при вещественном 1 следует понимать ее зна ление на верхнем берегу разреза. Используя правило (75.18); = Р— ~ Ыд(т), (111. 3) яшсО т находим, что для вещественных 1 1ш П(1) = 1ш П(~ + лО) = — йгр(~). (111.4) На нижнем же берегу разреза 1ш П имеет обратный знак, а Ве П на обоих берегах одинаково.
Поэтому скачок функции П(1) на разрезе (111.5) 1шП(б+ лО) — 1шП(Х вЂ” лО) = — 2плр(1). ') Не слсешивать с обозначением времени! л ) Так, точка к = О является порогом для рождения трех (или большего нечетного числа) реальных фотонов, точка Й = 4т - порог для рождения е электрон-позитронной пары и т.п. 551 АНАЛИТИЧВСКИЕ ОВОЙОТВА ФОТОНИО!'О ПРОПАГАТОРА 1 111 Само иптегральяое представление (111.1) можно рассматривать в этом аспекте просто как формулу Коши для аналитической функции П(1). Действительно, применим формулу Коши 1 ('П(1)ж 2яг .( Сг (111.6) к контуру (111. 7) огибающему разрез.
В предположении достаточно быстрого убывания П(1) на бесконечности, интеграл по большой окружности исчезает, а интегралы по берегам разреза дают следующую формулу (г)исперсионное соотноииение), определяющую функцию П(4) по ее мнимой части: ) Писперсиоггные соотношения была введены в квантовую теорию поля Гелл-Маном, Гольдбереером и Тирринеом (М. Се)1-Магги, М. Ь. Со)г)ггегдег, И'.
Е. Т)гггтту, 19ог4). П(1) 1 1шП(1 -~- гО) 11г 1 1шП(1 ) гг (111 8) и„г 1' — 1 гг / 1' — 1 — гО о о Подставив сюда (111.4), получим (111.Ц ') . Аналитические свойства функций Р(г) и сг(г) совпадают со свойствами функции П(г), через которую они выражаются простыми формулами (104.2) и (103.21). Дпя е1(г) имеем П(1) = '(1+ "~'~). (111.г)) На вещественной полуоси (4 > 0)г согласно сказанному выше, надо понимать 1 как 1+ 10.
Мнимую часть ег(г) можно вычислить затем с помощью (111.3) и (111.4), причем надо учесть, что согласно (110.6) П(1),гг — + 0 при 1 -+ О. Тогда найдем ,1 г 1ше (1) = — 4гг~б(1) + —,1шП(1) = — 4гг~г)Я вЂ” — р(1). (111.10) Применив теперь к функции Х1(г) дисперсионное соотношение вида (111.8), получим для нее следующее интегральное 552 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ Гл. Х1 представление ТР(4) = ~ + 4.Т / р, . (111.11) С+ )О .) Нс й — Н Ч-)О О Ту, — Т~ — г(2я)4 ,'~ Ту„Т,* 5«(Р~ — Р,):, (111.12) суммирование в правой стороне производится по всем физическим «промежуточныма состояниям п.
В данном случае этими состояниями являются, очевидно, состояния систем реальных пар и фотонов, которые могут быть рождены виртуальным фотоном Й, т. е. как раз те состояния, которые фигурируют в матричных элементах в определении функции р(ет) (104.9). Амплитуды Му, и М,у содержат соответственно множителя 1з(к') и е>*(к ), а их разность мнимую часть 1ш7>(АХ). Мы видим, таким образом, что уже известная нам (из (111.4)) связь между появлением у Ю мнимой части и существованием указанных промежуточных состояний является следствием необходимых требований унитарности. Мы увидим в дальнейшем,что фактические вычисления по теории возмущений функции 'сз()) (или, что то же, функции Р(1)) удобно начать с вычисления мнимой части Р, в которой не возникает расходящихся выражений.
Но если затем вычислять функцию РЯ по дисперсионной формуле вида (111.8), то интеграл окажется расходящимся и понадобится производить дополнительные операции вычитания с целью удовлетворить условиям Р(0) = 0 и Р'(0) = О. Это вычитание можно, однако, произвести без явного оперирования с расходящимся интегралом. Для этого достаточно применить дисперсионное соотношение (111.8) не к ') Напомним, что амплитуды Tд отличаются от амплитуд ЛХП лишь множителями (см. (6440)). Эту формулу называют разложением Челлена — Лемана (С.
Ка)- 1еп, 1952; Н, 7 еЬП1апп, 1954). Существует тесная связь между положением разреза для функции 1З(ь) (а тем самым и ес мнимой частью на разрезе), с одной стороны, и условием унитарности для амплитуды процесса а, + 5 — у с+ с1, изображаемого диаграммой (110.4), с другой стороны (эта реакция, конечно, чисто воображаемая; она пе противоречит, однако, законам сохранения, и формальное условие унитарности для пее должно выполняться). В начальном состоянии (1) этого процесса имеются две «классическиеа частицы а и 6, а в конечном две другие с и сс Условие унитарности (71.2) '): 554 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ Гл.
Х1 Поскольку каждая внутренняя фотонная линия связывает две вершины, полное число таких линий равно (ц — Л т),12 Каждой фотонной внутренней линии сопоставляется множитель Р1,'А), содержащий й в степени — 2. Каждой же электронной внутренней линии сопоставляется множитель С1р), содержащий р (при рв )> т~) в степени — 1. Таким образом, суммарная степень 4-импульсов в знаменателе диаграммы равна 2п — Х„,/2 — Л' . Число же интегрирований (по п~р или й~й) в диаграмме равно числу внутренних ливий, за вычетом числа п — 1 налагаемых на виртуальные импульсы дополнительных условий (из п законов сохранения в вершинах один связывает импульсы внепших концов диаграммы).
Учетверив., получим число интегрирований по всем компонентам 4-импульсов: 2(п — ХА — Х + 2). Наконец, разность между числом интегрирований и степенью импульсов в знаменателе интегрируемого выражения (обозначим ее через ~ ) равна г = 1 — з1~~', — Л', (112.1) Отметим, что это чишю не зависит от порядка диаграммы кс Условия г ( 0 для диаграммы в целом, вообще говоря, недостаточно для сходимости интеграла; необходимо, чтобы были отрицательны аналогичные числа г' и для внутренних блоков, которые можно было бы выделить из диаграммы. Наличие блоков с г' > 0 приве.ло бы к их расходимости, хотя остальные интегрирования в диаграмме и сходились бы при этом даже «с избыткомж Условия г ( О, однако, достаточно для сходимости простейших диаграмм, в которых и = Л'„+ Л' и имеется всего одно интегрирование по и' р.
Если же г > О, то интеграл во всяком случае расходится. При этом степень расходимости не менее чем г, если число г четно, и не менее чем г — 1, если г печетно (уменьшение степени расходимости на 1 в последнем случае связано с обращением и нуль интеграла от произведений нечетного числа 4-векторов при интегрировании по всему 4-пространству).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
